2022届黑龙江哈尔滨市第一二二中学校高三上假期检验性考试数学试题（解析版）

2022届黑龙江哈尔滨市第一二二中学校高三假期检验性考试数学试题

一、单选题

1．设全集则下图阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先化简集合，再根据文氏图求解即可.

【详解】，

易知阴影部分为集合，

故选：

2．已知，若，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先取特殊值检验是否满足充分性，再结合基本不等式判断是否满足必要性即可.

【详解】取，则，但，所以p是q的不充分条件；

当时，由基本不等式可得，所以p是q的必要条件.

综上p是q的必要不充分条件.

故选：B.

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据的定义域可知，故，即可求出答案.

【详解】解：∵函数的定义域为

∴，

∴函数中，

∴

所以函数的定义域为[]．

故选：D

4．新冠疫情期间，某医学院将6名研究生安排到本市四家核酸检测定点医院进行调研，要求每家医院至少去1人，至多去2人，且其中甲乙二人必须去同一家医院，则不同的安排方法有（    ）

A．72种 B．96种 C．144种 D．288种

【答案】C

【分析】先从甲乙以外的4人中选2人，甲乙为一组，分成四组进行全排列.

【详解】先从甲乙以外的4人中选2人去一家医院，再进行排列，

则共有种安排方法，

故选：C

5．溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，已知胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的pH约为（    ）（参考数据：lg2≈0.301）

A．0.398 B．1.301 C．1.398 D．1.602

【答案】D

【分析】直接利用所给公式计算求解即可

【详解】由题意得胃酸的pH为

，

故选：D

6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．

【详解】解：，

，

函数是周期为的周期函数，

又当时，，

所以，，，

，

故选：B．

7．已知实数，，满足，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数可证，据此可比较大小.

【详解】令，则

当时，单调递减，

当时，单调递增，

所以，

即.

所以，，

故选：D

8．从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：

（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量

（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量

则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据题意计算概率写出分布列，计算方差、期望比较即可．

【详解】根据题意，，，，分布列如下：

根据题意，，，，分布列如下：

，，

，，

可得，

故选：C.

二、多选题

9．下列命题中，真命题的是（    ）

A．，都有

B．，使得

C．任意非零实数，都有

D．若，则的最小值为4

【答案】AB

【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题.

【详解】解：对于A，恒成立，

则，都有，A选项正确；

对于B，当时，，

（当且仅当时取等号），

，，使得，B选项正确；

对于，当时，，C选项错误；

对于 D，当时，，令,

在上单调递增，

，

则的最小值不是4，D选项错误；

故选：AB.

10．4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间服从正态分布，则（       ）

（附：，，，．）

A．该校学生每周平均阅读时间为9小时；

B．该校学生每周阅读时间的标准差为4；

C．该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.15%；

D．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在3-5小时的人数约为210．

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的意义、对称性与特定区间的概率逐个判断即可

【详解】对A，因为，所以平均数是9，故A正确；

对B，因为，所以标准差为2，故B不正确

对C，因为，，．

结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占，C正确；

对D，每周阅读时间在3-5小时的人数占，

，所以D正确；

故选：ACD．

11．下列说法正确的是（    ）

A．幂函数是奇函数，则

B．在的展开式中，含的项的系数是

C．的展开式中第6项的系数最大

D．已知函数与函数的值域相同，则实数的取值范围是

【答案】ABC

【分析】选项A，由幂函数的定义可知其系数为1，求得m后再验证奇偶性；选项B，展开式中的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到；选项C，展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等，所以只需找到展开式中间一项即可；选项D，分段函数的值域是指每一段函数值域的并集，所以需要判断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.

【详解】选项A， 依题意幂函数，则，解得或，

当时，是一个偶函数，不合题意；当时，是一个奇函数，满足题意，故A正确；

选项B，在的展开式中， 的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x，剩余括号中取常数项相乘得到的， 所以的项的系数为，故B正确；

选项C，的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，展开式共11项，中间一项即第6项的二项式系数最大，即系数最大，故C正确；

选项D，函数的值域为R，所以函数的值域为R.

因为是一个增函数，所以当时，，即；

若函数的值域为R，则当时，，

所以满足条件，即，解得，则实数的取值范围是，故D错误.

故选：ABC.

12．若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（    ）

A．

B．当时，的值不唯一

C．可能等于

D．当时，的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，再数形结合求解即可.

【详解】解：不妨设切点为，因为，

所以切线方程为，

所以，整理得，

所以令，则，

所以，令得.

所以，当或时，，，当时，，

因为，当趋近于时，趋近于，，，，当趋近于时，趋近于，

所以，函数的图像大致如图，

所以，当时，，故B错误，此时成立；

当时，，所以，故可能等于，C正确；

当

当时，，显然，故D正确；

综上，，A正确.

故选：ACD

三、填空题

13．某训练小组有20名射手，其中一、二、三级射手分别有6名、9名、5名，若选择一、二、三级射手参加比赛，且在比赛中击中目标的概率分别为0.9、0.8、0.6.现从该小组随机选一人参加比赛，则在比赛中击中目标的概率为____________.

【答案】0.78

【分析】利用全概率的计算公式即可求解.

【详解】一、二、三级射手占比分别为且一、二、三级射手在比赛中射中目标的概率分别为0.9、0.8、0.6，所以从该小组随机选一人参加比赛，则在比赛中射中目标的概率为.

故答案为：.

14．已知函数f（x）的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围是__．

【答案】

【分析】将分为 三种情况讨论：当时， 满足条件；当时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当时，只需二次函数的即可，解出的取值范围，综上得的取值范围.

