2022-2023学年湖北省荆州市沙市区高三年级（上）数学期末模拟测试（解析版）

荆州市沙市区2022-2023学年高三年级（上）期末模拟测试

数学

一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共 40分。下列各题，每小题只有一个选项符合题意。）

1. 已知集合.，则（    ）

A． B． C． D．

2. 复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（      ）

A. 80种 B. 120种 C. 130种 D. 140种

4. 已知△ABC中，，，点O是△ABC的外心，则（    ）

A. － B. － C.  D.

5. 著名物理学家牛顿在1701年提出的牛顿冷却定律是传热学的基本定律之一：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为C，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：，其中k是一个根据物体与空气接触情况而定的正常数，现有的物体放在的空气中冷却，2分钟后物体的温度为，则再过4分钟该物体的温度可冷却到（    ）

A  B.  C.  D.

6. 计算（    ）

A. 1 B. ﹣1 C.  D.

7. “绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米．已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（参考数据：）（      ）

A. 1个月 B. 3个月 C. 半年 D. 1年

8. 若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二.多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列式子等于的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 某市组织2022年度高中校园足球比赛，共有10支球队报名参赛.比赛开始前将这10支球队分成两个小组，每小组5支球队，其中获得2021年度冠、亚军的两支球队分别在第一小组和第二小组，剩余8支球队抽签分组.已知这8支球队中包含甲、乙两队，记“甲队分在第一小组”为事件，“乙队分在第一小组”为事件，“甲、乙两队分在同一小组”为事件，则（    ）

A.  B.

C.  D. 事件与事件相互独立

11. 已知直线：与抛物线C：相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中（    ）

A.

B. BE与平面DCE所成角的余弦值为

C. 四面体ABCD的内切球半径为

D. 四面体ABCD的外接球表面积为

三.填空题(共4题，总计 16分)

13. 已知函数是偶函数，则______．

14. 将五枚质地､大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为___________.

15. 若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为_________．

16. 已知函数，分别是的极大值点与极小值点，若且，则______．

四.解答题(共6题，总计74分)

17. 已知等差数列首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.

（1）求与的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

18. 如图，在中，，，分别是角，，所对的边且是三个连续的正整数，其中，．

（1）求；

（2）将线段绕点顺时针旋转到，且，求 面积．

19. 5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：､､､…，，统计结果如图所示：

（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

（2）该调查机构为参与本次调查5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.

参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.

20. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

21. 已知抛物线的准线与圆相切.

（1）求；

（2）若定点，，M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为､恒过一个定点.求出这个定点的坐标.

22. 已知函数，，其中是自然对数的底数．

（1）当,，求的取值范围；

（2）当时，求证：.

荆州市沙市区2022-2023学年高三年级（上）数学期末模拟测试

参考答案及解析

一.单项选择题

1.【答案】：C

【解析】：，，.
故选：C.

2.【答案】：D

【解析】：根据复数除法的运算法则可得 ，所以可得其共轭复数.

故选：D.

3.【答案】：D

【解析】：若夫妻中只选一人，则有种不同的方案；

若夫妻二人全选，则有中不同方案，

故总计有140种不同方案，

故选：D.

4.【答案】：C

【解析】：，即△ABC为等腰直角三角形，即

点O是△ABC的外心，点O是的中点

故选：C

5.【答案】：B

【解析】：由题设，，可得，

再过4分钟，有.

故选：B.

6.【答案】：D

【解析】：
 

故选：B

7.【答案】：C

【解析】：由题可知：

∴

∴

∴（天）

∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是半年.

故选：C.

8.【答案】：B

【解析】：函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，

的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，

即方程有两个不等式的正实数根，

即有两个不等式的正实数根，

即转化为函数图象与函数图象有2个交点.

，

当时，，单调递增.

当时，，单调递减.且时，，时，

所以

所以图象与函数图象有2个交点.

则，解得.

故选：B

二. 多选题

9.【答案】：CD

【解析】：，故A不正确；

，故B不正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：CD.

10.【答案】：ABD.

【解析】：A选项可以直接得到答案；B选项利用组合知识分别求出分组的所有情况和事件包含的情况，从而求出相应的概率；C选项，分别求出，，验证是否等于；D选项利用若，则事件A与B相互独立来验证事件与事件是否相互独立.

