初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数课后测评

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专题12 一次函数解答题压轴训练
（时间：60分钟 总分：120） 班级 姓名 得分
解答题解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”。经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”。
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷。
一、解答题
1．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．
例如：点与的“直角距离”．
（1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________；
（2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．
若点P与原点O的“直角距离”．请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
（3）已知直线，点是x轴上的一个动点．
①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围；
②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）P1，P4；（2）见解析；（3）①-1≤k≤；②-2≤t≤0或t=2
【分析】
（1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断；
（2）根据“直角距离”的定义得|x|+|y|=1，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可；
（3）①先根据题意可得点C的坐标为（3，0），根据dCD=1，并由（2）可得：点D在正方形EFMN边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，代入可得结论；
②根据k=-2可得直线EF的解析式为：y=-2x+2，计算点E和F的坐标，设H（m，-2m+2），根据点H在线段EF上，可得0≤m≤1，根据“直角距离”的定义列式得dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，列不等式后分两种情况进行讨论可得结论．
【详解】
解：（1）∵点，
∴dP1O=|-1|+0=1，dP2O=，dP3O=，dP4O=，
∴与原点O的“直角距离”等于1的点是P1，P4；
故答案为：P1，P4；
（2）设P（x，y），
∵点P与原点O的“直角距离”dOP=1，
∴|x|+|y|=1，
当x＞0，y＞0时，x+y=1，即y=-x+1，
当x＞0，y＜0时，x-y=1，即y=x-1，
当x＜0，y＞0时，-x+y=1，即y=x+1，
当x＜0，y＜0时，-x-y=1，即y=-x-1，
如图1所示，

（3）①当t=3时，点C的坐标为（3，0），
由（2）可得：dCD=1，则点D在正方形EFMN边上，如图2，

∴F（2，0），E（3，1），M（3，-1），N（4，0），
又∵点D在直线y=kx+2，又直线y=kx+2过点（0，2），
由图2可知：当直线y=kx+b过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F，M的直线，
把点E的坐标（3，1）代入y=kx+2中，3k+2=1，k=，
把点F的坐标（2，0）代入y=kx+2中，2k+2=0，k=-1，
故k的取值范围是：-1≤k≤，
②当k=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=1，
∴E（1，0），F（0，2），
设H（m，-2m+2）（0≤m≤1），
dCH=|t-m|+|-2m+2|=|t-m|-2m+2，
∵1≤dCH≤4，即1≤|t-m|-2m+2≤4，
又0≤-2m+2≤2，
即-1≤|m-t|≤4，
当t≤m时，有-1≤m-t≤4，
∵0≤m≤1，
∴-4≤t≤2，
又t≤m，
∴-4≤t≤1，
当t＞m时，有-1≤t-m≤4，
∵0≤m≤1，
∴-1≤t≤5，
又t＞m，
∴1≤t≤5，
当-4≤t＜-2时，dCH＞4，不符合题意，
当0＜t＜2时，dCH＜1，不符合题意，
当2＜t≤5时，dCH＞4，不符合题意，
综上，t的取值范围为：-2≤t≤0或t=2．
【点睛】
本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的顶点A在x轴的正半轴上，，，点P，点Q分别是边，边上的点，连结，，点B1是点B关于的对称点．

（1）若四边形为长方形，如图1，
①若点P，点Q分别是边，边上中点，求直线的解析式；
②若，且点落在上，求点的坐标；
（2）若四边形为平行四边形，如图2，且，过点作轴，与对角线，边分别交于点E，点F．若，点的横坐标为m，求点的纵坐标（用含m的代数式表示）
【答案】（1）①；②，；（2）或
【分析】
（1）①根据A、C坐标和中点的定义得到P、Q坐标，再利用待定系数法求解．
②求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形：①当点在线段的延长线上时，如图2，延长与轴交于点，②当点在线段（除点，外）上时，如图3，延长与轴交于点，分别求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）①，，四边形是矩形，
∴BC=4，AB=2，
∴B（4，2），
又点P和点Q是BC和AB中点，
∴P（2，2），Q（4，1），设PQ的解析式为，
则，解得：，
∴PQ的解析式为；
②设，则，如图1，

