专题08 平行四边形中的动点问题训练-八年级数学下学期期末考试压轴题专练（人教版，尖子生专用）

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专题07 平行四边形中的动点问题训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D，E运动的时间是t s(0S，且a>b，
∴L1−L2>0，即L1>L2，同理可得，L2>L3，
∴L3最小，即矩形ABHK的周长最小．
【解析】略

12. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为过点作交于，连接，

求证：四边形为菱形；
当在边上移动时，折痕的端点，也随着移动．
当点与点重合时如图，求菱形的边长；
如限定，分别在，上移动，求出点在边上移动的最大距离．
【答案】(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD
上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB=PE，BF=EF，
∠BPF=∠EPF，
又∵EF//AB，
∴∠BPF=∠EFP，
∴∠EPF=∠EFP，
∴EP=EF，
∴BP=BF=EF=EP，
∴四边形BFEP为菱形;

(2) ①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5cm，
CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘
∵点B与点E关于PQ对称，

∴CE=BC=5cm，
在Rt△CDE中，
DE=CE2−CD2=4cm，
∴AE=AD−DE=5cm−4cm
=1cm
在Rt△APE中，AE=1，
AP=3−PB=3−PE，
∴EP2=12+(3−EP)2，
解得：EP=53cm，
∴菱形BFEP的边长为53cm;
 ②当点Q与点C重合时，如图2:点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．

【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、四边形综合、菱形的判定、正方形的性质
【解析】(1)由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出
∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出结论;
(2) ①由矩形的性质得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90∘，由对称的性质得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD−DE=1cm;在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=53cm即可;
 ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由 ①知，此时AE=1cm;当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．

本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识;本题综合性强，有一定难度．

13. 如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E−B−C匀速运动，速度为每秒1个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD上的点，AQ=5，设△PAQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．
(1)图①中AB=          ，BC=          ，图②中m=          ．
(2)点P在运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．
【答案】解：(1)4，  9，   5；
(2)分三种情况：①当点P在AB边上，A′落在BC边上时，作QF⊥BC于F，如图1所示：

则QF=AB=4，BF=AQ=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=9，
由折叠的性质得：PA′=PA，A′Q=AQ=5，∠PA′Q=∠A=90°，
∴A′F=A′Q2−QF2=3，
∴A′B=BF−A′F=2，
在Rt△A′BP中，BP=2−t，PA′=AP=4−(2−t)=2+t，
由勾股定理得：22+(2−t)2=(2+t)2，
解得：t=12；
②当点P在BC边上，A′落在BC边上时，连接AA′，如图2所示：

由折叠的性质得：A′P=AP，
∴∠APQ=∠A′PQ，
∵AD//BC，
∴∠AQP=∠A′PQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=A′P=5，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=3，
又∵BP=t−2，
∴t−2=3，解得：t=5；
③当点P在BC边上，A′落在CD边上时，连接AP、A′P，如图3所示：

同理可得：t=173；
综上所述，t为12或5或173时，折叠后顶点A的对应点A′落在矩形的一边上．
【知识点】翻折变换(折叠问题)、动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、四边形综合、等腰三角形的判定
【解析】
【分析】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
(1)由图象得：t=2时，BE=2×1=2，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×5×2=5，即可求解；
(2)分点P在AB边上、点P在BC边上、点P在BC边上三种情况，分别求解即可．
【解答】
解：(1)∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒1个单位长度，
∴AB=2BE，
由图象得：t=2时，P点到达点B，即BE=2×1=2，
∴AB=2BE=4，AE=BE=2，
t=11时，P点到达点C，
∴BC=11−2=9，
当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=12AQ×AE=12×5×2=5；
故答案为4，9，5；
(2)见答案．

14. 已知，AB=18，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形．设点P的运动时间为t．
(1)如图1，若两个正方形的面积之和S，当t=6时，求出S的大小；
(2)如图2，当t取不同值时，判断直线AE和BC的位置关系，说明理由；
(3)如图3，用t表示出四边形EDBF的面积y．

【答案】解：(1)当t=6时，PA=6，PB=18−6=12，
∴S=62+122=180；

(2)如图2中，结论：AE⊥BC．
理由：延长BC交AE于K．

∵四边形APCD，四边形PEFB都是正方形，
∴PA=PC，PE=PB，∠APE=∠BPC=90°，
∴△APE≌△CPB(SAS)，
∴∠AEP=∠CBP，
∵∠CBP+∠BCP=90°，∠BCP=∠ECK，
∴∠AEP+∠ECK=90°，
∴∠EKC=90°，
∴AE⊥BC；

(3)如图3中，连接PD，BE．

∵四边形APCD，四边形PEFB都是正方形，
∴∠APD=∠ABE=45°，
∴PD//BE，
∴S△BED=S△BEP，
∴S四边形DEFB=S正方形PEFB，
∴y=(18−t)2=t2−36t+324(0