【详解】对于A，因为甲队分在第一小组和第二小组的概率相等，且两种情况等可能，所以，故A正确；

对于B，8支球队抽签分组共有种不同方法，甲、乙两队分在同小组共有种不同方法，所以甲、乙两队分在同一小组的概率，故B正确；

对于C，因为，所以，故C错误；

对于D，因为，，所以，所以事件与事件相互独立，故D正确.

故选：ABD.

11.【答案】：ABC

【解析】：由题意知，抛物线的准线为，即，解得，故选项A正确；

因为，所以抛物线的方程为：，其焦点为，

又直线 ，所以直线恒过抛物线的焦点，

设点，因为两点在抛物线上，

联立方程，两式相减可得，，

设的中点为，则，因为点在直线上，

解得可得，所以点是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆的半径，

因为，所以，

解得，故选项B正确；

因为，,所以，故选项C正确；

过做轴，过做轴，抛断线的准线交轴与点，设,

，，

，，

又，，则，

则D错误.

故选：ABC

12.【答案】：ACD

【解析】：由题意得，展开图拼成的几何体如下图所示，

， ，

取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连MN、OA，

过O作 于H，

则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径.

 所以，

对于A：

，，，故 平面ABN，而平面ABN ，所以 ，故A正确；

对于B：

由于 平面ACD，故平面ABN平面ACD，故 是BE与平面DCE所成角，

故 ，故B错误；

对于C：

，故C正确；

对于D：

所以外接球的表面积为 ，故D正确.

故选：ACD

二. 填空题

13.【答案】：

【解析】：

由为偶函数，则

即

即

所以，则，故

故答案为：

14.【答案】：

【解析】：设表示五枚硬币中正面朝上的硬币数量，

则.

故答案为：

15.【答案】： .

【解析】：由可得，

因为，所以，所以，

可得，，，

由题意可得，所以，，

可得，离心率，

故答案为：.

16.【答案】： 2

【解析】：解：，所以，

令得，

所以当时，，当时，，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，

所以，即，

所以，

因为，

所以，所以

故答案为：.

四.解答题

17【答案】：

（1），   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

设的公差为d，因为，

所以，解得，

所以.

数列的前n项和为，且，①

当时，，②

①-②，得.

当时，，满足，所以.

【小问2详解】

因为，

所以.③

，④

③-④，得，

所以.

18【答案】：

（1）   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

由题意知，可以分别表示为，，

由正弦定理，得，得．

由余弦定理得，

所以，解得．

【小问2详解】

由（1）知，，，则．

因为，且，所以，

所以

则的面积．

19【答案】：

（1）（人）   

（2）（元）

【解析】：

【小问1详解】

由题意知样本平均数为，

∴，∵，所以，，

而

故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）

【小问2详解】

由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，

∴（元）

20【答案】：

（1）证明见解析   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

证明：∵，D为AC中点，∴.

又为等边三角形，，∴.

∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.

∵平面PAC，∴平面平面.

【小问2详解】

∵为正三角形，，∴  的面积为，设三棱锥的底面上的高为，

，作于O，由(1)平面,所以，又，所以，

所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，则

，，，

∴，，

设是平面PAB的一个法向量

,取

设是平面PBC的一个法向量

取

，设二面角的平面角为，

则.

21【答案】：

（1）；   

（2）

【解析】：

【小问1详解】

依题意，直线与圆相切，，.

【小问2详解】

抛物线方程，设，，，

过的直线方程为

化简得：同理，，

又，分别过，.

∴，

消去，代入得

，直线恒过一个定点.

22【答案】：

（1）；   

（2）证明见解析

【解析】：

【小问1详解】

解：因为，则，
①当时，由可知，
又因为，当且仅当时，等号成立，

所以恒成立，且不恒为零，
所以函数在上为增函数．又，所以对恒成立；
②当时，令，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递增，

因为，，

由零点存在定理可知，存在，使得.

当时，，此时函数单调递减，故，不合乎题意.

综上所述，.

【小问2详解】

证明：要证，只需证，
即证，即证，
即证（此时），

由（1）可知当时，函数在上恒为增函数，所以即证，

不妨令，其中，则.
当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，故，即，
所以原结论得证．

【拓展提高】：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.