2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（三）数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（三）数学（理）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届贵州省贵阳第一中学高三高考适应性月考（三）数学（理）试题 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式不等式的解法和集合的交集、并集运算求解.【详解】由得 解得，所以，所以，故选：B．2．已知复数z满足，则复数的模是（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】计算，得到，再计算模长得到答案.【详解】，故，的模为，故选：A3．已知数列是公比为的等比数列，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由及等比数列通项公式求出且，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由即，显然，，所以，解得且．所以由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件；故选：C．4．已知向量、为相互垂直的单位向量，若，则向量与向量的夹角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，，再根据夹角公式求出，即可得解.【详解】解：因为、为相互垂直的单位向量，所以且，所以，，所以，又，所以；故选：D．5．已知数列的前项和为，且．若，则（    ）A．116 B．232 C．58 D．87【答案】A【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.【详解】∵，∴，∴为等差数列，∴ ，∵，∴，∴，故选:A．6．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，那么三人中恰有两人合格的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由独立事件的乘法公式计算即可.【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率为 .故选：C．7．若正数x，y满足，则的最小值为（    ）A．4 B．1 C．5 D．2【答案】D【分析】将整理成“1”的形式，然后运用“1”的妙用解题.【详解】由，有，所以，则 ，当且仅当即时，等号成立，故选D．故选：D．8．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（    ）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】先根据定义求出点的横坐标，将其代入抛物线方程，求出点的纵坐标，进而求出面积.【详解】由可得抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线焦半径公式知，将代入，可得，所以的面积为，故选：A．9．高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有（    ）A．24种 B．40种 C．60种 D．84种【答案】B【分析】先求出五个节目的全排列有种情况，要求甲、乙、丙有两种固定的出场顺序，则除以甲乙丙的全排列，再乘以固定的顺序种类即可得到结果.【详解】五个元素的全排列数为，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲” 2种排法，所以满足条件的排法有.故选：B．10．已知函数为R上的偶函数，对任意不相等的，均有成立，若，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设恒成立可得在为减函数，结合偶函数性质则在为增函数，由对数函数单调性可判断，即可根据单调性得a，b，c的大小关系.【详解】∵对任意不等，，均有成立，∴此时函数在区间上为减函数，又∵是偶函数，∴当时，为增函数．由，，所以，所以，即.故选：D．11．已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线与x轴交于点N，若，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据内心的几何特点，结合椭圆定义和已知条件，求得，即可求得结果.【详解】连接，，如下所示：I是的内心，可得，分别是和的角平分线，MN为的角平分线，则N到直线，的距离相等，所以，同理可得，，由比例关系性质可得  ．又因为，所以椭圆的离心率.故选：B．12．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若关于x的函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数分析的单调性，结合函数是奇函数，数形结合即可求得参数的范围.【详解】如图，当时，，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；时，；又是R上的奇函数，，其函数图象如下所示：的零点，即的根；数形结合可知，有个根，故只需与的图象有一个交点即可.即满足条件或，解得.故选：A． 二、填空题13．若随机变量，且，则___________．【答案】##【分析】根据正态分布的性质，结合已知条件，求解即可.【详解】．故答案为：.14．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中一次项系数为___________．【答案】【分析】先运用赋值法求出的值，然后运用二项式定理的展开式求一次项系数.【详解】令，可得的展开式中各项系数的和为，．，故该展开式中一次项为，故答案为80．故答案为：80.15．直线与圆交于两点，则最小值为______.【答案】【分析】求出直线过定点，然后结合圆的性质分析出当直线与OA垂直时，弦长最短，然后结合垂径定理即可求解.【详解】直线过定点过，因为点在圆的内部，且，由圆中弦的性质知当直线与OM垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得，故答案为：16．在三棱锥中，已知是线段上的点，．若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．【答案】【分析】先由空间关系依次证，平面PAB ，，平面ABC，由正弦定理算外接圆的半径为r，最后由几何关系算得外接球半径.【详解】如图所示，在中，因为，，可得 ．又因为，所以．由，，可得，可得，所以．又由，且PB，平面PAB，所以平面PAB．又由平面PAB，所以．由，即，且，AD，平面ABC，可得平面ABC．设外接圆的半径为r，则，可得，即．设三棱锥的外接球的半径为R，可得，即，球O的半径为，故表面积为．故答案为： 三、解答题17．