2023届贵州省贵阳市乌当区高三上学期期中质量监测数学（理）试题（解析版）

2023届贵州省贵阳市乌当区高三上学期期中质量监测数学（理）试题

一、单选题

1．若集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求得集合，根据集合的交集的运算，即可求解．

【详解】由题意，集合，，

所以，故选B．

【点睛】本题主要考查了集合的运算问题，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部是（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【分析】整理的形式，由定义即可得到答案.

【详解】由题，，

因为，所以，

所以的虚部为，

故选：C

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】函数是奇函数,

若，则，

则，

即成立,即充分性成立，

若，满足是奇函数，当时

满足，此时满足，

但，即必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，

所以A选项正确.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.

4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)（    ）

A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40

【答案】B

【解析】由题意可得50=10+(90-10)·e-0.25t，化简可求得答案.

【详解】由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t，整理得e-0.25t=，

即-0.25t=ln=-ln2=-0.693，解得t≈2.77.

故选：B.

【点睛】本题主要考查对数的运算性质的应用，解指数方程.

5．等差数列的前项和为，且，则 (　　)

A．30 B．35 C．42 D．56

【答案】B

【分析】先根据题目已知利用公式求出公差 ， ，再利用求和公式得出结果.

【详解】因为是等差数列，所以，

所以公差 ，

根据求和公式

故选B

【点睛】本题主要考查了数列的求和以及性质，对于等差数列的公式的熟练运用是解题的关键，属于基础题.

6．的值为( 　 )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用两角和的正切公式进行化简，由此得出正确选项.

【详解】注意到，所以，所以.故选C.

【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

7．将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象关于点对称 B．函数的周期是

C．函数在上单调递增 D．函数在上最大值是1

【答案】C

【解析】直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数的图象上各点横坐标缩短到原来的，

得到函数的图象，

对于A中，由，可得函数关于对称，

所以不正确；

对于B中，函数的最小正周期为，所以不正确；

对于C中，当，可得，函数单调递增，所以是正确的；

对于D中，由，可得，所以函数取不到最大值1，所以不正确.

故选：C.

8．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性

【详解】解：函数的定义域为，

因为，

所以为偶函数，图像关于轴对称，所以排除B，

设，

所以当时，

所以，

所以在上单调递增，所以排除B，D，

故选：A

【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题

9．已知，，分别为的三个内角，，的对边，已知，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知根据正弦定理用表示出，由的度数及正弦函数的图象可知满足题意的的范围，然后根据的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出的范围，进而求出的取值范围．

【详解】在中，由正弦定理得：，即，

可得，

由题意得：当时，满足条件的有两个，

所以，解得，

则的取值范围是，．

故选：．

【点睛】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于基本知识的考查．

10．已知函数满足：①定义域为；②，都有；③当时，，则方程在区间内解的个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】由已知得出函数的周期为2，在同一坐标系中，作出的图象与的图象，观察在区间内有交点个数，即为方程在区间内解的个数，由此可得选项.

【详解】因为对，都有，所以函数的周期为2，在同一坐标系中，作出的图象与的图象，观察在区间内有交点个数为5，

即方程在区间内解的个数是5，

故选：A.

【点睛】本题考查函数的周期，函数的图象的交点，方程的根的个数，属于中档题.

11．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导后，根据极值点的定义可确定在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】；

在内有且仅有一个极值点，在内有且仅有一个变号零点；

或，解得：或，

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数后由单调性比较大小，

【详解】令，则，

当时，，故在上单调递增，

，即，

令，则，

当时，，，

故在上单调递减，，

得，即，

综上，，

故选：C

二、填空题

13．已知向量，，若向量与共线，则实数_________.

【答案】

【分析】可求出，根据向量23与共线即可得出2m+2（6+3m）＝0，解出m即可．

【详解】解：；

∵与共线；

∴2m+2（6+3m）＝0；

解得．

故答案为．

【点睛】本题考查向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．

14．已知变量，满足，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，利用是可行域内的动点与定点连线的斜率，结合两点连线的斜率公式可得结果.

【详解】

由约束条件作出可行域如图，

联立,解得,

联立，解得，

的几何意义是可行域内的动点与定点连线的斜率，

，

的取值范围是，故答案为.