【详解】解：当时，，值域是[0，+∞），满足条件；

令 ，

当m＜0时，的图象开口向下，故f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；

当m＞0时，的图象开口向上，只需的，

即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，

∴，又 ，所以

综上，，

∴实数m的取值范围是：，

故答案为：.

15．写出一个具有性质①②③的函数____________

①的定义域为；②；③当时，

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据3个条件知对数函数形式的减函数满足要求，写出一个函数即可.

【详解】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义域上是减函数，故可以为.

故答案为：（答案不唯一）.

16．设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，则__________.

【答案】4044

【分析】分析函数的对称点，根据倒序相加即可求解.

【详解】

所以，

且有，

所以，

所以若，，

所以设，

倒序得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：4044.

四、解答题

17．若二次函数满足，.

(1)求的解析式；

(2)求在上的值域；

(3)若在上恒成立，求m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设二次函数，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解；

（2）根据二次函数的图象与性质，即可求解；

（3）把不等式在上恒成立转化为在上恒成立，令，结合二次函数的性质求得，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，设二次函数，

因为，可得，即，

又因为，可得，

即，可得，解得，

所以.

（2）解：由函数，

当时，函数取得最小值；

当时，函数取得最大值；

所以函数在上的值域为；

（3）解：由函数，不等式，即为，

因为在上恒成立，即在上恒成立，

令，

根据二次函数的性质，可得函数在上单调递减，所以，

所以，所以实数的取值范围.

18．为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．

(1)由以上统计数据填写下面列联表，并判断依据的独立性检验，能否认为“成绩优良与教学方式有关”？

附：，其中．

临界值表

(2)现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)列联表见解析，依据的独立性检验，能认为“成绩优良与教学方式有关”；

(2)分布列见解析，期望为.

【分析】（1）先完善列联表，作出零假设，计算，和3.841比较即可作出判断；

（2）先由分层抽样求得8人中成绩不优良的人数，再分别计算为0，1，2，3的概率，列出分布列，计算期望即可.

【详解】（1）由题意，列联表如下：

零假设为：成绩优良与教学方式无关，由列联表计算可得，

依据的独立性检验，有充分证据推断不成立，即认为“成绩优良与教学方式有关”；

（2）由（1）知，8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，，

，所以的分布列为：

则.

19．某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元.在演出过程中穿插抽奖活动.第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，若满足，电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若不满足电脑显示“谢谢”，则不中奖.

(1)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

(2)若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；

(3)若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款.问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标.

【答案】(1)

(2)．

(3)能达到预期目标．

【分析】（1）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，所包含的基本事件有2个，故可求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

（2）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为，900，9900，分别计算其概率，从而可得的分布列与期望；

（3）根据（2）中求出的购票者每人收益期望为，可得该机构此次收益期望，从而可知该慈善机构此次募捐能达到预期目标．

【详解】（1）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有，，，，，，，，共9个，

设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有，共2个，．

（2）设小叶参加此次活动的收益为，的可能取值为，900，9900，

，，．

的分布列为

.

所以小叶参加此次活动收益的期望为-97.

（3）由（2）可知，购票者每人收益期望为，

有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，

该机构此次收益期望为元万元，

，

该慈善机构此次募捐能达到预期目标．

20．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:

调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;

(1)做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．（若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到） .

(2)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，且每位村民参与管理的意互不影响，则从该贫困县村民中任取人，记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为，求的分布列及数学期望.

参考公式：  参考数据：

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）由已知数据做出散点图，根据散点图可判断出土地使用面积与管理时间是否线性相关，计算出相关系数可判断出两个变量是否有很强的线性相关性；

（2）记取到不愿意参与管理的女性村民的人数为，求出的取值可得分布列及数学期望.

【详解】（1）

散点图如上图，由散点图可知，土地使用面积与管理时间线性相关.

因为，，

，

，

，

所以相关系数，

故土地使用面积与管理时间线性相关性很强.

（2）由题意可知，调查名村民中不愿意参与管理的女性村民人数名，从该贫困县村民中任取一人，取到不愿意参与管理得到女性村民的概率为，

的所有可能取值为，

，

，

，

，

的分布列

数学期望.

21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：天变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．

(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．精确到，参考数据：取

【答案】(1)天；

(2).

【分析】（1）利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，由浓度：当时，；当时，，分类讨论解出的值即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，可得浓，化简计算，再变形利用基本不等式即可得出．

【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，

所以浓度可表示为：当时，，

当时，，

则当时，由，解得，

所以得，

当时，由，解得，

所以得，

综合得，故若一次喷洒4个单位的净化剂，

则有效净化时间可达8天.

（2）设从第一次喷洒起，经天，

浓度

，

因为，而，

所以，故，

当且仅当时，有最小值为，

令，解得，

所以a的最小值为

22．已知

(1)若，求的最小值；

(2)当时，，求a的取值范围

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）由题意求出函数的导数，判断函数的单调性，从而确定最值；

（2）将展开，分离参数，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，将不等式恒成立问题变为求函数的最值问题，分类讨论，即可解答.

【详解】（1）因为时，，所以，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以;

（2）因为，所以，

所以,

记，，只需证，

所以，

记，其中，，

二次函数图象的对称轴为 ，

故在上单调递增，所以，

①当，即时，，所以在上单调递增，

又，故，，

所以符合题意，

②当，即时，

令，得，取，则，

当，，故，所以在上单调递减，

所以，又，所以，

故对，显然不成立，所以不符合题意，舍去.

综上①②知，.

【点睛】本题考查了导数的应用，涉及到利用导数求函数的最值，以及不等式恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的性质，解答的关键在于合理的变形，从而构造新函数.