2023届河北省廊坊市安次区高三上学期12月调研数学试题（解析版）

这是一份2023届河北省廊坊市安次区高三上学期12月调研数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河北省廊坊市安次区高三上学期12月调研数学试题 一、单选题1．已知全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合交集与补集概念进行计算.【详解】由题意可得：，则.故选：D2．设复数，，则（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【分析】通分后再利用复数的乘法运算即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.3．若点在角的终边上，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将点化简，得，结合同角三角函数先求出，再结合二倍角公式求出即可【详解】由得，则，.故选：A.4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右移个单位【答案】D【分析】先对函数的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．【详解】因为：．所以：函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象．故选:D.5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（    ）（参考数据：，）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.故选：C6．已知向量，若，则在上的投影是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据坐标先求得向量，结合平面向量数量积的运算律求得，即可由平面向量投影的定义求得在上的投影.【详解】向量，则，因为，则，即，所以，在上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于基础题.7．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过且倾斜角为的直线与双曲线的渐近线交于 点，若，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由焦点到渐近线的距离为和得直线与双曲线的渐近线垂直，进而在中求解即可.【详解】解：由题知，所以到渐近线的距离为，因为，所以直线与双曲线的渐近线垂直，所以在中，，.所以.故选：A 二、多选题8．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．当时，曲线在点处的切线方程为B．当时，在定义域内为增函数C．当时，既存在极大值又存在极小值D．当时，恰有3个零点，且【答案】BCD【分析】按照导数几何意义解决；证明导数为正值即可；以极值定义去判定；构造函数去证明.【详解】选项A: 当时，曲线,则，切线斜率又，故曲线在点处的切线方程为.A选项错误；选项B: 令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，在处取得最小值当时，对任意恒成立，则对任意恒成立，故当时，在定义域内为增函数.B选项正确；选项C: 由以上分析知道：在处取得最小值当时，必有二根，不妨设为则当时，，，为增函数，当时，，，为减函数，当时，，，为增函数，故既存在极大值又存在极小值. C选项正确；选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值，不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且，在上单调递减，又故极大值为正值，极小值为负值，当时，；当时，故函数有三个零点，不妨设为，又故有，则即当时，恰有3个零点，且正确.故选：BCD9．下列式子等于的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据诱导公式，即可判断A，B不正确；根据三角恒等变换，即可判断C正确；根据余弦的二倍角公式，即可判断D正确，由此即可得到答案.【详解】，故A不正确；，故B不正确；，故C正确；，故D正确.故选：CD.10．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（    ）A．该地水稻的平均株高为100B．该地水稻株高的方差为10C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大【答案】AC【分析】由可知，由此判断A正确，B错误;然后根据正态分布的对称性及原则求解概率判断C和D.【详解】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；故选：AC11．已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由题意可知，抛物线的准线为，利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标，结合直线的方程可知，直线经过焦点，利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程，解方程求出，利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，又直线 ，所以直线恒过抛物线的焦点，设点，因为两点在抛物线上，联立方程，两式相减可得，，设的中点为，则，因为点在直线上，解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，由抛物线的定义知，圆的半径，因为，所以，解得，故选项B正确；因为，,所以，故选项C正确；过做轴，过做轴，抛断线的准线交轴与点，设,，，，，又，，则，则D错误.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.12．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（    ）A．B．C．三棱锥的体积为定值D．M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°【答案】BC【分析】由题可得与不平行可判断A，利用线面垂直的判断定理及性质定理判断B，利用棱锥的体积公式可判断C，利用坐标法可判断D.【详解】由正方体的性质可知，与不平行，故A错误；由正方体的性质可知，又，∴平面，又平面， ∴，故B正确；由题可知M到平面的距离为定值d=2，三角形的面积为定值，所以为定值，故C正确；如图建立空间直角坐标系，则∴，设平面PQM的法向量为，则，令，则，平面的法向量可取，设二面角的平面角为，则，故D错误.故选：BC. 