2023届陕西省部分学校高三上学期12月大联考数学（文）试题（解析版）

这是一份2023届陕西省部分学校高三上学期12月大联考数学（文）试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省部分学校高三上学期12月大联考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分别解一元二次不等式与根式型不等式，两个集合取并集即可.【详解】由题意知，，，∴ 故选：A.2．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．125【答案】B【分析】根据复数的乘法运算求得复数，即可求得的值.【详解】解：因为，所以.故选：B.3．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用和差公式计算得到答案.【详解】，故选：C4．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢【答案】B【分析】由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误.【详解】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.故选：B5．已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】函数为定义在上的奇函数，则，，计算得到答案.【详解】函数为定义在上的奇函数，则，，故故选：A6．已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线：的焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.7．已知的内角所对的边分别为，则的面积为（    ）A． B． C．27 D．36【答案】C【分析】根据余弦定理求出，再根据求出，再根据面积公式求解.【详解】由余弦定理得：即即，即所以，又因为，所以所以的面积为故选：C8．如图，在正三棱柱中，为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中点为E，连接，则与所成角就是与所成角.【详解】如图，取中点为E，连接.又因D为的中点，则，故与所成角就是与所成角.由题为正三角形，则.又因几何体为正三棱柱，则，得，，.则在中，，，，得为直角三角形，则与所成角的余弦值为：.故选：D.9．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，，又由，可得，化简得，代入即可得答案.【详解】解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以.故选：A.10．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数图象可确定函数解析式，根据三角函数图像的平移变换规律可得，结合为奇函数，可求得，即可确定答案.【详解】由函数图象可得，函数的最小正周期为,将代入，可得，则,因为，故，所以，由题意可得，若为奇函数，则,当时，的值为，无论k取何整数，a的值都不可能为，，，故选：B11．在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，正三棱柱容器中注入了一定量的水，若将侧面固定在地面上，如图2所示，水面恰好为（水面与，，，分别相交于，，，），若将点固定在地面上，如图3所示，当容器倾斜到某一位置时，水面恰好为，则在图2中=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，设正三棱柱边长为，分别求出正三棱柱、水以及剩下的容积，可得出图2中的与正三棱柱的容积的比例，从而可得，再由相似三角形性质可得的比例，从而得出答案.【详解】设正三棱柱边长为，记水的容积为，该正三棱柱的容积为，则，，，故该正三棱柱去掉水后的剩余体积为，即，由,得，又，所以有.故选：D.12．已知定义在上的函数，对任意两个不相等的实数满足不等式，则实数的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】对任意两个不相等的实数，由，得，结合条件构造新函数，说明在上单调递增，从而可得在上恒成立，然后分离参数，求出参数的取值范围即可得最值.【详解】对任意两个不相等的实数，满足不等式，即，对任意两个不相等的实数恒成立，令，则对任意两个不相等的实数，当时，有则有在上单调递增，则在上恒成立，由，所以在上恒成立，因为，所以问题等价于在上恒成立，即求解在上的最大值，由，当时，，此时在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，所以，所以，故实数的最小值为，故选：B. 二、填空题13．设满足约束条件，则的最大值为________．【答案】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距最小值的求解问题，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，若取得最大值，则在轴截距取得最小值，由图象可知：当过点时，在轴截距最小，由得：，即，.故答案为：.14．已知,则与的夹角为__________．【答案】【分析】根据,可求,根据及,可求得,根据向量数量积的计算公式即可求得与夹角的余弦值,进而求得与的夹角.【详解】解:由题知,,,,即,,,与的夹角为.故答案为:15．已知双曲线：的顶点到一条渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为________．【答案】【分析】先根据方程，得到一个顶点和一条渐近线方程，再由顶点到一条渐近线的距离为实轴长的求解.【详解】解：双曲线：的一个顶点为（a,0）,一条渐近线方程为，所以顶点到渐近线的距离为，即，，所以，解得，所以离心率为，故答案为：16．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为________【答案】##0.6【分析】先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过互斥事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被选中的概率.