设直线的解析式是，把代入，得
，解得，
直线的解析式是，
把代入上式，得，解得．
，；
（2），，，
，．
，
有以下两种情况：
①当点在线段的延长线上时，如图2，延长与轴交于点，

由题意可知，设，则，，
，，
，
，解得．
点的纵坐标为．
②当点在线段（除点，外）上时，如图3，延长与轴交于点，

同理可求得的纵坐标为．
综上所述，满足条件的的纵坐标为或．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，且ABO的面积为9．

（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D为线段AB的延长线上一点，连接DO，DO与PC的延长线交于点E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝，求点D的坐标．
【答案】（1）k＝；（2）d＝t+3；（3）(1，)
【分析】
（1）根据题意先求出点A，B的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；
（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC的解析式，进而求出点C的坐标，即可得到答案；
（3）在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，过点B作BHPF交OD于H，证明△BHD和△FGO，过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），根据题意建立方程求解．
【详解】
解：（1）∵直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（﹣，0），B（0，3），
∴OA＝|﹣|，OB＝3，
∴S△ABO＝•OA•OB＝×|﹣|×3＝||，
∵S△ABO＝9，
∴||＝9，
解得：k＝±，
∵由题图知k＞0，
∴k＝；
（2）∵PCAB，P（t，0），
设直线PC的解析式为y＝x+n，
则0=t+n，
∴n=-t，
∴直线PC的解析式为y＝x﹣t，
令x＝0，得y＝﹣t，
∴C（0，﹣t），
∴BC＝3﹣（﹣t）＝t+3，
∵线段BC的长为d，
∴d＝t+3；
（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，

∵BF⊥PO，FO＝BO，
∴BP＝PF，
设∠BOD＝α，∠PBO＝β，
∵∠BPC＝2∠BOD，
∴∠BPC＝2α，∠OFG＝∠PBO＝β，∠GOF＝∠BOD＝α，
∠PGE＝∠PFO+∠GOF＝α+β，
∵∠BCE＝∠PBO+∠BPC＝∠BOD+∠PEO，
∴β+2α＝α+∠PEO，
∴∠PEO＝α+β，
∴∠PEO＝∠PGE，
∴PE＝PG，
过点B作BHPF交OD于H，
∴∠BHD＝∠PGE，∠BHO＝∠FGO，
∵PCAB，
∴∠BHD＝∠PEO，
∴∠BHD＝∠BDH，
∴BD＝BH，
在△BHO和△FGO中，
，
∴△BHO和△FGO（AAS），
∴GF＝BH＝BD，
∵BP﹣PE＝，BP＝PF，PE＝PG，
∴PF﹣PG＝，
即GF＝，
∴BD＝，
过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），且m＞0，则TD＝m，
TB＝TO﹣BO＝m+3﹣3＝m，
在Rt△BTD中，TD2+BT2＝BD2，
即m2+（m）2＝（）2，
解得：m1＝1，m2＝﹣1，
当m＝1时，m+3＝×1+3＝，
∴D(1，)．
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．
4．一次函数y＝x+2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．

（1）求C点的坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S△ABM＝S△ABC，求M点的坐标；
（3）将△ABC沿着直线AB翻折，点C落在点E处；再将△ABE绕点E顺时针方向旋转15°，点B落在点F处，过点F作FG⊥y轴于G．求△EFG的面积．
【答案】（1），；（2），；（3）2
【分析】
（1）先求得A、的坐标，然后可得到，依据含直角三角形的性质可得到，则，然后依据勾股定理求得的长，从而可得到点的坐标；
（2）过点作，则．设直线的解析式为，将点的坐标代入求得的值，然后将代入的解析式可求得点的横坐标；
（3）先求出，进而表示出，，用勾股定理建立方程求出，最后用面积公式即可得出结论．
【详解】
解：（1）当时，，
．
当时，．
，．
，，
，．
为等边三角形，
．
．
，．
（2）如图，过点作．

