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    2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题(解析版)

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    2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题(解析版)

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    这是一份2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题(解析版),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题 一、单选题1.设集合,则    A BC D【答案】D【分析】先求集合M的补集,再取与集合N的交集即可.【详解】,可得故选:D2.复数,则    A B C D【答案】D【分析】先计算,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得 ,所以可得其共轭复数.故选:D.3.某校高三年级的名学生中,男生有名,女生有名.从中抽取一个容量为的样本,则抽取男生和女生的人数分别为(    A B C D【答案】C【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为,由分层抽样可得,解得.故选:C.4.六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动,若每个赛区两名志愿者,则安排方式共有(    A15 B90 C540 D720【答案】B【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.【详解】解:先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动,有种方法,再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动,有种方法,最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动,有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.故选:B5.若直线与圆没有公共点,则实数a的取值范围是(    A.(-44 B.(-22C.(-,-4U4,+ D【答案】D【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径,应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.【详解】由题设,圆心为,半径为2因为直线与圆没有公共点,所以,可得.故选:D6.第24届冬季奥运会举行期间,安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆,国家速滑馆,首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动,要求每个场馆都有人去,且这四人都在这三个场馆,则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为(    A18 B16 C14 D12【答案】C【分析】根据分到首钢滑雪大跳台的人数分两类分别计算可得.【详解】首钢滑雪大跳台只安排1人:先从丙、丁两人中选择1人安排到首钢滑雪大跳台有2种,再将剩余3人分成两组有种,最后将两组分到高山滑雪馆和国家速滑馆有种,所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台,且只安排1人的方案共有种;首钢滑雪大跳台安排2人:丙、丁两人只能安排到首钢滑雪大跳台,然后将甲、乙安排到高山滑雪馆和国家速滑馆有.综上,满足条件的方案种数为.故选:C7满足,则实数a的取值范围为(    A B C D【答案】D【分析】满足等价于恒成立,构造函数,利用导数判断其单调性,进而即可判断结果.【详解】满足,即时,恒成立,为增函数,则,即,符合题意,时,令,当时,时,所以为增函数,在为减函数,,命题成立只需即可.,当,即,命题不成立.综上.故选:D.8.已知数列满足:,则下列说法正确的是(    A.若,则数列是单调递减数列 B.若,则数列是单调递增数列C时, D时,【答案】C【分析】将式子进行变形,构造等差数列,之后构造新函数,进而得到结果.【详解】所以数列是以4为公差的等差数列,函数A项,上是单调递增函数,即数列是单调递增数列,B项,上是单调递减函数,即数列是单调递减数列,C项,时,可知D项,时,,由C知,故选:C. 二、多选题9.若所在的平面内的点,且下面给出的四个命题中,其中正确的是(    A BC.点一定在一条直线上 D在向量方向上的投影一定相等【答案】BCD【分析】根据向量运算得到的高所在的直线上,BCD正确,再判断A错误,得到答案.【详解】,则,即的高所在的直线上,故选项BCD正确,不一定为A错误.故选:BCD10.若函数的图象上存在两点,使得的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是(    A BC D【答案】ACD【分析】函数的图象上存在两点,使得的图象在这两点处的切线互相垂直,则判断存在两个函数值的乘积为即可.【详解】时,,当时,满足条件;时,恒成立,不满足条件;时,,当,满足条件;时,,函数单调递增,且,所以存在,满足条件.故选:ACD.11.