三、填空题13．展开式的常数项为__________．【答案】3【分析】用通项写出第r+1项，整理后令x的指数为0解出r，然后可得.【详解】，令，得，所以常数项为.故答案为：314．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）【答案】36【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种则所有分配方案共有种故答案为：3615．双曲线的右焦点为F，直线与双曲线相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为___________.【答案】【分析】先设出A，B坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算即可．【详解】由题意可知：双曲线（，）焦点在x轴上,右焦点F(c,0)，则,整理得：,即，∴A与B关于原点对称,设，,∵，∴，即,整理得：，∴,即，∴，∵，∴，∴，即.故答案为：16．函数满足且，则称函数为M函数．当时，，，且，均为M函数，则方程在区间上所有根的和为______．（参考数据：，）【答案】【分析】由条件可得M函数为周期为，图象关于对称的函数，由条件作出函数，的图象，观察图象确定方程在区间上所有根，由此可得答案.【详解】∵ 函数为M函数，∴ ，∴ 函数的周期为，函数的图象关于直线对称，同理可得函数的周期为，函数的图象关于直线对称，又当时，，，∵ 函数在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数当时，，，，又，，∴，故当时，，，∴当时，，，∴由此可做函数，在上的图象如下：由图象可得函数，的图象在上有12个交点，∴ 方程在区间上有12个根，从小到大依次记为，由图象知，，，∴方程在区间上所有根的和为.故答案为： 四、解答题17．已知数列满足，；数列前项和为，且，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)设，求前项和.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【详解】（1），，∴，又，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列,∴，，（为正整数）时，是首项为1，公差为2的等差数列.∴，∴，∴，∵，∴时，，∴，又，∴时，，，∴；（2）由（1）得，设    ①则   ②①②得，，∴18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角C；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.(2) 由正弦定理边化角，再由三角函数求最值.【详解】（1）由已知及正弦定理得，即，由余弦定理得，可得．（2）根据正弦定理得，又，则故，则的取值范围是．19．中国载人航天工程办公室发布消息，为发挥中国空间站的综合效益，中国首个太空科普教育品牌“天宫课堂”正式推出.中国空间站首次太空授课活动于2021年12月9日面向全球进行直播.为了了解学生对此次直播课的观看情况，现从高三某班随机选取10名学生进行调查，发现有6名学生观看了直播，4名学生未观看直播.(1)若从这10名学生中任选2名学生，求至多有1名学生未观看直播的概率；(2)若从这10名学生中任选3名学生，记其中观看了直播的学生人数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）任选2名学生，至多有1名学生未观看直播包括这2名学生都观看直播和恰好有1人观看直播两种情况，根据古典概率公式可得答案.（2）由题意可取0，1，2，3，分别求出其概率，可得分布列，由期望公式可得数学期望.【详解】（1）设“从10名学生中任选2名学生，至多有1名学生未观看直播”为事件，.（2）由题意可知可取0，1，2，3，，，， 【点睛】.20．在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．(1)求证：AD⊥PC；(2)求二面角P-AB-C的余弦值；【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）面面垂直得线面垂直，进而得到线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC；（2）在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，∵DH⊥平面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为，又，，设平面PAB的一个法向量为，由，取，则，∴，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；21．已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．(1)求椭圆C的方程；(2)过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出直线的方程为：，原点到直线的距离为，列出关系式，通过，根据三角形的面积，求出，，即可得到椭圆的标准方程．（2）依题意可得，即可判断直线与的斜率均存在，设：，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到点坐标，同理得到点坐标，从而得到、，再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得；【详解】（1）解：由题意，①，，则直线的方程为：，即为，原点到直线的距离为，，，②，③由①②③得：，，所以椭圆的标准方程为：；（2）解：由（1）可知，因为，所以，若直线或中有一条直线斜率不存在，那么、中一点与重合，故斜率一定存在，设：，则的斜率为，由可得：，设，，，，则，，所以，即，同理将代入得，所以，，所以令，则，当且仅当即时取等号，所以，所以，因为函数在上单调递增，所以当时，所以，即面积的最大值为；22．已知，其中．(1)当时，分别求和的的单调性；(2)求证：当时，有唯一实数解；(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减；当时，在单调递增(2)证明见解析(3) 【分析】（1）当，时，，当，时，，利用导数计算即可判断单调性.（2）当时，等价于，构造函数，则，讨论当n为偶数，当n为奇数时，的单调性，结果即可证得结果.（3）等价于．由（2）知，，即可求得结果．【详解】（1）．当，时，，．由，得；由，得．所以，在单调递增，在单调递减．当，时，，．因为,可知当，取得极小值0，可知，所以在单调递增．（2）当时，．即，即令，则．所以，当n为偶数时，，单调递减．因为，所以有唯一解．当n为奇数时，若，则，在单调递增；若，则，在单调递减．因为，所以有唯一解．综上，当时，有唯一实解．（3）当，时，等价于，即，即．由（2）知，，所以，．