，
．
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得．
直线的解析式为．
将代入的解析式得：，解得：，
，．
（3）如图，
由（1）知，，，
，
为等边三角形，
，
由折叠知，，
由旋转知，，，
取上取一点使，，连接，

，
设，
，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，

【点睛】
本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．
5．如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点 A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度． P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．
（1）点P到点C时，t= ； 当点Q到终点时，点P的运动路程为 ；
（2）用含t的代数式表示PD的长；
（3）设△CPQ的面积为，求与t之间的函数关系式；
（4）如图②，当点P在线段DC上运动时，将△APQ沿PQ折叠，点A落在平面内的点A′ 处，PQ与AC交于点E．当与△ACD 的边DC、AC平行时，直接写出t的值．

【答案】（1）6，16（2）当＜t≤2时，PD = 4－2t，当2＜t≤6时PD = 2t －4，当6＜t≤8时，PD = 20 －2t；（3）当＜t≤2时，，当2＜t≤6时，，当6＜t≤8时，；（4）
【分析】
（1）计算AC的长，除以速度即可；计算点Q的运算时间AB÷速度，得到的时间乘以点P的速度即可；
（2）根据t的运动特点，分＜t≤2，2＜t≤6，6＜t≤8三种情形计算；
（3）根据（2）的情形，对应计算三角形的面积即可；
（4）在2＜t≤6，6＜t≤8两种情形下，分别计算∥DC和∥AC计算．
【详解】
解：（1）当点到点时 ， t==6，
∵点Q的运动时间为：8÷1=8，
故答案为：6,16；
∴点P 的运动路程为2×8=16
（2）当＜t≤2时，
∵PA=2t，PA+PD=AD=4，
∴PD = 4－2t；
当2＜t≤6时，
∵PA=2t，AD+PD=PA，AD=4，
∴PD = 2t －4；
当6＜t≤8时，
∵2t=AD+CD+PC，PC+PD=CD，AD=4，
∴PD =8-(2t-12)= 20 －2t；
（3）当＜t≤2时，
=
；
当2＜t≤6时，
；
当6＜t≤8时，
；
（4）当2＜t≤6，且∥AC时，如图1，
根据折叠的意义，得∠AQP=∠QP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AQP=∠CPE，
∵∥AC,
∴∠QP =∠CEP，
∵∠AEQ=∠CEP，
∴∠AQP=∠CPE=∠QP =∠CEP=∠AEQ，
∴AE=AQ，CP=CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=4
∴BC=4,∠ABC=90°，

AC==,
设点Q运动时间为t，则PA=2t,AQ=t,
∴CP=12-PA=12-2t，
∵AE+EC=AC,
∴AQ+PC=AC,
∴12-2t+t=,
∴t=12-；
当2＜t≤6，且∥DC时，如图2，
根据折叠的意义，得∠AQP=∠QP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAQ=90°，
∴AD∥PQ，
∴四边形AQPD是矩形，
∴PD=AQ，

设点Q运动时间为t，则PA=2t,AQ=t,
∴PD=2t-4，
∴2t-4=t,
∴t=4；
当6＜t≤8，且∥AC时，如图3，
根据前面的证明，得到AC=，CP=CE,AQ=AE，

设点Q运动时间为t，则AQ=t, CP=2t-12，
∵AE+EC=AC,
∴AQ+PC=AC,
∴2t-12+t=,
∴t=4+；
当6＜t≤8，且∥DC时，如图4，
根据前面的证明，得到AQ=PD，
设点Q运动时间为t，则AQ=t, DP=20-2t，
∴20-2t=t,
∴t=；
综上所得，t的值为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，函数的表达式，分类思想，灵活运用分类思想，适当分割图形表示面积是解题的关键．
6．某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求甲种树苗数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？
【答案】（1）购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）；（3）购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低
【分析】
（1）设甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；
（2）设购买的甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；
（3）设购买的甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，总费用为，即可得出关于的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．
【详解】
解：（1）设购买的甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元．依题意得：
，
解这个方程组得：，
答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
（2）设购买的甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，由题意得，
，
解得，．
∴甲种树苗数量的取值范围是．
（3）设购买的甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，总费用为，
∴．
∵，
∴值随值的增大而减小，
∵，
∴当时，取最小值，最小值为元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，不等式组的解法，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．
7．如图，四边形是张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，，点E在边上．

