2023届河北省衡水金卷先享题高三上学期理模拟数学试题（二）（解析版）

这是一份2023届河北省衡水金卷先享题高三上学期理模拟数学试题（二）（解析版），共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的运算，即可求解．
【详解】解：复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，
，
故选：D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合，，再根据并集的定义求解即可．
【详解】，
，
，
故选：．
3．根据第七次全国人口普查结果，居住在城镇的人口为90199万人，占全国人口的，与第六次全国人口普查相比，城镇人口比重上升14.2个百分点．随着我国新型工业化、信息化和农业现代化的深入发展和农业转移人口市民化政策落实落地，10年来我国新型城镇化进程稳步推进，城镇化建设取得了历史性成就．如图所示的是历次全国人口普查城乡居住人口及城镇居住人口比重的统计图，根据图中信息，下列说法错误的是（ ）
A．这七次全国人口普查乡村居住人口先增加后减少
B．城镇居住人口的比重的中位数为
C．乡村居住人口的极差不超过25000万
D．这七次全国人口普查乡村居住人口的平均数超过城镇居住人口的平均数
【答案】C
【分析】根据统计图及相关知识即可判断．
【详解】对，由图可知这七次全国人口普查乡村居住人口先增加后减少，A正确；
对B，由图可知城镇居住人口的比重的中位数为，B正确；
对C，由图可知乡村居住人口的极差超过25000万，C错误；
对D，由图可知，村居住人口的整体数据基本都大于城镇居住人口的数据，
故这七次全国人口普查乡村居住人口的平均数超过城镇居住人口的平均数，D正确．
故选：C．
4．已知双曲线经过点，且右焦点到其渐近线的距离为4，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，求得，则离心率得解.
【详解】设双曲线右焦点，其中一条渐近线为，
由右焦点到其渐近线的距离为4，即，即；
又双曲线经过点，故，解得，
则，．
故选：．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件利用二倍角的余弦公式可求，进而利用两角和的正弦公式化简所求即可得解．
【详解】解：因为，
所以．
故选：B.
6．生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系：（其中是脉搏率（心跳次数，体重为，为正的常数），则体重为的豚鼠和体重为的小狗的脉搏率之比为（ ）
A．B．C．3D．27
【答案】C
【分析】根据题意（其中是脉搏率（心跳次数，分别求出当时的脉搏率、当时的脉搏率，即可得出答案．
【详解】解：（其中是脉搏率（心跳次数，体重为，为正的常数），
当时，则脉搏率，即，则，
当时，则脉搏率，即，则，
，即
体重为的豚鼠和体重为的小狗的脉搏率之比为3，
故选：C．
7．已知三棱锥中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造过点且平行于的直线，找到所求角度，再解三角形即可.
【详解】取的中点，的中点，连接，，，，如下所示：
在△中，因为分别为的中点，故//，故即为所求角或其补角；
设，在△中，，即有，
由平面，面，可得，则，，
由于//，可得平面，又面，则，
可得，所以．
故选：．
8．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，则在①②处应填的执行语句是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据秦九韶算法模拟程序，能求出在①②处应填的执行语句．
【详解】解：因为
，
由已知的程序框图知的值为多项式的系数，由、、、、，
根据程序：输入，，，，
第一次循环：成立，，，，；
第二次循环，成立，，，
，；
依次类推，最后一次循环，成立，
，，
，，
不成立，跳出循环体，
输出.
故程序框图的处理框①处应填写，处理框②处应填写．
故选：B．
9．已知的内角所对的边分别为，的面积为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设三角形外接圆半径是，根据正弦定理和余弦定理即可求解．
【详解】设三角形外接圆半径是，
因为，所以,
即
因为，所以,因为，解得，
解得，
又，即，解得．
故选:B.
