2023届四川省成都市第七中学高三上学期12月阶段性测试数学（理）试题（解析版）

2023届四川省成都市第七中学高三上学期12月阶段性测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查集合的交集，易错点在于集合A元素是自然数，集合B的元素是实数．

【详解】∵，，∴．

故选：．

2．在复平面内，复数（为虚数单位），则复数的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】化简复数，求出的共轭复数，即可得到答案.

【详解】

则的共轭复数为

故选：A.

3．设函数，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.

【详解】因，则，而，

所以.

故选：D

4．若实数x､y满足，则z=x+3y的最小值为（    ）

A．-9 B．1 C． D．2

【答案】B

【分析】做出可行域，由目标函数的几何意义求得最小值.

【详解】有不等式组做出可行域，如图所示：

由目标函数z=x+3y的几何意义知，其在处取得最小值，

此z=1+0=1.

故选：B.

5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】借助中间值比较大小即可.

【详解】，，所以.

故选：A.

6．某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解．

【详解】解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥，

由图示可知，该空间几何体体积为，

故选：C.

7．的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（    ）

A．−32 B．32 C．−64 D．64

【答案】C

【分析】先根据展开式中各项系数的和为3，求出，进而根据的展开式的通项公式，求出答案.

【详解】令得：，解得：，其中的通项公式为，令得：，所以，则，令，此时，不合题意，综上：该展开式中的常数项为-64.

故选：C

8．函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A．， B．是奇函数

C．直线是的对称轴 D．函数在上单调递减

【答案】C

【分析】根据已知函数图象求得的解析式，再根据三角函数的奇偶性、对称性、以及单调性，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】根据的函数图象可知，的最大值为2，又，故；

又，即，则，又，故；

又，即，解得，

故可得；又，则，又，故当时，；

故

对A：由上述求解可知，，，故A错误；

对B：，又，

故是偶函数，故B错误；

对C：当时，，即当时，取得最小值，

故是的对称轴，故C正确；

对D：当时，，而在不单调，故D错误.

故选：C.

9．在中，，为直角三角形，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换公式，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】由，

得，

即，

即，

即，

整理得，则或，

因为，，，，

则或，即或，所以由不能推出；

当为直角三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，

故“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

10．对如下编号为1，2，3，4的格子涂色，有红，黑，白，灰四种颜色可供选择，要求相邻格子不同色，则在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分步计数原理可计算出1号格子涂灰色的方案总数，再计算1号格子和4号格子同时涂灰色的方案数，即可算出其概率.

【详解】由题意可知，整个事件需要分四步，按照格子标号依次涂色即可；

若在1号格子涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，同时3号格子也有3种选色方案，4号格子还剩2种选色方案，

即1号格子涂灰色的方案总数为种；

若1号格子和4号格子同时涂灰色，则2号格子还有3种选色方案，3号格子还有2种选色方案，

即1号和4号格子同时涂灰色的方案总数为种；

所以，在1号格子涂灰色的条件下，4号格子也涂灰色的概率是.

故选：A.

11．双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点是双曲线右支一点，过向的角平分线做垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的方程得焦点，延长交的延长线于点，由角平分线的性质得且，由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离心率公式即可得到答案.

【详解】由抛物线的焦点，故，延长交的延长线于点

是的角平分线，于点，

且

点是的中点，

由双曲线的定义得,

故

故双曲线的离心率为

故选：A.

12．关于的不等式的解集为，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，原不等式等价为恒成立，即函数的图象恒在函数的上方，然后利用两曲线相切的临界位置，得出的表达式构造函数求最大值即可.

【详解】根据题意可知，关于的不等式的解集为，即对任意恒成立；

令函数，，即函数的图象恒在函数的上方，所以；

设直线与曲线相切，切点为；

由得，

所以，即；

此时切线方程为，即

所以；

根据题意直线须在的上方或重合，所以;

所以，令，则

记，则

所以，，即函数在上单调递增；

，即函数在上单调递减；

所以，即

所以的最大值是.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式恒成立转化成两函数图象的位置关系的问题，利用导数的几何意义得到切线方程，比较得出在上轴截距的大小，写出的表达式，最后通过构造函数求得其最大值.

二、填空题

13．已知，则__________.

【答案】5

【分析】根据求出的值，然后再求

【详解】

又，

故答案为：5

14．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在上，若为等边三角形，则的面积为__________.

【答案】

【分析】先根据为等边三角形得到，再设，表示出点坐标，再根据,列出关于的方程，解出，解出三角形边长，利用面积公式即可得到答案.

【详解】为等边三角形

由题意得

设，则

解得

是边长为2的等边三角形，

故答案为：.

15．在中，斜边为，点在边上，若，，则__________.

【答案】

【分析】由，结合同角关系求出，，结合三角形面积公式证明，，再根据余弦定理列关系式求即可.

【详解】因为，所以，又，

，所以，，

的面积，

的面积，所以，

因为，所以，故，

所以，故，所以

由余弦定理可得，又，

所以，

所以，

故答案为：.

16．已知正方体的棱长为是空间中任意一点.

①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是；

②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是；

③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆；

④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是；

⑤设交平面于点，则.

以上说法正确的是__________.（填序号）

【答案】④

【分析】满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧,求出动点轨迹长即可判断①，证明面，可得，判断②，若到直线的距离与到点的距离之和为2，则点在线段上可判断③作出平面截正方体的正六边形求出其面积可判断④，利用，求出，再利用在求出.

【详解】对于①，满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的3个圆弧，因此动点轨迹为.故①正确；

对于②，连接，则,

面,面

，面

面

点是线段上的点，

面

可得

故直线和所成角恒为.故②不正确

对于③，过点作于点，则到直线的距离与到点的距离之和为，当点在线段上时，

此时不满足到直线的距离与到点的距离之和为2，所以的轨迹为线段，故③不正确.