（1）若点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M，将纸片沿直线折叠，顶点C恰好落在上，并与上的点G重合．
①求点G、点E的坐标；
②若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围．
（2）若点E为上的一动点，点C关于直线的对称点为G，连接，请求出线段的最小值．
【答案】（1）①G（3，4），E（，5）；②-15≤n≤-4；（2）
【分析】
（1）①根据折叠的性质求出OG，根据勾股定理计算求出GN，得到点G的坐标，设CE=x，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标；
②利用待定系数法求出OE所在直线的解析式，根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案；
（2）连接OB，OG，求出BC=，OC=OG=5，推出当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，从而计算．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可知，OG=OC=5，
由勾股定理得，GN=，
∴点G的坐标为（3，4）；
设CE=x，则EM=3-x，由折叠的性质可知：EG=CE=x，
∵GN=4，
∴GM=5-4=1，
在Rt△EMG中，，
即，
解得：x=，
∴点E的坐标为（，5）；
设OE所在直线的解析式为：y=kx，
则k=5，
解得，k=3，
∴OE所在直线的解析式为：y=3x，
∵直线l：y=mx+n平行于直线OE，
∴m=3，即直线l的解析式为y=3x+n，
当直线l经过点M（3，5）时，5=3×3+n，
解得，n=-4，
当直线l经过点A（5，0）时，0=3×5+n，
解得，n=-15，
∴直线l与长方形ABMN有公共点时，-15≤n≤-4；
（3）连接OB，OG，

∵OC=BC=5，∠OCB=90°，
∴BC=OC=，
∵点C关于直线OE的对称点为点G，
∴OC=OG=5，
∴BG≥OB-OG，
∴当O、B、G三点共线时，BG取得最小值，
∴BG的最小值为．
【点睛】
本题考查的是一次函数的知识、折叠的性质、最短路径问题，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤，得到O、B、G三点共线时，BG取得最小值是解题的关键．
8．如图，正方形边长cm，点在边上，且cm，点从点出发，以5cm/s的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以2cm/s的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化．

（1）当点运动到点时，求值及此时的面积．
（2）在整个运动过程中，求与的关系式．
【答案】（1）t=2，此时的面积=40；（2）见解析
【分析】
（1）先根据点的运动速度得出时间，再得出AM的长，再根据三角形的面积公式即可得出答案；
（2）分①当0＜t≤2时，②当2＜t≤3时，③当3＜t≤4时，④当4＜t≤6时，⑤当6＜t≤8时，五种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）∵当点运动到点时，cm，点的速度为5cm/s，
∴，
∵点的速度为2cm/s，
∴EM=2×2=4cm，
∴AM=AE+EM=4+4=8，
∴的面积=．
（2）∵当点运动到点时，两点都停止运动，
∴，
①当0＜t≤2时，AN=5t，AM=4+2t，
的面积=；
②当2＜t≤3时，AN=20-5t，AM=4+2t，
的面积=；
③当3＜t≤4时，AN=20-5t，的高为10cm，
的面积=；
④当4＜t≤6时，AN=5t-20，的高为10cm，
的面积=；
⑤当6＜t≤8时，AN=40-5t，的高为10cm，
的面积=；
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和三角形的面积计算，分类讨论的数学思想，确定点M、N所在的位置，是解决本题的关键．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．
（1）求证：；
（2）求经过、两点的一次函数表达式．如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及的面积；
（3）在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出点的坐标．