10．已知抛物线的准线为，圆，点，分别是抛物线和圆上的动点，点到准线的距离为，则的最小值为
A．B．C．5D．4
【答案】D
【分析】抛物线的准线为，焦点为，当，，三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小，从而的最小值为．
【详解】解：如图所示，
由题意，知抛物线的焦点为，连接，则．
，显然，（当且仅当，，三点共线时取等号）．
而为圆上的动点到定点的距离，
显然当，，三点共线时取得最小值，
最小值为．
故选：D．
11．如图，在正四棱柱中，，，分别为和的中点，过，，三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面上的投影图形的面积为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【分析】由空间图形的性质，作出截面图形，进而作出投影图形，计算面积即可．
【详解】解：正四棱柱中，，与必相交，记交点为，
连接延长交于，交于，连接并延长交于，连接，，
则四边形为截面四边形，过作于，连接，
则截面在平面上的投影图形为，
截面与正四棱柱的交线，，∴截面是平行四边形，可得是平行四边形，
，，∴为中点，，为的中点，∴，得，平行四边形底为1高为3，
故投影四边形的面积为．
故选：D．
12．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．函数的图象关于对称
C．的值域为
D．函数有9个零点
【答案】C
【分析】易知，然后利用，同理可得其它相同的结果，则A可解决；由周期性、对称性，进而解决BCD的判断．
【详解】由于是定义域为且周期为4的奇函数，对称中心为原点，对称轴为，，
故，，
同理，故正确；
是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，
当时，，，
当时，，，
则当，，
；
当，，
；
当，，
；
当，，
；
因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，因此也是周期为4的函数，函数图像如图所示
此时在处有最大值，故，故C错误；
函数图像对称轴为，，易知，时，B正确；
作出与的图像，其中，当时，，，，此时两函数图像不相交；当时，，时，；如图所示，与共由9个交点，故D正确．
故选：C．
二、填空题
13．已知函数，则曲线在点处的切线方程为 __．
【答案】
【分析】对的求导得，根据导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求解．
【详解】解：，
，
，，
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故答案为：．
14．已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为 __．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解．
【详解】向量，的夹角为，，
，
，
，
故向量在方向上的投影为．
故答案为：．
15．为普及空间站相关知识，某航天部门组织了空间站建造过程模拟编程竞赛活动．该活动由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等8个程序题目组成，则该活动的题目顺序安排中，全尺寸太阳能排在前两位，且太空发射与自定义漫游相邻，但两者均不与空间运输相邻的概率为 __．
【答案】
【分析】按特殊元素：全尺寸太阳能进行分类，再对相邻的捆绑不相邻的插空，算出符合要求的方法数，除以总的方法数即可．
【详解】解：8个程序题目全排列共有种方法；全尺寸太阳能排在前两位，可分类讨论：
①全尺寸太阳能排在首位：太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有种方法，两者均不与空间运输相邻，可先将其余4个全排列，有种方法，再插空有种排法，故此时共有种方法；
②全尺寸太阳能排在第二位，再分两种情况
首位排空间运输，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有种方法，和余下4个元素一起全排列，有种方法，共种方法；
首位不排空间运输，余下四个一般元素挑一个排在首位，有种方法，太空发射与自定义漫游相邻，将二者捆绑起来有种方法，余下3个一般元素全排列，有种方法，最后在4个空位中对空间运输和捆绑元素插空有种，共；
由①②所有符合条件的排法有；
故所求概率为：．
故答案为：．
16．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位得到的图象，若不等式在，上恒成立，则的取值范围是 __．
【答案】
【分析】先根据图象的变换规律求出的解析式，进而求出在上的值域，再利用换元法，结合函数性质，求出最值解决问题．
【详解】解：依题意有，
，
所以，所以，
由图知，函数的最小正周期满足：，
所以，则，令得，
所以，
所以，
当时，，
故，所以，
令，
原不等式即化为在，上恒成立，
令，该二次函数开口向上，要使上式恒成立，只需：
，解得，
故的范围是．
故答案为：．
三、解答题
17．已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)①；②；③．
从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由已知可得当时，，进而得，可求数列的通项公式；
（2）若选①：．错位相减法可求．若选②：，可求．若选③：，分组求和可求．
【详解】（1）当时，，，
，，，
当时，．．，
，数列是以，3为公比的等比数列，
．
（2）若选①：，
，
，
，
．
若选②：，
．
若选③：，
．
【点睛】数列求和的常见方法：
①错位相减法
②裂项相消法
③分组求和
④公式法
⑤倒序相加法
18．人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．
(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：
完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？
附1：线性回归方程：，其中，；
附2：，．
【答案】(1)
(2)列联表见详解，有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关
【分析】（1）利用公式求出，，即可得出结论；
（2）求得，与观测值比较，即可得出结论．
【详解】（1）由题意得，，，
，
，
，
，
所以关于的线性回归方程为．
（2）由题意得如下列联表：
，
所以有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．
19．如图1所示，在平行四边形中，，，将沿折起，使得二面角的大小为，如图2所示，点为棱的中点，点为棱上一动点．
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，，结合已知条件先证明，再证明，得到平面，从而结论即可得到.