已知直线与抛物线C相交于AB两点,点Ax轴上方,点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是(    A B C D【答案】ABC【分析】由题意可知,抛物线的准线为,利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标,结合直线的方程可知,直线经过焦点,利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,得到关于的方程,解方程求出,利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.【详解】由题意知,抛物线的准线为,即,解得,故选项A正确;因为,所以抛物线的方程为:,其焦点为又直线 ,所以直线恒过抛物线的焦点设点,因为两点在抛物线上,联立方程,两式相减可得,的中点为,则,因为点在直线上,解得可得,所以点是以为直径的圆的圆心,由抛物线的定义知,圆的半径因为,所以解得,故选项B正确;因为,所以,故选项C正确;轴,过轴,抛断线的准线交轴与点,设,,则D错误.故选:ABC【点睛】关键点睛:本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式;考查运算求解能力和逻辑推理能力;熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.12.如图所示,在长方体中,,点是棱上的一个动点,给出下列命题,其中真命题的是(    A.三棱锥的体积恒为定值B.存在唯一的点,使得截面的周长取得最小值C.不存在点,使得平面D.若点满足,则在棱上存在相应的点,使得平面【答案】ABD【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项;将侧面翻折到与底面同一平面,利用三点共线可判断B选项;利用线面垂直的判定定理可判断C选项;利用线面平行的判定定理可判断D选项.【详解】对于A选项,因为平面平面,则点到平面的距离为定值,又底面的面积为定值,故三棱锥的体积为定值,由等体积法可判断三棱锥的体积为定值,则选项A正确;对于B选项,将侧面翻折到与底面同一平面,得矩形连接,与交于点,即为周长最小时的点,则选项B正确;对于C选项,连接,在底面内过点,交于点又由长方体可知平面平面因为平面平面连接,因为,则四边形为菱形,所以,,因,则平面,选项C错误;对于D选项,当时,设平面交棱于点,连接因为平面平面,平面平面平面平面,同理可证所以,四边形为平行四边形,则又因为,所以,所以,,又因为,所以,过点在平面内作,交棱于点因为,所以,四边形为平行四边形,所以,又过点在平面内作,交于点,连接再过点在平面内作,交于点因为,所以,四边形也为平行四边形,所以,,则连接,则四边形为平行四边形,所以,.平面平面,所以,平面,选项D正确.故选:ABD. 三、填空题13.若的展开式中的系数为224,则正实数的值为______【答案】2【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数,由此可得答案.【详解】展开式中通项,所以时,得到的系数为时,得到的系数为,从而的展开式中的系数为,解得,所以正实数的值为2故答案为:2.【点睛】易错点点睛:(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法,考查指数幂的运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式:它表示的是二项式的展开式的第项,而不是第项;其中叫二项式展开式第项的二项式系数,而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数;注意142022年北京冬奥会即将开幕,某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆,每个比赛场馆至少分配一名志愿者,则所有分配方案共有______.(用数字作答)【答案】36【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组,再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.【详解】4名同学按2,1,1分成3组有种方法.再将这3组分配到3个比赛场馆,共有则所有分配方案共有故答案为:3615.已知双曲线C的左焦点为FM是该双曲线一条渐近线上的点,且O为坐标原点,若OMF的面积为4,则双曲线C的离心率为___【答案】【分析】根据点到直线的距离公式求出,进而根据的面积并结合离心率的定义求得答案.【详解】如图,根据双曲线的对称性,不妨设点M在第二象限,则对应的渐近线方程为,因为,所以.由勾股定理,,而的面积为4,则,则离心率.故答案为:. 四、双空题16.已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交轴于两点,则_________的取值范围是__________【答案】          【分析】根据题意,分,结合导数的几何意义得函数的图象在点和点的两条切线分别为,再结合题意得,进而得第一个空的答案,再求坐标,结合距离公式求和化简整理得,最后求范围即可得答案.【详解】解:当时,,故所以函数的图象在点处的切线斜率为切线方程为所以时,所以函数的图象在点处的切线斜率为切线方程为所以因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,、所以,即所以所以由于,所以所以因为,所以,所以所以的取值范围是故答案为:. 五、解答题17.已知等差数列的首项为2,且成等比数列.数列的前n项和为,且.(1)的通项公式;(2),求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】1)根据已知条件求得等差数列的公差,由此求得.利用来求得.2)利用错位相减求和法求得.【详解】1)设的公差为d,因为所以,解得所以.数列的前n项和为,且时,①-②,得.时,,满足,所以.2)因为所以.③③-④,得所以.18.