


2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题(解析版)
展开
这是一份2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题(解析版),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届河北省沧州市新华区高三上学期12月调研数学试题 一、单选题1.设集合,,则( )A. B.C. D.【答案】D【分析】先求集合M的补集,再取与集合N的交集即可.【详解】由,可得则故选:D2.复数,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先计算,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得 ,所以可得其共轭复数.故选:D.3.某校高三年级的名学生中,男生有名,女生有名.从中抽取一个容量为的样本,则抽取男生和女生的人数分别为( )A.、 B.、 C.、 D.、【答案】C【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为、,由分层抽样可得,解得.故选:C.4.六名志愿者到北京、延庆、张家口三个赛区参加活动,若每个赛区两名志愿者,则安排方式共有( )A.15种 B.90种 C.540种 D.720种【答案】B【分析】利用乘法分步原理结合组合知识求解即可.【详解】解:先从六名志愿者中选择两名志愿者到北京参加活动,有种方法,再从剩下的4名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动,有种方法,最后从剩下的2名志愿者中选择2名志愿者到延庆参加活动,有种方法.由乘法分步原理得共有种方法.故选:B5.若直线与圆没有公共点,则实数a的取值范围是( )A.(-4,4) B.(-2,2)C.(-∞,-4)U(4,+∞) D.【答案】D【分析】由题设知圆心到直线的距离大于圆的半径,应用点线距离公式列不等式求a的取值范围.【详解】由题设,圆心为,半径为2,因为直线与圆没有公共点,所以,可得或.故选:D6.第24届冬季奥运会举行期间,安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆,国家速滑馆,首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动,要求每个场馆都有人去,且这四人都在这三个场馆,则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的方案种数为( )A.18 B.16 C.14 D.12【答案】C【分析】根据分到首钢滑雪大跳台的人数分两类分别计算可得.【详解】首钢滑雪大跳台只安排1人:先从丙、丁两人中选择1人安排到首钢滑雪大跳台有2种,再将剩余3人分成两组有种,最后将两组分到高山滑雪馆和国家速滑馆有种,所以甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台,且只安排1人的方案共有种;首钢滑雪大跳台安排2人:丙、丁两人只能安排到首钢滑雪大跳台,然后将甲、乙安排到高山滑雪馆和国家速滑馆有种.综上,满足条件的方案种数为种.故选:C7.满足,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】满足等价于在恒成立,构造函数,利用导数判断其单调性,进而即可判断结果.【详解】满足,即,令,,,,当时,在恒成立,在为增函数,则,即,符合题意,当时,令,,当时,,当时,,所以在为增函数,在为减函数,,命题成立只需即可.令,,当,,即,即,命题不成立.综上.故选:D.8.已知数列满足:,则下列说法正确的是( )A.若,则数列是单调递减数列 B.若,则数列是单调递增数列C.时, D.时,【答案】C【分析】将式子进行变形,构造等差数列,之后构造新函数,进而得到结果.【详解】由得,即,所以数列是以4为公差的等差数列,函数,A项,,,在上是单调递增函数,即数列是单调递增数列,B项,,在上是单调递减函数,即数列是单调递减数列,C项,时,可知,,,D项,时,,由C知,,故选:C. 二、多选题9.若是所在的平面内的点,且下面给出的四个命题中,其中正确的是( )A. B.C.点、、…一定在一条直线上 D.、在向量方向上的投影一定相等【答案】BCD【分析】根据向量运算得到在边的高所在的直线上,B、C、D正确,再判断A错误,得到答案.【详解】,则,即, 故在边的高所在的直线上,故选项B、C、D正确,不一定为,A错误.故选:BCD10.若函数的图象上存在两点,使得的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A. B.C., D.【答案】ACD【分析】函数的图象上存在两点,使得的图象在这两点处的切线互相垂直,则判断存在两个函数值的乘积为即可.【详解】当时,,当时,满足条件;当时,恒成立,不满足条件;当,时,,当,满足条件;当时,,函数单调递增,且,,所以存在,,满足条件.故选:ACD.11.已知直线:与抛物线C:相交于A,B两点,点A在x轴上方,点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】ABC【分析】由题意可知,抛物线的准线为,利用抛物线的几何性质求出和抛物线的方程和焦点坐标,结合直线的方程可知,直线经过焦点,利用抛物线的定义表示出以为直径的圆的半径和圆心,由得到关于的方程,解方程求出,利用抛物线的定义求得焦半径计算可判断的对错.【详解】由题意知,抛物线的准线为,即,解得,故选项A正确;因为,所以抛物线的方程为:,其焦点为,又直线 ,所以直线恒过抛物线的焦点,设点,因为两点在抛物线上,联立方程,两式相减可得,,设的中点为,则,因为点在直线上,解得可得,所以点是以为直径的圆的圆心,由抛物线的定义知,圆的半径,因为,所以,解得,故选项B正确;因为,,所以,故选项C正确;过做轴,过做轴,抛断线的准线交轴与点,设,,,,,又,,则,则D错误.