（2）设，，利用体积求得，进而建立以A为坐标原点，以，为，轴，以过A且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用向量法可求出最大值．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，，
点为棱的中点，在中，
，
，，
在平行四边形中
有，，
，
，
折起后也有
所以，
，，
为二面角的平面角，即，
平面，平面
，
，，
为正三角形，
，
，
平面，
平面，
，
，
平面，
平面，
.
（2）设，，
那么点到面的距离就是的长，也就是，
，
，
解得，
，，
以A为坐标原点，以，为，轴，以过A且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，4，，，1，，
设点，
根据与方向相同得：，
，，，
，，1，，
设平面的一个法向量为，
，
令，
解得，，
平面的一个法向量为
，，，

．
当时取到等号
直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
【点睛】本题考察方向：
①证明线线，线面，面面平行
②证明线线，线面，面面垂直
③线面角
④异面直线所成角
⑤二面角的大小，二面角大小的正弦、余弦值
⑥已知二面角大小或正弦、余弦值求参数
解决方法：利用线线，线面，面面平行或垂直的判定定理及性质定理；建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题.
20．已知椭圆的离心率为，为的左焦点，，是上的两个动点，且直线经过的右焦点，的周长为．
(1)求的标准方程；
(2)若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），证明：的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由离心率可得，的关系，再由的周长可得的值，进而求出的值，可得的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出弦长的代数式，再由向量的关系，可得的横纵坐标与，的坐标的关系，将的坐标代入椭圆方程，可得参数的值，求出到直线的距离，代入三角形的面积公式可得为定值．
【详解】（1）由题意可得，，可得，，所以，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）证明：设，，，，，，
因为，即有
可得，，
由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立，整理可得，因为直线经过焦点，其在椭圆内部，显然，
且，，，
所以，
因为在椭圆上，所以，
可得，整理可得，
可得或（舍，
所以，
点到直线的距离，
所以为定值．
【点睛】结论点睛：圆锥曲线中的弦长公式：弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数，
若直线引入的参数为，则弦长，其中为直线与圆锥曲线联立的关于的一元二次方程的二次项系数.
21．已知函数．
(1)若存在，使得成立，求的取值范围；
(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得在时成立，即，然后构造函数，结合导数与单调性关系可求；
（2）由有3个不同实数解，可得有三个不同的实数解，构造新的函数，结合导数与单调性关系及函数性质可求．
【详解】（1）若存在，使得成立，
则在时成立，故，
令，，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故，所以，
故的取值范围为；
（2）有3个不同实数解，所以有三个不同的实数解，
令，则，
令，则，
因为，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，，
由题意得，
故的取值范围为．
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用一元二次方程根和系数的关系的应用求出结果
【详解】（1）直线的参数方程为，消去参数，可得，即；
曲线的极坐标方程为，即，
化为直角坐标方程是，即；
所以直线的普通方程是，
曲线的直角坐标方程为；
（2）令，得直线与轴交于点，
把直线的参数方程化为为参数），代入，
得到，
故，；
所以．
23．已知函数，．
(1)画出和的图象；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)画图见解析
(2)，，
【分析】（1）由分段函数的图象画法可得；
（2）考虑的图象经过，，结合图象平移可得结论．
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，.
当时，，
当时，.
故，，
可得，的图象如图：
（2）根据图象可知，可以看成经过左右平移得到的，
当的图象左支经过点，则有恒成立，
可得，解得或，
当时，即右平移一个单位，不恒成立；
当时，即右平移至少三个单位，恒成立，
当的图象右支经过点，则有恒成立，
可得，解得或2，
当时，即不平移，不恒成立；
当时，即左平移至少两个单位，恒成立，
故的取值范围是.
1
2
3
4
5
45
56
64
68
72
满意
不满意
总计
男
90
110
女
30
总计
150
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
满意
不满意
总计
男
90
20
110
女
60
30
90
总计
150
50
200