在这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角所对的边分别是,若______.1)求角2)若,求周长的最小值,并求出此时的面积.【答案】1;(2.【分析】1)分别选三个条件,都可用正弦定理解出;2)由余弦定理可得,利用基本不等式可求出的最小值,即可求出周长最小值,再利用面积公式求出面积.【详解】1)选,由正弦定理得,即.由正弦定理可得.由已知结合正弦定理可得.2,即,解得,当且仅当时取等号,周长的最小值为6,此时的面积.【点睛】本题考查正余弦定理的应用,考查基本不等式求最值,考查三角形面积公式,属于基础题.19.长江是我国第一大河,永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.202011日起实施的10年全年禁渔令,是我国保护长江的百年大计,是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现:在理想状态下,鱼群数量随时间的增长满足指数模型:,其中表示初始时刻的鱼群数量,表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从20211月到20217月每个月测一次数据,数据整理如下:时间(单位:月)1234567鱼群数量(单位:千克)8101424417693 (1)根据上表与参考数据,建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程;(2)科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系:(其中与每年禁渔的总时间(单位:月)有关,.i)在2020年起实施全年禁渔令以后,若希望鱼群数量增加,如何控制环境指标的取值范围?ii)在2020年之前,长江每年的禁渔时长为3个月,请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.参考数据381478 其中参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】(1)(2)i;(ii)答案见解析 【分析】1)由,两边取自然对数得到,得出,结合公式求得的值,即可求解.2)(i)当实施禁渔令以后,要使得鱼群数量增加,得到,即可求解;ii)设函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】1)解:由,两边同时取自然对数得,可得因为所以又由,解得关于的回归方程为.2)解:(i)当实施禁渔令以后,,要使得鱼群数量增加,,解得ii)根据题意知设函数,则,可得时,;当时,所以当时,取得最大值.此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少,因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.20.如图,在多面体ABCEF中,均为等边三角形,DAC的中点,(1)证明:(2)若平面平面ACE,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】1)根据等腰三角形三线合一的性质得到,即可得到平面,再根据,即可得证;2)由面面垂直的性质得到平面,建立如图所示空间直角坐标系,设,即可得到点的坐标,最后利用空间向量法求出二面角的余弦值;【详解】1)证明:连接DE因为,且DAC的中点,所以因为,且DAC的中点,所以因为平面BDE平面BDE,且,所以平面因为,所以平面BDE,所以2)解:由(1)可知因为平面平面,平面平面平面,所以平面,所以DCDBDE两两垂直.D为原点,分别以的方向为xyz轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则.从而设平面BCE的法向量为,得平面ABC的一个法向量为设二面角,由图可知为锐角,21.已知双曲线的两条渐近线互相垂直,且过点(1)求双曲线的方程;(2)为双曲线的左顶点,直线过坐标原点且斜率不为与双曲线交于两点,直线轴上一点(异于点),且与直线的倾斜角互补,与直线分别交于不在坐标轴上)两点,若直线的斜率之积为定值,求点的坐标.【答案】(1)(2). 【分析】1)由题意可得,解方程求出的值即可求解;2,设,直线的斜率分别为,根据可得利用所表示的点的坐标,同理可得利用所表示的点的坐标,将整理为关于的方程,由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.【详解】1)由可得渐近线方程为:因为两条渐近线互相垂直,所以,可得又因为,解得:所以双曲线的方程为.2)设由(1)知:,设直线的斜率分别为因为三点共线,所以,即因为直线轴上一点(异于点),且与直线的倾斜角互补,所以,即,所以可得,所以同理可得因为直线的斜率之积为定值,设定值为整理可得:,其中因为上式对任意的都成立,所以,可得所以点的坐标为.【点睛】思路点睛:破解此类解析几何题的关键:一是图形引路,一般需画出草图,把已知条件翻译到图形中;二是转化搭桥,即利用斜率,联立方程等,将问题代数化,一般运算量较大.22.已知函数.(1)时,求函数上的最值;(2)若函数上单调递减,求实数的取值范围.【答案】(1)最小值,最大值(2) 【分析】1)利用导数判断函数上单调性,进而求得函数上的最值;2)分类讨论去掉函数解析式中的绝对值符号,利用导数表示上单调递减,进而求得实数的取值范围.【详解】1时,,则上单调递增,又,则.上单调递增,.2,则上单调递增,又.时,上单调递减,可知上恒成立,,又由(1)知故实数的取值范围为.时,上单调递减,可知上恒成立,,又由(1)知,又,故实数的取值范围为.时,有.则存在唯一实数,使得时,上单减矛盾,此时不符合题意要求.综上可知,的取值范围为. 

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