【详解】6名专家随机选取2人的情况有种，其中甲、乙2人都未被选中的情况有种，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为故答案为： 三、解答题17．2022年11月15日9时38分,长征四号丙运载火箭在酒泉卫星发射中心点火起飞,随后将遥感三十四号03星送入预定轨道发射,大量观众通过某网络直播平台观看了发射全过程.为了解大家是否关注航空航天技术,该平台随机抽取了100名用户进行调查,相关数据如下表. 关注不关注合计男性用户35  女性用户 3050合计  100 附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 (1)补充表格数据并根据表中数据分别估计男、女性用户关注航空航天技术的概率;(2)能否有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关?【答案】(1)列联表见解析;男性:;女性:(2)没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关 【分析】(1)根据题意补充完整列联表,依据表中的数据分别进行求解即可;(2)由列联表,依据公式计算,最后比较临界值,判断结果.【详解】（1）根据题意补充完整的列联表如下: 关注不关注合计男性用户351550女性用户203050合计5545100 由图中表格可知,50名男性用户中关注航空航天技术有35人,50名女性用户中关注航空航天技术有20人,所以估计男性用户关注航空航天技术的概率为;估计女性用户关注航空航天技术的概率为.（2）根据列联表,,参考临界值表可知,没有99.9%的把握认为是否关注航空航天技术与性别有关.18．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，求数列的前项和．【答案】(1).(2). 【分析】（1）利用累加法即可求得答案；（2）由（1）的结果可得,从而求得，即而得的表达式，即可求得答案.【详解】（1）由题意数列满足，则 .（2）由（1）可得，故，所以，故.19．已知函数．(1)求在上的极值；(2)若过点作曲线的切线，求切线方程．【答案】(1)极小值为，无极大值(2) 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，根据单调性确定极值点后即可求得极值；（2）设切点为，利用导数几何意义可求得切线斜率，进而得到切线方程，代入切点坐标即可构造方程求得的值，进而得到切线方程.【详解】（1），当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2）设切点坐标为，由（1）知：，，切线方程为：，，即，解得：，切线方程为：，即.20．如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，，，分别是棱，，的中点．(1)证明：平面；(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形为平行四边形，从而有∥，故而得证；(2) 过点作于，连接，以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.【详解】（1）取的中点，连接，，因为，分别是棱，的中点，则∥∥，，四边形为平行四边形， ，平面，平面，∥平面；（2）在平面中过点作于，连接，平面平面，平面平面，平面，又因为，所以,,因为点为的中点，，故以为原点，、、分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，， 所以,,,设平面的法向量为，则有，令，则可得，所以，设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离.21．已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2)或, 【分析】（1）根据题意可得，结合离心率和即可求解；（2）根据题意可设直线AC的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理表示出，根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出t，即可求解.【详解】（1）由题意知，设过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，则，解得，所以，所以．因为椭圆W的离心率，所以．因为，所以，，故椭圆W的方程为．（2）由(1)知,由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为，，，联立方程组消去x并整理得，所以，，所以．因为点O到直线AC的距离，且O是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d，所以．由，解得所以，故直线AC的方程为,即或.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)若曲线与曲线交于两点，的直角坐标为，求．【答案】(1)：，：.(2) 【分析】（1）根据消参法消去参数即可求解的普通方程，根据直角坐标与极坐标之间的互换即可得的直角方程，（2）根据直线的标准参数方程以及参数的几何意义即可求解.【详解】（1）由消去得，即，由得，即（2）直线经过点，且倾斜角为 ，所以的方程写成标准参数方程为 （为参数），将其代入：得，设所对应的参数分别为，则 故，因此，23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，求的最小值．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）分类讨论求解不等式即可.（2）首先根据题意得到，从而得到，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】（1）由题知：，所以，，.综上：，所以的解集为.（2），所以.所以.所以，当且仅当，即等号成立.所以的最小值为.