2023届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2023届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省承德市双滦区实验中学高三上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知全集，集合与的关系如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】由图可先求,再根据求阴影部分的元素个数即可.
【详解】因为,所阴影部分表示的集合为,该集合共有4个元素.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据韦恩图求解分析集合关系的问题,属于基础题.
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（    ）
A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【分析】利用复数的乘方和除法运算化简得到复数z，再逐项判断.
【详解】因为，所以，
A.复数z的模为，故错误；
B.复数z的共轭复数为，故错误；
C.复数z的虚部为，故错误；
D.复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确；
故选：D
3．已知直线､，平面､，给出下列命题：
①若，，且，则
②若，，且，则
③若，，且，则
④若，，且，则
其中正确的命题是（    ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．①
【答案】D
【分析】由面面垂直的判定定理判断①；由面面平行的条件判断②④；由面面垂直的条件判断③.
【详解】由面面垂直的判定定理可知①正确；
由面面平行的条件可知②错误，反例：若，当，则，；
由面面垂直的条件可知③错误，反例：若，，满足，但
由面面平行的条件可知④错误，当，可知，因为，所以
故选：D
4．三个数，，的大小关系是     
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，借助于中间量，即可得到结论，得出答案.
【详解】由题意可知，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数式、对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，合理借助中间量比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5．如图在梯形中，，，设，，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.
6．已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（    ）
A．1078 B．1068 C．566 D．556
【答案】A
【分析】设公差为d ，公比为q，由结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果
【详解】设公差为d ，公比为q，
由题，，则，，
联立可解得，，所以，，
∴的前10项和为，
故选：A
7．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导得，由题意得在上只有一个变号零点，参变分离得，利用函数的单调性得的取值范围.
【详解】因为，所以，
函数在上有且仅有一个极值点，
在上只有一个变号零点.令，得.
设在单调递减，在上单调递增，，
又，得当，在上只有一个变号零点.
经检验，不合题意，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题．可以从两个方面去思考：
（1）根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；
（2）也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．
8．已知函数，下列关于的性质，推断正确的有（    ）
①函数的定义域为
②函数是偶函数
③函数与的值域相同
④在上递增
⑤在上有最大值
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据函数的解析式对各个选项依次判断即可.
【详解】恒成立，故①对；
为奇函数，故②错；
令与的值域相同，故③对；
令由复合函数单调性知：在上递增，故④对；
当取得，故⑤错；
故选：B

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题
B．若命题P：，或，则：，
C．命题“函数是奇函数”是真命题
D．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【答案】ABD
【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断A、B选项；由函数的奇偶性的定义判断C选项；由充要条件的定义判断D选项.
【详解】解：对于A，命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题，所以A正确：
对于B，若命题或，则，故B正确；
对于C，函数的定义域为，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，所以C错误；
对于D，充分性：若是无理数，则a是无理数，充分性成立；
必要性：若a是无理数，则是无理数，必要性成立.
故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以D正确.
故选：ABD.
10．已知向量，则（    ）
A． B．向量在向量上的投影向量是
C． D．与向量方向相同的单位向量是
【答案】ACD
【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A；利用向量数量积的几何意义可判断B；利用向量模的坐标表示可判断C；根据向量方向相同的单位向量可判断D.
【详解】由向量
A，，所以，所以，故A正确；
B，向量在向量上的投影向量为，故B错误；
C，，所以，故C正确；
D，与向量方向相同的单位向量，故D正确.
故选：ACD
11．下列命题正确的是（    ）
A．使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是
B．在上恒成立，则实数的取值范围是.
C．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或
D．若不等式的解集为或，则
【答案】ABC
【分析】A：令，则即可求得a的范围；
B：令，则即可求得k的范围；
C：根据题意求出a和b的关系，化简即可求出解集；
D：根据二次方程根与系数的关系求出a、b、c间的关系，即可判断abc的符号．
【详解】A：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，
令，则有，即，
解得，故A正确；
B：∵在上恒成立，
令，则，即，解得，故B正确；
C：∵关于的不等式的解集是，∴，
则关于的不等式等价于，即，
解得或，故C正确；
D：若不等式的解集为或，
则，且，
又，故D错误．
故选：ABC．
12．函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】定义域为，值域为，为周期函数，可选择一个周期内图像进行分析即可.
【详解】



根据周期性分析，不失一般性不妨为的子集，此时

分析答案知：BC
故选：BC

三、填空题
13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．
【答案】
【解析】利用正弦定理将角化边，可得等量关系；再利用面积公式，再得的另一个等量关系，据此求得由sin求得cos，利用余弦定理即可求得.
【详解】由＝，可得＝，故a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
联立①，②得a＝5，且c＝2.
由sin B＝且B为锐角知cos B＝，
由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及利用正弦定理实现边角互化，属综合基础题.
14．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．

【答案】1.5##
【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，从而求出夏至的日晷长.
【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差，所以夏至的日晷长为．
故答案为：1.5
15．设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
【答案】14,+∞##k|k≥14
【分析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.
【详解】因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
16．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是_______________.①；②平面；③异面直线，所成的角为定值；④直线与平面所成的角为定值；⑤以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化.