【答案】（1）证明见解析；（2），，2.5；（3）存在，，，．
【分析】
(1)由即可证明；
(2)由的面积的面积，即可求解；
(3)分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：，
∴，，
∴，
，
∴；
设直线解析式为，
把，代入上式得，
解得，
故直线的解析式为，
由得：，
设，而，
，
点在直线上，
把代入上式并解得，
，点，
的面积的面积
；
存在，理由：
设点P的坐标为，
而点C、D的坐标分别为、，
由点P、C、D的坐标得：，
，，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：，
当时，则，
解得：(舍去)或5，
故点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等和面积的计算等，其中(3)要注意分类求解，避免遗漏．
10．已知小明的家、体育场、文化宫在同一直线上，下面的图象反映的过程是：小明早上从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文化宫去看书画展览，然后散步回家，图中x表示时间（单位是分钟），y表示到小明家的距离（单位是千米）．
请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填表：
小明离开家的时间/
5
10
15
30
45
小明离家的距离/



1

（2）填空：
①小明在文化宫停留了________；
②小明从家到体育场的速度为________；
③小明从文化宫回家的平均速度为_________；
④当小明距家的距离为时，他离开家的时间为_______．
（3）当时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【答案】（1），1，0.5；（2）①25；②；③④9或42；（3）
【分析】
（1）由图可知，前15min小明离家的距离y与小明离开家的时间x成正比例函数，利用待定系数法解得该正比例函数，再依次代入x=10，x=15解题，从图中可知，当小明离开家的时间为45min时，小明离家的距离为0.5km，据此计算填表；
（2）①从图中可知，小明离家为45min时，到达文化馆，小明离家时间为70min时，离开文化馆，将二者时间相减即可解题；②从图中可知，小明离家时间为15min时，到达1km的体育馆，根据速度公式解题；③从图中可知，小明离家时间为70min时，离开距家0.5km的文化馆，小明离家时间为100min时，根据速度公式解题；④从图中可知，小明距家的距离有两次为,分别在0min到15min和30min到45min之间，满足
令，解得他离开家的时间为9min，由图可知，在30min到45min之间小明离家的距离y与小明离开家的时间x成一次函数，利用待定系数法解得此函数，再计算当时，x 的值即可解题；
（3）由（1）（2）中的解析式解题．
【详解】
解：（1）由图可知，前15min小明离家的距离y与小明离开家的时间x成正比例函数，
设小明离家的距离y与小明离开家的时间x的关系式为：
把代入得，

当x=10时，，
当x=15时，，
从图中可知，当小明离开家的时间为45min时，小明离家的距离为0.5km，
故答案为：；1；0.5；
（2）①从图中可知，小明离家为45min时，到达文化馆，小明离家时间为70min时，离开文化馆，故小明在文化馆停留了：70-45=25min；
②从图中可知，小明离家时间为15min时，到达1km的体育馆，则速度为：；
③从图中可知，小明离家时间为70min时，离开距家0.5km的文化馆，小明离家时间为100min时，回到家中，则速度为：；
④从图中可知，小明距家的距离有两次为,分别在0min到15min和30min到45min之间，满足
当时，即，
，
则小明第一次距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为9min，
由图可知，在30min到45min之间小明离家的距离y与小明离开家的时间x成一次函数，
则设小明离家的距离y与小明离开家的时间x的函数关系式为：
将代入得，



则当时，即

则小明第二次距家的距离为0.6km时，他离开家的时间为42min，
故答案为：①25；②；③④9或42；
（3）由图可知，在15min到30min之间小明离家的距离不变1km,
由（1）（2）和知，
当时，
．
【点睛】
本题考查函数的图象与性质、待定系数法解一次函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．2020年江苏开通了多条省内高铁，其中一条可以从南京——镇江——扬州——淮安的高铁线路如图①所示，本线路高铁最高速度不超过每分钟5千米．现有甲、乙两车按以下方式营运，甲车从南京匀速行驶去淮安，在镇江和扬州两站都停靠5分钟；乙车从南京匀速行驶直达淮安，乙车比甲车晚出发20分钟．设甲车出发x分钟后行驶的路程为y1千米，图②中的折线O—A—B—C—D—E表示在整个行驶过程中y1与x的函数图像．
（1）甲车速度为 千米/分；
（2）若乙车行驶1小时到达淮安，则乙车出发多久后与甲车相遇？
（3）若乙车行驶的过程中不得与甲车在镇江站与扬州站的站台内相遇，并要在甲之前到达淮安，则乙车速度v乙的范围为 ．