故选:ABC【点睛】关键点睛:本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的性质、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式;考查运算求解能力和逻辑推理能力;熟练掌握直线与抛物线的位置关系和抛物线的几何性质、圆的性质是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.12.如图所示,在长方体中,,点是棱上的一个动点,给出下列命题,其中真命题的是( )A.三棱锥的体积恒为定值B.存在唯一的点,使得截面的周长取得最小值C.不存在点,使得平面D.若点满足,则在棱上存在相应的点,使得平面【答案】ABD【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项;将侧面翻折到与底面同一平面,利用、、三点共线可判断B选项;利用线面垂直的判定定理可判断C选项;利用线面平行的判定定理可判断D选项.【详解】对于A选项,因为,平面,平面,则点到平面的距离为定值,又底面的面积为定值,故三棱锥的体积为定值,由等体积法可判断三棱锥的体积为定值,则选项A正确;对于B选项,将侧面翻折到与底面同一平面,得矩形,连接,与交于点,即为周长最小时的点,则选项B正确;对于C选项,连接,在底面内过点作,交于点,又由长方体可知平面,平面,,因为,平面,平面,,连接,因为且,则四边形为菱形,所以,,因,则平面,选项C错误;对于D选项,当时,设平面交棱于点,连接、,因为平面平面,平面平面,平面平面,,同理可证,所以,四边形为平行四边形,则,又因为,,所以,,所以,,又因为,所以,,过点在平面内作,交棱于点,因为,,所以,四边形为平行四边形,所以,,又过点在平面内作,交于点,连接,再过点在平面内作,交于点,因为,,所以,四边形也为平行四边形,所以,且,则且,连接,则四边形为平行四边形,所以,.因平面,平面,所以,平面,选项D正确.故选:ABD. 三、填空题13.若的展开式中的系数为224,则正实数的值为______.【答案】2【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数,由此可得答案.【详解】展开式中通项,所以时,得到的系数为,时,得到的系数为,从而的展开式中的系数为,解得或,所以正实数的值为2.故答案为:2.【点睛】易错点点睛:(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法,考查指数幂的运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式: ()①它表示的是二项式的展开式的第项,而不是第项;②其中叫二项式展开式第项的二项式系数,而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数;③注意.14.2022年北京冬奥会即将开幕,某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆,每个比赛场馆至少分配一名志愿者,则所有分配方案共有______种.(用数字作答)【答案】36【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组,再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.再将这3组分配到3个比赛场馆,共有种则所有分配方案共有种故答案为:3615.已知双曲线C:的左焦点为F,M是该双曲线一条渐近线上的点,且,O为坐标原点,若OMF的面积为4,则双曲线C的离心率为___.【答案】【分析】根据点到直线的距离公式求出,进而根据的面积并结合离心率的定义求得答案.【详解】如图,根据双曲线的对称性,不妨设点M在第二象限,则对应的渐近线方程为,因为,所以.由勾股定理,,而的面积为4,则,则离心率.故答案为:. 四、双空题16.已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交轴于两点,则_________,的取值范围是__________.【答案】 【分析】根据题意,分和,结合导数的几何意义得函数的图象在点和点的两条切线分别为和,再结合题意得,进而得第一个空的答案,再求坐标,结合距离公式求和化简整理得,最后求范围即可得答案.【详解】解:当时,,故,所以函数的图象在点处的切线斜率为,切线方程为,所以,当时,,,所以函数的图象在点处的切线斜率为,切线方程为所以,因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,、所以,即,所以,,,所以,由于,所以,所以,因为,所以,所以所以的取值范围是故答案为:;. 五、解答题17.已知等差数列的首项为2,且,,成等比数列.数列的前n项和为,且.(1)求与的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.【答案】(1),(2) 【分析】(1)根据已知条件求得等差数列的公差,由此求得.利用来求得.(2)利用错位相减求和法求得.【详解】(1)设的公差为d,因为,所以,解得,所以.数列的前n项和为,且,①当时,,②①-②,得.当时,,满足,所以.(2)因为,所以.③,④③-④,得,所以.18.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角,,所对的边分别是,,,若______.(1)求角;(2)若,求周长的最小值,并求出此时的面积.【答案】(1);(2).【分析】(1)分别选三个条件,都可用正弦定理解出;(2)由余弦定理可得,利用基本不等式可求出的最小值,即可求出周长最小值,再利用面积公式求出面积.