2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校高三上学期10月月考数学试题 一、单选题1．已知，则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由复数运算，化简复数，即可得到结果.【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.故选:A.2．设等差数列的前项和为，若则（    ）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知，所以，.故选：D3．已知集合共有8个子集，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断出集合的元素的个数，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】由于集合有个子集，所以集合有个元素，即，所以，即.所以的取值范围是.故选：C4．某铁球在0℃时，半径为1dm．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（    ）（参考公式：）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】先求得铁球体积关于温度t的表达式，再对其求导，进而即可求得在时，铁球体积对温度的瞬时变化率.【详解】，则则，即在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为故选：C5．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两角差的正切公式求得，将化简为，根据齐次式的计算求得，即可求得答案.【详解】由可得 ，故，而，故，即，故选：C6．“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，则，解得：，当时，，，则，所以函数为奇函数，即充分性成立；“函数为奇函数”，则，即，解得：，故必要性不成立，故选：A．7．已知函数，．若在区间内有零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用降幂、辅助角公式得，由正弦型函数的性质及在有零点可得，，即可求参数范围.【详解】，令，可得且，则，，又，在有零点，则，，即，，所以时；时；时；时；…综上，.故选：D8．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.【详解】由题设，定义域为，则可得，令，则，所以时，即递增，值域为；时，即递减，值域为；而恒过，函数图象如下：要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，若交点的横坐标为，则，所以，即.故选：C【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围. 二、多选题9．已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（    ）A．的最小正周期为B．在上单调递增C．当时，的取值范围为D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到【答案】ABC【分析】根据正弦函数的性质一一分析即可；【详解】解：对于，它的最小正周期，故A正确；在，，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，故B正确；当时，，所以，则的取值范围为，故C正确；的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故D错误；故选：ABC．10．已知函数的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（    ）A． B．若，且，则C．若，则 D．的值域为【答案】ABD【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，根据函数的奇偶性以及单调性即可对选项逐一求解.【详解】函数的图像过原点，，即，，且的图像无限接近直线，但又不与该直线相交，，，，故A确；由于为偶函数，故若，且，则，即，故B确，由于在上，单调递减，故若，则，故C错误，由于，，，，故D确；故选：ABD11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项A、C；计算前7项的和即可判断B；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，以上n个式子累加可得，又满足上式，所以，故A错误；则，得，故B正确；有，故C正确；由，得，故D正确.故选：BCD.12．下列说法不正确的是（    ）A．若，则符合条件的有两个B．已知向量，若，则为钝角．C．若，且，则是等边三角形D．在中，“”是“为锐角三角形的充要条件【答案】ABD【分析】由余弦定理求得，可判定A错误；根据向量的夹角公式，可得判定B不正确；设的平分线为，根据题意得到为等腰三角形，且，可判定C正确；根据向量的夹角公式，得到，得到充分性不成立，可判定D错误.【详解】对于A中，因为，由余弦定理得，可得，所以符合条件的只有一个，所以A错误；对于B中，由向量，可得，当时，，所以为钝角，所以B不正确；对于C中，如图所示，设的平分线为，则，又由，可得，所以为等腰三角形，又因为，可得，由，所以，所以此时为等边三角形，所以C正确；对于D中，在中，由，可得，即，但不一定为钝角三角形，所以充分性不成立，所以D错误.故选：ABD. 三、填空题13．已知函数，若，则______．【答案】-7【分析】由题意函数，由，求得，进而可求得的值.【详解】由题意函数，因为，则，则，则．【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值问题，其中解答中利用函数的奇偶性性和，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．【答案】【分析】根据一、二次函数的性质，分析即可得答案.【详解】因为一次函数在无最小值，二次函数在对称轴处或有最小值，令，解得或x=2，所以要使有最小值，则，所以a的取值范围是故答案为：15．若数列{an}满足，则an＝_________【答案】【分析】将递推公式两边加1，开方构造出，求出等差数列的通项公式后，可求an．【详解】，两边加1得（）2，两边开方得，，所以数列{}为等差数列，公差为1，首项1，数列{}的通项公式为1+（n﹣1）×1＝n．两边平方得an+1＝n2，所以an＝n2﹣1．故答案为：n2﹣1．【点睛】本题考查了由递推关系进行数列通项求解的问题，考查了等差数列的判定及变形构造，转化、计算能力．16．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可知在区间上恒成立，即可得在区间上恒成立，再根据正弦函数的性质即可求出的最小值，由此即可求出结果.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，又时，，所以，所以，所以，即.故答案为：. 四、解答题17．已知，函数．(1)求的最小正周期；(2)已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，请判断的形状．【答案】(1)(2)为等边三角形 【分析】（1）利用向量的加法及数量积的坐标表示，结合辅助角公式及三角函数的周期公式即可求解；（2）根据（1）的结论及已知条件，利用特殊值对应特殊角及角的范围，结合余弦定理及三角形边角的特点即可求解.【详解】（1）因为所以（2）由（1）可知，，因为，所以，所以因为，所以所以，解得，由余弦定理可得，又因为，所以，即，所以，所以为等边三角形．18．在等差数列{}中，(1)求{}的通项公式；(2)若是公比为2的等比数列，，求数列{}的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；（2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解.【详解】（1）解：设公差为，则，解得，则，所以，所以；（2）解：，因为是公比为2的等比数列，所以，所以，所以.19．在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．(1)求角C的大小；(2)若，求周长的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.【详解】（1）解：若选①，因为，所以， 所以，所以，因为，所以  若选②，因为，由正弦定理得， 所以，即，，，，又，.（2）解：由余弦定理得， 因此，，当且仅当时等号成立， 所以的周长因此的周长的最大值为.20．已知函数(为实数)（1）若，求在的最值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值为，最大值为；（2） .【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当 时，，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则函数在区间上的最小值为，最大值为.（2）由题得函数的定义域为，若 恒成立，则，即恒成立，令 ，则，当 时， ；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以 ，故的取值范围为.21．已知数列的前n项和为，满足：(1)求证：数列为等差数列；(2)若，令，数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用关系可得，即有，将两式相减并整理有，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得，令、，应用作差法比较它们的大小，即可确定的单调性并求其最大值，结合恒成立求m的取值范围．【详解】（1）由题设，，则，所以，整理得，则，所以，即，，所以，故数列为等差数列，得证.（2）由，可得，又，结合（1）结论知：公差，所以，故，则，所以，且，所以，即，所以，在且上递减，则，要使对任意恒成立，即，所以.22．已知函数（其中a为参数）．(1)求函数的单调区间；(2)若对，恒成立，求实数a的取值集合：(3)证明：（其中，为自然对数的底数）【答案】(1)答案见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对分类求得函数的单调区间；（2）对任意，都有，转化为，分类求出，通过构造函数求解不等式即可得实数的取值范围；（3）借助于（2）中的函数，，分别取和，代入即可通过变形证明.【详解】（1），，当时，，在单调递增，当时，令，得，时，，单调递减，时，单调递增；综上：时，在上递增，无减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由题意得，当时，在单调递增，又，故当时，，故不符合题意，当时，在单调递减，在单调递增，故，对，恒成立，则需满足，记，则，当时，，当时，，故在上递减，在上递增，所以的解只有，实数的取值集合为（3）由（2）知：令，则，即，即，所以，由（2）知：令，则，即，即，所以，综上可知：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，含参数分类讨论的思想，考查了恒成立问题，利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，利用已有函数的单调性证明函数不等式.