【答案】（1）3；（2）乙车出发30分钟后与甲相遇；（3）＜v乙＜5或＜v乙＜
【分析】
（1）根据线段OA段然后利用速度=路程÷时间求解即可；
（2）首先求出乙车的速度，然后表示出乙车行驶的路程，然后根据甲乙的路程相等即可求出时间；
（3）分别求出三种临界状态：①甲、乙两车在镇江站之前相遇；②甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小；③甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，然后即可得出乙车的速度的范围．
【详解】
解：（1）根据线段OA段，30分钟行驶了90千米，
∴甲车的速度为千米/分；
（2）∵乙车行驶1小时到达淮安，
∴乙车的速度为千米/分，
∴y乙＝4.5（x－20），
yBC＝90+3（x－35），
当y乙＝yBC 时，4.5（x－20）＝90+3（x－35）
解得：x＝50，
50－20＝30．
所以，乙车出发30分钟后与甲相遇．
（3）①甲、乙两车在镇江站之前相遇，则恰好到镇江站时速度最小，则
v乙，
由题意得v乙，故不符合题意；
②甲、乙两车在镇江站和扬州站之间相遇，则恰好离开镇江站时速度最大，到达扬州站时速度最小，则
v乙，
即v乙，
∵v乙，
∴v乙
③甲、乙两车在扬州站和镇江扬州站之间相遇，则恰好离开扬州站时速度最大，到达镇江站时速度最小，则
v乙，
即v乙，
综上所述，＜v乙＜5或＜v乙＜．
【点睛】
本题主要考查一次函数与行程问题，利用方程的思想解题是关键．
12．问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；
问题探究
（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；
解决问题
（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）图见解析，；（2）S△AOM＝S△BON，理由见解析；（3）存在，
【分析】
（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；
（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；
（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．
【详解】
（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝，
∵点D为BC的中点，
∴AD＝BC＝．
（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：
由图可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，
如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，

∴MD∥NE，∠MDE＝90°，
又∵MN∥DE，
∴四边形MDEN是矩形，
∴MD＝NE，
∵S△ABM＝，S△ABN＝，
∴S△ABM＝S△ABN，
∴S△AOM＝S△BON．
（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．
如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，连接BF，交OA于点G，

由（2）的结论可知，S△OBG＝S△AFG，
∴S四边形OACB＝S△BCF，
取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．
∵A(4,0)，B(0,4)，C(6,6)，
∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，
线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，
∵OF∥AB，且直线OF过原点，
∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，
联立，解得，
∴F（3，﹣3），
∵点P是CF的中点，
∴P，
∴直线BP的表达式为：y＝x+4．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理、三角形一边上的中线的性质以及待定系数法求一次函数解析式等内容，作出辅助线并进行面积转化是解决本题第三问的关键．
13．某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册．该纪念册每册需要10张纸，其中4张彩色页，6张黑白页．印刷该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为2200元，印刷费与印数的关系见表．
印数a（千册）


彩色（元/张）
2.1
2
黑白（元/张）
0.8
0.5
（1）若印制2千册，则共需多少元？
（2）该校先印制了x千册纪念册，后发现统计失误，补印了y（）千册纪念册，且补印时无需再次缴纳制版费，学校发现补印的单册造价便宜了，但两次缴纳费用恰好相同．
①用含x的代数式表示y．
②若该校没有统计错误，一次性打印全部纪念册，最少需要多少钱？
【答案】（1）28600元；（2）①；②101200元．
【分析】
（1）先根据印制的册数确定彩色页和黑白页的单价，然后计算出彩色页和黑白页的总页数，最后计算需要的钱数即可得到答案．
（2）①分和两种情况进行讨论，根据两次缴纳的费用相同列等量关系即可得到答案；②先算出总册数，然后算出相应的彩色页和黑白页的单价和页数，最后进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵印制的册数为2千册，
∴彩色页的单价为2.1元每张，彩色页的页数=2000×4=8000页，黑白页的单价为0.8元每张，黑白页的页数=2000×6=12000页，
∴需要的费用=2200+2.1×8000+0.8×12000=28600（元），
故一共需要28600元；
（2）①第一种情况当时，
，
，即，
∵，
∴即；
第二种情况当时，
，
即，
∴，
②设两次一共需要印刷的册数为m，需要的钱数为W，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，
故当，时所需要的的钱数最少为101200元．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与实际问题的应用，解题的关键在于分类讨论各种情况进行分析求解．
14．太湖龙之梦动物世界车行区全程总长7200米，某一时刻一辆私家车和一辆观光车同时驶入车行区，行驶过程中均为匀速行驶，私家车在最后一站骆驼观赏区停车投喂后快速离开．如图，已知在平面直角坐标系中，线段和折线分别为观光车，私家车行驶的路程（米）和行驶时间（分）的函数关系的图象．请结合图象解答下列问题：