【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.

15．已知角的终边过点，且，则的值为______

【答案】

【分析】由，且得在第三象限，则，再利用三角函数定义可得解.

【详解】因为角的终边过点，所以，解得.

由，且得在第三象限，则，

故答案为：

【点睛】本题考查三角函数定义.属于基础题.

16．若直角坐标平面内两点满足点都在函数的图像上，且点关于原点对称，则称是函数一个“姊妹点对”（与可看作同一“姊妹点对”）.已知则的“姊妹点对”有_______个.

【答案】2.

【分析】根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．

【详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.

可作出函数的图象关于原点对称的图象，

看它与函数交点个数即可.如图所示：

当时，

观察图象可得：它们有2个交点.

故答案为：2.

【点睛】本题考查函数的新定义问题，根据已知条件将问题转化为零点个数问题，利用数形结合画出图像即可求解，属于中等题.

三、解答题

17．（1）计算

（2）计算；

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用分数指数幂的性质、运算法则直接求解；

（2）利用对数的运算性质对数相加等于真数相乘，对数相减等于真数相除及常用对数可得最后结果.

【详解】解：（1）

．

（2）

18．已知是第三象限角，且．

（1）化简；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由诱导公式化简；

（2）由诱导公式化简已知式得，再由平方关系求得即可得．

【详解】（1）；

（2），，是第三象限角，所以，

所以．

19．等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn＝bn+，求数列{cn}的前n项和Tn．

【答案】（Ⅰ）an＝n，bn＝2n；（Ⅱ）2n+1﹣．

【分析】（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，数列{bn}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；

（Ⅱ）求得cn＝bn+＝2n+＝2n+2（），利用数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

【详解】（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，a1＝1，

数列{bn}为等比数列，设公比为q，

b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，

可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，

解得q＝2，d＝1，

则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；

（Ⅱ）cn＝bn+＝2n+＝2n+2（），

则前n项和Tn＝（2+4+…+2n）+2（）

＝+2（1﹣）

＝2n+1﹣

20．如图，在平面四边形中，，，.

（1）求对角线的长；

（2）若四边形是圆的内接四边形，求面积的最大值.

【答案】(1) (2)

【分析】（1）根据条件和诱导公式可求得的值，结合正弦定理即可求得BD的长．

（2）根据余弦定理，结合不等式即可求得面积的最大值．

【详解】（1）在中，

，

由正弦定理得，

即.

（2）由已知得，，所以，

在中，由余弦定理可得，

则，

即，

所以，

当且仅当时取等号.

【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于基础题．

21．函数的部分图象如图所示．

（1）写出的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，讨论关于的方程在区间上的实数解的个数．

【答案】（1）；（2）见解析.

【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求，从而得到函数解析式.

（2）求出的解析式，故方程可化为，可通过直线与 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.

【详解】（1）由函数的图象可得的周期为，故，

又，故，

所以即，

因为，故，所以.

（2），

故

故方程在区间上的实数解的个数即为与图象交点的个数，

在上的图象如图所示，

由图象可得：

当或即或时，方程有2个不同的解；

当即时，方程有4个不同的解；

当即时，方程有3个不同的解；

【点睛】方法点睛：

（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量做加减．

（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.

22．已知函数，．

（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（I）对原函数求导，根据在内的单调性得在上恒成立，构造函数，求出其最大值即可求出的取值范围;

（Ⅱ）函数有两个极值点分别为，，等价于在内有两根，，将极值点代入作差，设，得到时原不等式成立；时，将原不等式转化为，令，，构造函数，证明，即原不等式成立.

【详解】（I）由题可知，，

在内单调递减，

∴在内恒成立，

即在内恒成立，

令，则，

∴当时，，即在内为增函数，

当时，，即在内为减函数，

∴，即，，

∴；

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，

则在内有两根，，

，两式相减，得，

不妨设，

当时，恒成立，

当时，要证明，只需证明，

即证明，即证明，

令，，

令，

，

在上单调递减，

，

，

即成立，

.

【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，不等式的转化，构造函数讨论是解决问题的关键.