对于④，过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可.

,则平面与正方体过点的三条棱所成的角相等，若点分别为相应棱的中点，则平面面，且六边形为正六边形，边长为，故六边形的面积为,故④正确.

对于⑤

故⑤错误

故答案为：④.

三、解答题

17．已知等差数列的公差为，前项和为，现给出下列三个条件：①，，成等比数列；②；③．请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．

(1)求的通项公式；

(2)若，且，设数列的前项和，求证．

【答案】(1)

(2)证明见详解

【分析】（1）选择①②，①③或②③，利用等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化为关于和的关系式，求出和的值即可得到的通项公式；（2）由（1）知，利用累加法求出的通项，再由裂项求和即可证明，再根据即可证明．

【详解】（1）解：由条件①得，因为，，成等比数列，则，即，又，则，

由条件②得，即，

由条件③得，可得，即．

若选①②，则有，可得，则；

若选①③，则，则；

若选②③，则，可得，所以．

（2）证明：由，且，

所以当时，则有，

又也满足，故对任意的，有，

则，

所以，

由于单调递增，所以，

综上：．

18．随着北京冬奥会的进行，全民对冰雪项目的热情被进一步点燃．正值寒假期间，嵩山滑雪场迎来了众多的青少年．某滑雪俱乐部为了解中学生对滑雪运动是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对滑雪运动有兴趣的人数占总人数的，女生中有5人对滑雪运动没有兴趣．

(1)完成下面2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关？

(2)该俱乐部拟派甲、乙、丙三人参加滑雪选拔赛，选拔赛共有两轮，两轮都获胜选拔才能通过．已知甲在每轮比赛获胜的概率为，乙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为p和，其中（），判断甲，乙，丙三人谁通过选拔的可能性最大，并说明理由．

附：，其中．

【答案】(1)填表见解析；有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关

(2)甲；理由见解析

【分析】（1）先求出对滑雪运动有兴趣的人数，结合已知可完成列联表，然后计算可得；

（2）分别计算三人通过选拔的概率，然后作差比较可知.

【详解】（1）由题意，从某中学随机抽取了100人进行调查，

可得男生有50人，女生有50人，

又由滑雪运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有25人，

因为女生中有5人对滑雪运动没有兴趣，所以男生中对滑雪无兴趣的有20人，有兴趣的有30人，

女生有兴趣的有45人，可得如下2×2列联表：

所以，

所以有的把握认为对滑雪运动是否有兴趣与性别有关．

（2）甲获胜的概率最大，理由如下：

甲在两轮中均获胜的概率为；

乙在两轮中均获胜的概率为；

丙在两轮中均获胜的概率为；

∵；∴．

∵；

∴显然∴，即甲获胜的概率最大．

19．在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.

(1)求证：AE⊥BP；

(2)求二面角E-CP-B的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据已知条件，可以证明线线垂直来证明线面垂直，然后证明；

（2）结合题目条件，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，即可完成二面角的求解.

【详解】（1）

证明：在矩形中，连接，记

在四棱锥中，线段取点满足

（2）

如图所示

设平面的法向量为

设平面的法向量

设二面角的大小为

的余弦值为

20．已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，，为垂足，为坐标原点，且．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的右焦点的直线（斜率不为）与椭圆交于两点，为轴正半轴上一点，且，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用△∽△构造齐次方程，求出离心率，再利用焦距即可求出椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立利用韦达定理求出和，利用几何关系可知，即可得，将韦达定理代入化简即可求得点的坐标.

【详解】（1）∵椭圆的焦距为，∴，即，

轴，∴，则,

由，，则△∽△，

∴，即，

整理得，即，解得或（舍去）

∴，∴，

则椭圆的标准方程为，

（2）设直线的方程为，且，

将直线方程与椭圆方程联立得，

，

则，，

∵，∴，

∴  ,

∴，

∴

，

即.

21．已知函数.

(1)当对，求函数的最小值；

(2)若对恒成立，求实数取值集合；

(3)求证：对，都有

【答案】(1)0

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值；

（2）先根据，得到，再证明出充分性成立，而与均不合要求，从而得到答案；

（3）由第一问结论得到，只需证明，由（2）可知，，得到，结合等比数列求和公式证明出.

【详解】（1）在上单调递增，

所以.

（2），

由于，故，

下证当时，恒成立，

此时令，解得：，

令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极小值，也是最小值，

且，

故对恒成立；

当时，，则，显然不合要求，舍去

当时，令，解得：，

令，解得：，其中，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，故当时，，不合题意，舍去；

综上：实数取值集合为.

（3）由（1）可知，，，

所以

故只需证明：即可

由（2）可知，，

则，

，

令，则，

，

.

【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.

22．已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知过点，倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，若M为线段AB的三等分点，求的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用二倍角公式化简已知式，两边同乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式即可；

（2）写出直线的参数方程，代入曲线的方程，得到关于参数的一元二次方程，由已知结合韦达定理以及参数的几何意义，可得关于的方程，求解得答案.

【详解】（1）由，得，

所以

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）设直线l的参数方程为（t为参数，），

代入，得，

恒成立，

所以，．

由M为线段AB的三等分点，且，故．

将代入前式，得

，，

所以，

，则

解得：或．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)首先分类讨论去绝对值，再求解不等式；

（2）首先讨论时，的范围，当时，不等式化简为，利用含绝对值三角不等式求最值，即可求得的取值范围.

【详解】（1）

不等式等价于或或解得或．

故原不等式的解集为．

（2）当时，不等式恒成立，即．

当时，可化为，

因为，当且仅当时等号成立

所以，即a的取值范围为．