【答案】①②④⑤
【分析】连接BD交AC于O，由正方体的性质结合线面垂直的判定与性质可判断①；由正方体的性质结合线面平行的判定可判断②；作出异面直线所成的角即可判断③；由线面角的概念可判断④；由三棱锥体积公式可判断⑤；即可得解.
【详解】对于①，连接BD交AC于O，如图，

由正方体的性质可得，平面，
所以，所以平面，所以，故①正确；
对于②，由正方体的性质可得，所以平面，故②正确；
对于③，连接OE，如图，

由题意结合正方体的性质可得且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以或其补角即为异面直线，所成的角，
由不为定值，可得异面直线，所成的角不为定值，故③错误；
对于④，直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，为定值，
故④正确；
对于⑤，因为，
为定值，点A到平面即平面的距离为定值，
所以以为顶点的四面体的体积不随位置的变化而变化，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
【点睛】本题考查了正方体几何特征、异面直线的夹角、线面位置关系及几何体体积，考查了空间思维能力，属于中档题.

四、解答题
17．已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
【详解】（1）依题意得：，或，
当时，在上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
.
（2）由（1）得：，
当，时，，，即，，
当，时，，，即，，
若命题是成立的必要条件，则，
则，即，
解得：.
【点睛】本题考查了函数性质与逻辑综合，考查了学生综合分析，逻辑推理，数形运算能力，属于中档题.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理化简可得，再由余弦定理，求得，即可求得的大小；
（2）由题设条件，求得，，再由正弦定理可得，利用面积公式，即可求解．
【详解】（1）由，
因为，可得，
又由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，∵，∴.
（2）在中，因为，
所以，可得，
又因为，由正弦定理可得，
又由，
∴的面积.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
19．已知数列满足，数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）设数列的前项和为，由计算可得的通项，由数列满足，所以，即为等差数列，
再根据等差数列通项公式计算可得；
（2）由（1）知，再利用分组求和法计算可得；
【详解】解：（1）设数列的前项和为，则．
当时，；                                                   
当时，．
当时，显然符合通项，
所以；                                              
因为数列满足，所以，
即为等差数列，
因为，所以公差，
则；                                               
（2）由（1）知，             
所以数列的前项和：

．
20．已知函数.
(1)若时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极值，当时，求函数的最小值；
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，计算，代入切线方程即可.
（2）求出函数的导函数，利用极值点处的导函数为0求出的值，进而得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值.
【详解】（1）时，，则
则切线方程为，即.
故答案为：.
（2），
因为函数在时取得极值，所以，解得，
所以
令，得或，
令，解得
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最小值是或，
又因为，所以.
故答案为：.
21．已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，CD⊥AC，平面PAB⊥平面ABCD，且PA＝AD，PB＝，E为PD中点，AF⊥PC，垂足为F．

（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AB与CE所成的角；
（3）求证：PD⊥EF．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；
【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由面面垂直的性质得到线面垂直．
（2）取中点，连接，，可证，则为异面直线与所成角，
再利用锐角三角函数计算即可．
（3）首先可证平面，即可得到，再由，即可得到平面，从而得到，再由，得到平面，即可得证．
【详解】解：（1）证明：因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
（2）取中点，连接，，

因为，为，的中点，
所以，，所以，
又因为，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以为异面直线与所成角，
所以，所以，
所以异面直线与所成角为，
（3）证明：因为，，，平面
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
22．已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【详解】试题分析：（1）当时，得到，求得，利用和，即可求解函数的单调区间；
（2）由，分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，分类参数得出对恒成立，设函数，求得，求得函数单调性与极值，即可求解实数的最大值.
试题解析：
（1）当时，，．            
令，解得，令，解得，
∴的单调增区间为，单调减区间为．         
（2），
当时，由，知，
所以，在上是单调增函数，且图象不间断，
又，∴当时，，
∴函数在区间上没有零点，不合题意．         
当时，由，解得，
若，则，故在上是单调减函数，
若，则，故在上是单调增函数，
∴当时，，
又∵，在上的图象不间断，
∴函数在区间上有1个零点，符合题意．      
综上所述，的取值范围为．           
（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，
则由知，从而对恒成立（*）          
记，得，           
设，，
∴在是单调增函数，
又在上图象是不间断的，
∴存在唯一的实数，使得，               
∴当时，在上递减，
当时，在上递增，
∴当时，有极小值，即为最小值，，
又，∴，∴，
由（*）知，，又，，∴的最大值为3，
即存在最大的正整数，使得在上恒成立．
点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，函数的零点与不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.