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求得结果；（2）利用正弦定理求出角，从而可判断三角形为直角三角形，进而可求出三角形的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又，故．（2）由正弦定理可知，又，，，所以．故，所以，故为直角三角形，于是．18．正的边长为2，是边上的高，E，F分别是和的中点（如图甲）．现将沿翻成直二面角（如图乙）．在图乙中：(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过可得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】（1）证明：在图乙的△ABC中，因为E，F分别是AC，BC的中点，所以．又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF．（2）在图甲中，是边上的高，则，翻折后必有，则二面角的平面角，即，即如图，以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，，， ，，．设平面DEF的一个法向量为，则即，令，则，，所以直线与平面所成角的正弦值为．19．为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，观山湖区某学校以问卷形式对教职工做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共100份有效问卷，50名男性中有2名不愿意接种疫苗，50名女性中有10名不愿意接种疫苗．(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关？ 愿意接种不愿意接种合计男   女   合计    (2)从不愿意接种疫苗的12份调查问卷中得知，其中有5份是由于身体原因不能接种，且3份是女性问卷，若从这5份问卷中任选2份继续深入调研，求这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率．附：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828  【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关；(2) 【分析】（1）根据男女生的总人数和不愿意接种人数为突破点可完成联表，然后将数据代入卡方公式进行计算；（2）根据概率计算公式可算.【详解】（1）列联表如下： 愿意接种不愿意接种合计男女合计 的观测值，∴有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．（2）记3份女性问卷为A，B，C，2份男性问卷分别为a，b，则5份问卷任取2份的方法为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种．其中是1份男性和1份女性的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6种，∴这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率．或解：20．已知椭圆，短轴长为，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线被截得的弦长为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于D，E两点，则在x轴上是否存在一个定点M，使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，也请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，. 【分析】（1）根据已知条件，列出满足的方程组，解得，即可求得椭圆方程；（2）讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理以及直线的斜率互为相反数，即可求得结果.【详解】（1）对椭圆，令，解得，故可得 解得，， 所以椭圆C的标准方程为．（2）据题设知点，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为．由得．设，，则，．设，则，．又因为直线MD，ME的斜率互为相反数，所以，所以，则，所以，所以，所以．若对任意恒成立，则，当直线l的斜率k不存在时，若，则满足直线MD，ME的斜率互为相反数．综上，在x轴上存在一个定点，使得直线MD，ME的斜率互为相反数．【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中存在某点满足条件；第二问处理的关键是合理使用韦达定理，结合斜率之和为进行求解，属综合中档题.21．已知函数．(1)试判断函数的单调性；(2)若函数有两个不同的实数解，试说明．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）由导数法判断单调性即可；（2）原方程化简为，令，则，则要证结合对数运算法则，等价于证，令，则，只要证明，时恒成立即可，最后由导数法证明即可.【详解】（1）由题可知的定义域是，．当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：因为有两个不同实数解，即有两个不同实数解，又由于，故不妨设令，且有，，∴，，要证，只需证．令，则，所以只要证明，时恒成立，令，，由于已知，∴恒成立，所以在上递增，∴，所以时，恒成立，即恒成立，从而证明．【点睛】要证，关键是利用条件将不等式变形，将作为整体换元，使原不等式变成只含一个变量的不等式恒成立问题.本题，故可结合对数运算性质进行变形，最后不等式等价于证22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据参数方程得到，展开极坐标方程再代换得到直线方程.（2）确定直线的参数方程，代入曲线方程得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算得到答案.【详解】（1）曲线C的参数方程为(为参数)，则有，即曲线C的普通方程为.直线l的极坐标方程为，展开可得，将代入，可得，即，即．（2）点在直线l：上，则直线l的参数方程为(t为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得，整理得：，设点A，B对应的参数分别为，，则，．所以．23．已知．(1)求不等式的解集；(2)若方程有实数解，求m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分段讨论，化简绝对值，再解不等式即可.（2）方程有实数解转化为函数有交点，利用三角不等式求出函数的最小值，即可求得m的取值范围【详解】（1）解：不等式，即，①当时，不等式化为，解得，故；②当时，不等式化为成立，故；③当时，不等式化为，解得，故，综上所述，不等式解集为.（2）解：由三角不等式可得，，所以，要使方程有实数解，则函数的图像与函数的图像有交点，需，故m的取值范围是.