【详解】(1)选①,由正弦定理得,∵,∴,即,∵,∴,∴,∴.选②,∵,,由正弦定理可得,∵,∴,∵,∴.选③,∵,由已知结合正弦定理可得,∴,∴,∵,∴.(2)∵,即,∴,解得,当且仅当时取等号,∴,周长的最小值为6,此时的面积.【点睛】本题考查正余弦定理的应用,考查基本不等式求最值,考查三角形面积公式,属于基础题.19.长江是我国第一大河,永葆长江生机活力是事关中华民族伟大复兴和永续发展的千秋大计.2020年1月1日起实施的10年全年禁渔令,是我国保护长江的百年大计,是保护后代子孙生活环境的重大举措.某科研机构发现:在理想状态下,鱼群数量随时间的增长满足指数模型:,其中表示初始时刻的鱼群数量,表示鱼群的增长率.该科研机构在某个监测站从2021年1月到2021年7月每个月测一次数据,数据整理如下:时间(单位:月)1234567鱼群数量(单位:千克)8101424417693 (1)根据上表与参考数据,建立理相状态下鱼群的数量关于时间的回归方程;(2)科研机构认为在实际状态下鱼群的增长率与某个环境指标满足关系:(其中与每年禁渔的总时间(单位:月)有关,.)(i)在2020年起实施全年禁渔令以后,若希望鱼群数量增加,如何控制环境指标的取值范围?(ii)在2020年之前,长江每年的禁渔时长为3个月,请说明我国在2020年起实施全年禁渔令的科学性.参考数据381478 其中参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为【答案】(1)(2)(i);(ii)答案见解析 【分析】(1)由,两边取自然对数得到,得出,结合公式求得的值,即可求解.(2)(i)当实施禁渔令以后,要使得鱼群数量增加,得到,即可求解;(ii)设函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)解:由,两边同时取自然对数得,设,可得,因为,所以,又由,解得,即关于的回归方程为.(2)解:(i)当实施禁渔令以后,,要使得鱼群数量增加,则,解得,(ii)根据题意知,设函数,则,令,可得,当时,;当时,,所以当时,取得最大值.此时说明鱼群数量随时间会逐渐减少,因此我国在2020年起实施全年禁渔令是科学的.20.如图,在多面体ABCEF中,和均为等边三角形,D是AC的中点,.(1)证明:.(2)若平面平面ACE,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质得到、,即可得到平面,再根据,即可得证;(2)由面面垂直的性质得到平面,建立如图所示空间直角坐标系,设,即可得到点,,的坐标,最后利用空间向量法求出二面角的余弦值;【详解】(1)证明:连接DE.因为,且D为AC的中点,所以.因为,且D为AC的中点,所以.因为平面BDE,平面BDE,且,所以平面.因为,所以平面BDE,所以.(2)解:由(1)可知.因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以DC,DB,DE两两垂直.以D为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设.则,,.从而,.设平面BCE的法向量为,则令,得.平面ABC的一个法向量为.设二面角为,由图可知为锐角,则.21.已知双曲线:的两条渐近线互相垂直,且过点.(1)求双曲线的方程;(2)设为双曲线的左顶点,直线过坐标原点且斜率不为,与双曲线交于,两点,直线过轴上一点(异于点),且与直线的倾斜角互补,与直线,分别交于(不在坐标轴上)两点,若直线,的斜率之积为定值,求点的坐标.【答案】(1);(2). 【分析】(1)由题意可得,,解方程求出的值即可求解;(2),设,,,,直线,的斜率分别为,根据,,可得利用和所表示的点的坐标,同理可得利用和所表示的点的坐标,将整理为关于的方程,由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.【详解】(1)由可得渐近线方程为:,因为两条渐近线互相垂直,所以,可得,又因为,解得:,所以双曲线的方程为.(2)设,,,,由(1)知:,设直线,的斜率分别为,因为三点共线,所以,即,因为直线过轴上一点(异于点),且与直线的倾斜角互补,所以,即,所以,由可得,所以,同理可得,因为直线,的斜率之积为定值,设定值为,则,整理可得:,其中,因为上式对任意的都成立,所以,可得,,所以点的坐标为.【点睛】思路点睛:破解此类解析几何题的关键:一是“图形”引路,一般需画出草图,把已知条件翻译到图形中;二是“转化”搭桥,即利用斜率,联立方程等,将问题代数化,一般运算量较大.22.已知函数.(1)当时,求函数在上的最值;(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.【答案】(1)最小值,最大值(2)或 【分析】(1)利用导数判断函数在上单调性,进而求得函数在上的最值;(2)分类讨论去掉函数解析式中的绝对值符号,利用导数表示在上单调递减,进而求得实数的取值范围.【详解】(1)时,,则在上单调递增,又,则.∴在上单调递增,∴,.(2),记,,则, 则在上单调递增,又,.①当即时,,由在上单调递减,可知在上恒成立,则,又由(1)知,故实数的取值范围为.②当即时,,由在上单调递减,可知在上恒成立,则,又由(1)知,则,又,故实数的取值范围为.③当即时,有,.则存在唯一实数,使得,当时,与在上单减矛盾,此时不符合题意要求.综上可知,的取值范围为或.
相关试卷
这是一份2023届河北省沧州市高三下学期4月调研性模拟数学试题含解析,共18页。试卷主要包含了下列关于三棱柱的命题,正确的是等内容,欢迎下载使用。
这是一份2023届河北省沧州市高三下学期调研性模拟数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份河北省沧州市2023届高三下学期调研性模拟数学试题,共22页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
