2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省部分重点高中高三上学期12月联合考试数学（理）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合，然后利用交集运算即可得到答案【详解】由题意知，，即集合，因为，所以，故选：B.2．若，，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性的性质，结合存在性质的定义进行求解即可.【详解】因为，，所以，，显然在上单调递减，所以，即实数a的取值范围为.故选：D3．在△ABC中，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量基本定理求解可得，，进而可得答案.【详解】由可得，则，即，，所以.故选：B．4．已知点是角的终边上一点，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用三角函数的定义可求得、的值，再利用二倍角公式可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，，所以，.故选：A.5．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意，分情况讨论，利用其轴截面，根据勾股定理，可得答案.【详解】解：由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，轴截面如图所示，设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；当两底面在球心异侧时，有，即，所以，即，则，.∴这个球的表面积是.故选：B.6．已知数列满足，且，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据累加法求解即可.【详解】由，且，根据累加法可得：，所以，则.故选：B7．已知为等差数列的前项和，，且，，则满足的最大的正整数（    ）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】C【分析】根据等差数列的单调性，结合第项与前项的关系进行求解即可.【详解】为等差数列，∵，且，∴，，，即该等差数列的公差，∴数列是递减的等差数列，当时，，当时，，∵，∴，，，，∴满足题意的最大的正整数，故选：C8．已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，再求导分析函数的单调性，进而结合判断大小关系即可.【详解】由，化简，令，则，所以函数在上单调递增，，所以.故选：D9．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，若函数的极大值与极小值之和为，则的值域为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】计算函数的对称中心为，确定，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】，，得，，即函数的对称中心为，函数存在极大值与极小值，设极值点为，，，即或．，，当和时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.，，故的值域为．故选：D10．已知，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．12【答案】C【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】，，因为，，故，，，当且仅当时，即时等号成立．所以的最小值为．故选：C11．已知函数定义域为，，是偶函数，设，则下列选项中一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】确定为奇函数，是偶函数，函数周期为4，再依次判断每个选项得到答案.【详解】，所以为奇函数，故函数图象关于点对称，是偶函数，故，即，函数图象关于直线对称，所以所以，所以函数周期为4，对选项A：，故A正确；对选项B：无法确定，错误；对选项C：，错误；对选项D：，故，即，，错误.故选：A12．设函数，若关于x的方程（）有四个实数解，且，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出函数图像，由图像得出函数单调性，再作直线由直线与函数图像交点得满足的性质，再求得其范围．【详解】如图所示：因为关于x的方程（）有四个实数解，且，，所以.的对称轴为，所以.因为，所以，即，.因为，所以.所以，令，，因为，为减函数，所以.故选：A.【点睛】本题考查方程解的问题，解题方法是把方程的解转化为直线与函数图像交点问题，作出函数图像与直线，利用数形结合思想得出解具有的性质，然后再求解. 二、填空题13．命题“，”的否定是__________．【答案】，【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】命题“，”的否定是，．故答案为：，14．已知，，，则__________.【答案】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，由，则，则，所以，则.故答案为：15．写出一个同时满足下列性质的函数：__________.①定义域为R；②；③设是函数的导函数，且.【答案】(答案不唯一)【分析】根据三角函数的性质结合基本函数的导数公式即得.【详解】因为函数的定义域为R，所以，，所以，所以满足题意.故答案为：.（答案不唯一）16．设函数（），若在上有且仅有5个极值点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据极值的定义，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】当时，，令，则，由函数（，）性质可知，若函数在上有且仅有5个极值点，只需，解得.故答案为：【点睛】关键点睛：利用函数极值与单调性的关系进行求解是解题的关键. 三、解答题17．已知数列的前项和为，，，．(1)求；(2)设是数列的前项和，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知可推出，数列是首项为1，公差为的等差数列，即可解出，进而解得；（2）由（1）可得，然后求和即可得到.【详解】（1）由题，可得，又知，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即．（2）由（1）可得，∴．18．如图，在四棱锥中，为正方形，平面平面，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明平面平面，根据平面，得到证明.（2）确定B，D两点到平面EFG的距离相等，，计算得到答案.【详解】（1），，分别是线段，，的中点，故，，平面，平面，平面，平面，故平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，故平面．（2）连接，平面PAD⊥平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，PA⊥AD，故PA⊥平面ABCD，平面，PA⊥CD，四边形ABCD为正方形，AD⊥CD，，平面，故CD⊥平面PAD．GD＝2，．平面EFG，故B，C两点到平面EFG的距离相等，G是线段CD的中点，C，D两点到平面EFG的距离相等，即B，D两点到平面EFG的距离相等，，三棱锥B－EFG的体积为．19．已知数列{}满足＝，＝，＝．(1)证明：{－}为等差数列，并求；(2)设＝＋·，求数列{}的前项和．【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】(1)定义法证明等差数列, 应用等差数列通项公式可得通项,再构造等比数列, 应用等比数列通项公式计算即可.(2)分奇偶讨论,并应用等差数列求和公式计算即可得解.【详解】（1）根据题意得an＋1＝4an－3an－1，可得an＋1－3an＝an－3an－1，又知a2－3a1＝－2，所以数列是首项为－2，公差为0的等差数列，所以an－3an－1＝－2，即an－1＝3（an－1－1），又知a1－1＝4－1＝3，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以．（2），当n为偶数时，前n项和；当n为奇数时，前n项和，则20．如图，在四棱锥中，，垂足为，平面，，，．(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据，证明平面即可（2）计算，再利用等体积法得到点到平面的距离为，再计算线面夹角得到答案【详解】（1）∵平面，平面，故，又，，平面，平面，故平面，又平面．平面平面（2）在中，由得，在中，由得，在中，由得．在中，由得，在中，由，由可得，，设点到平面的距离为，由，得，即，设直线与平面所成的角为，则．21．如图所示，在平面四边形中，，，．(1)求角的大小；(2)当角为何值时，四边形的面积最大．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化简得到，计算得到答案.（2）计算，，得到，根据三角函数的有界性得到最值.【详解】（1）因为，所以，即，解得，，．（2），，为等边三角形，在中，由余弦定理知：，而，，四边形ABCD的面积，，，当即时，取得最大值为，故四边形ABCD面积的最大值为．22．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若（）有两个零点，，且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；（2）由题可得，令，则，构造函数，求导判断单调性，即可求出，再利用基本不等式即可证明.【详解】（1），则，即切线斜率为2，又，则切线l的方程为，即切线方程为.（2）∵是的零点，，且，，则，即，∴，即，令，则，则，令，则.令，则，则单调递增，∴，即，则单调递增，∴，∴，即，即，则（由于，故不取等号），得证.【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于得到后，令，则，进而构造函数，求导判断单调性，即可求出，从而可证得结论.