2023届广东省珠海市第四中学高三上学期开学摸底数学试题（解析版）

这是一份2023届广东省珠海市第四中学高三上学期开学摸底数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广东省珠海市第四中学高三上学期开学摸底数学试题 一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题. 2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根据交集的定义计算可得；【详解】因为，所以故选：C3．已知事件A，B，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.【详解】因为, .所以.故选：A.4．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（单位:）(单位：度) 由表中数据得线性回归方程：.则的值为A． B． C． D．【答案】C【详解】样本平均数为，即样本中心，则线性回归方程过，则，解得，即的值为，故选C.5．函数的大致图象是(    )A． B．C． D．【答案】B【分析】根据和函数值得正负即可排除CD，再根据f(1)和f(2)的函数值即可排除A．【详解】时，指数函数增速快于二次函数，故f(x)→+，图象单调递增，故排除C；时，，，故，故排除D；又，即f(x)>0时有两个零点，故图象B符合，图象A不符合．故选：B．6．已知正项等比数列中，公比，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由已知条件列方程求出，从而可求出【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，故选：A7．若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（    ）A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】B【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到各个房间即可得解.【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有组，再分配到3个不同的房间中，共有种排法，所以不同的放法数（种）.故选：B.【点睛】本题考查了排列组合求所有可能，考查了平均分组法，解题关键是平均分组时注意消序，计算量不大，属于基础题.8．数列满足，则（    ）A．2022 B．2020 C． D．【答案】C【分析】逐项计算，确定的周期，再求和即可【详解】由题意，，，，，故的周期为4.又，故故选：C 二、多选题9．下列函数的求导正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】对每一选项的函数分别求导即得解.【详解】解：A. ，所以该选项错误；B. ，所以该选项正确；C. ，所以该选项正确；D. ，所以该选项错误.故选：BC10．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】使用赋值法可判断AB；令，然后根据通项直接求解可判断CD.【详解】取，则有，A正确；取，则有，B正确；令，则，因为，所以，C错误；因为，，所以，D正确.故选：ABD11．某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为，计算其相关系数为，决定系数为．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为，相关系数为，决定系数为．下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.【详解】由图可知两变量呈现正相关，故，，去掉“离群点”后，相关性更强，所以，故，故A正确，B不正确．根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会略向轴偏向，故斜率会变小，因此可判断，故C正确,D错误.故选：AC．12．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（    ）A．不同的安排方法共有240种B．甲志愿者被安排到学校的概率是C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是【答案】ABD【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；分甲学校只有一个人和甲学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C；求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D.【详解】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，则共有种安排方法，故A正确；甲志愿者被安排到A学校，若甲学校只有一个人，则有种安排方法，若甲学校只有2个人，则有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．的展开式中的系数为___________.（用数字作答）【答案】15【分析】结合二项式展开项通项公式，即可求出对应的展开项以及系数【详解】由二项式展开项通项公式可得，，，故所求系数为15，故答案为：1514．已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．【答案】2【分析】由已知可得，可求出的值，然后再检验即可【详解】由，得，因为函数在x＝1处取得极值，所以，即，得，所以，当时，，当时，，所以为函数的极小值点，所以，故答案为：215．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量___________次.（参考数据：若，则.【答案】32【分析】因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，则，得到不等式计算即可.【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，则且，，所以，解得，所以至少要测量32次.故答案为：3216．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.【答案】【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.故答案为： 四、解答题17．已知函数在处取得极小值．(1)求c的值；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)；(2)的最大值为0 ，最小值为. 【分析】（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解；（2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解.【详解】（1）解：，由得或，当时，，令，可得或，令，可得，所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得极小值；当时，，令，可得或，令，可得，所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，所以函数在处取得极大值，舍去；综上，；（2）解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，又因为，所以的最大值为0 ，最小值为.18．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为4.(1)求切线的方程；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据导数的几何意义先求解的值，然后得到切点坐标，即可得到切线的方程；（2）化简不等式，分离常数，即，构造函数，利用导数求解函数的最大值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，，由题意知，，所以，故，所以，切点坐标为故切线的方程为．（2）解：由（1）知，，所以，可化为：，即在上恒成立，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，故当时，在上恒成立，所以实数的取值范围是.19．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶饮，按事先拟定的价格进行试销，得到销售数据，如下表所示：试销单价（元）202530354045销量（壶）8886767368 参考数据：.(1)已知变量具有线性相关关系，求销量（壶）关于试销单价（元）的线性回归方程和的值；(2)用表示根据线性回归方程得到的与对应的销量的估计值，当销售数据中与估计值满足时，则称该销售数据为一组“理想数据”.现从6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率.附：回归直线方程的斜率，截距.【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）根据题干中所给数据，分别计算，根据解得，然后求解斜率和截距即可得到回归直线方程；（2）根据题意计算出满足“理想数据”的情况，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）解：由题意得，，由，可求得，所以，，故所求的线性回归方程为．（2）解：当时，当时，当时，当时，当时，当时，．与销售数据对比可知满足的共有4组：、、、．从6组销售数据中任意抽取2组的所有可能结果有种，其中2组数据中至少有一组是“理想数据”的结果有种，所以抽取的2组销售数据中至少有1组是“理想数据”的概率为．20．2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表： 销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17 20线上销售时间不足8小时   合计  45 (1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 参考公式：，其中.【答案】(1)列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；②解答见解析. 【分析】（1）由题意分析数据，完成列联表，计算，对着参数判断下结论；（2）①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0，1，2.，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】（1）由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有.完成列联表如下： 销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时17320线上销售时间不足8小时101525合计271845 所以.对应的参数为6.635.而，所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；（2）①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为，所以应从销售额不少于30万元的企业抽取（家）；从销售额不足30万元的企业抽取（家）；②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0，1，2.则;;.所以X的分布列如下：X012P 所以.所以X的期望值为.21．已知数列满足，设.(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列，记数列的前项和为，请比较与1的大小.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由，可得，再根据等比数列的定义可证得结论，（2）由（1）可得，从而可得，则，然后利用裂项相消法可求出，从而可与1比较大小【详解】（1）证明：因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，所以，所以，因为，所以，所以22．已知函数，且点在函数的图像上，记，其中是自然对数的底数，，(1)求实数的值并求函数的极值；(2)当时，证明：函数有两个零点，且.【答案】(1)；当时，函数的极小值为；当时，函数的极小值为，函数没有极大值.(2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意代入即可解得，分类讨论的取值范围，利用导数求解函数的单调性，进而求得极值；（2）根据函数的单调性结合零点存在定理可判断函数在内有一个零点，当时，，构造函数，利用导数证明，即可得到在上有一个零点，即可得到，进而证明不等式.【详解】（1）解：由题意知，，所以，此时，，则，若，令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，函数取得极小值，所以，同理，若，当时，函数取得极小值，此时，综上，当时，函数的极小值为当时，函数的极小值为，函数没有极大值.（2）解：当时，由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增，所以函数最多有两个零点，又，，所以函数在内有一个零点，又当时，，而，令，所以，所以函数在上单调递增，则，所以，所以在上有一个零点，综上，当时，函数有且仅有两个零点，，且，故．