（1）私家车在骆驼观赏区停车投喂_______分钟，两车出发后______分首次相遇；
（2）规定：车行区观赏途中，不可停车观赏，以免发生意外．当观光车和私家车进人车行区18分钟后，工作人员从终点处开始步行往回巡逻，若能在私家车停车观赏期间加以制止，则工作人员的速度至少为多少？
（3）两车出发多少分钟时，正好相距600米？
【答案】（1）13，；（2）米/分；（3）分或或分或分
【分析】
（1）根据函数图像我们可以判断出BC段即为私家车停车投喂时间，然后利用A点坐标求出，最后根据对应的坐标求解即可；
（2）由图像可知工作人员与私家车停车位置的距离为1200米，不行时间应该是从第18分钟到第38分钟，故根据路程=时间×速度，计算即可；
（3）可以根据（1）中计算的相遇点，进行分类讨论：在前25分钟为一类，25分钟到位一类，到终点为一类进行讨论求解．
【详解】
解：（1）函数图像我们可以判断出BC段即为私家车停车投喂时间
∴投喂时间=38-25=13分钟
设，其经过点A（40，7200）
∴，解得
又∵两车相遇在BC段
∴D点的纵坐标为6000
∴，解得
∴两车在分钟首次相遇
（2）私家车停车时间为，设速度为米/分，
则，解得：米/分．
（3）根据函数图像可以求出下列函数的函数解析式分别为：．
①，解得：；
②，解得：；
③，解得：；
④，解得：；
综上所出发10或 或或两车相距600米．
【定睛】
本题主要考查了一次函数图像性质和分段函数，解题的关键在于分类讨论进行分析求解．
15．如图1，同一直线上依次有，，三个车站，且，间的距离为千米，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向行驶，甲车小时可到达图中站，乙车需小时到达站，乙车的速度是甲车的，甲、两车距站的距离与他们行驶的时间（小时）之间的函数关系如图2所示．

（1）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（2）求点，，，四点的坐标，并说明，的坐标表示的实际意义；
（3）若点的坐标是，请说明它表示的实际意义．
【答案】（1）甲车速度是千米/时，乙车速度是千米/时；（2），，，；表示站与站的距离是千米，表示站与站的距离是千米；（3）表示两车出发小时后，在段距站千米的地方相遇．
【分析】
根据题意列出有关v的一元一次方程,即可求得甲、乙两车速度．
求出甲车的速度进而求得，，，点的坐标,根据y轴表示甲、两车距站的距离，x轴表示他们行驶的时间说明它们的实际意义．
(3)两函数的图象相交，说明两辆车相遇．
【详解】
解：（1）设甲车的速度是千米/时，则乙车的速度是千米/时
则
解得：，故
答：甲车速度是千米/时，乙车速度是千米/时．
（2）甲车小时可从站到站，
乙车小时可以从站到站，
，，，
表示站与站的距离是千米，表示站与站的距离是千米．
（3）表示两车出发小时后，在段距站千米的地方相遇．
【点睛】
本题考查一次函数图像的识别和实际应用．正确理解函数图像上特殊点的含义是重点，也是解题的关键．图像与数学语言的转换时学习函数的重点也是难点．