2021-2022学年福建省华安县第一中学高二下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省华安县第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知复数，，，

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，所以，选B.

2．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）

A．8 B．24 C．48 D．120

【答案】C

【详解】解：由题意知本题需要分步计数，

2和4排在末位时，共有种排法，

其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，

根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．

故选：C．

3．若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】赋值法解决即可.

【详解】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为，

所以，解得，

故选：D

4．设复数，满足，且，则可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数模长的性质，以及共轭复数模长相等，求出，逐个验证选项，即可得出结论.

【详解】,

又，

所以，

，故A选项错误；

，故B选项错误；

，故C选项正确；

，故D选项错误.

故选：C.

5．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为

A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88

【答案】D

【详解】由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.

∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.

【解析】相互独立事件的概率.

6．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

7．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据散点图据曲线形状判断．

【详解】，，

A中是常数，B中是增函数，C中是减函数，D中是减函数，

散点图所有点所在曲线的切线的斜率随的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随的增大而减小，只有B满足．

故选：B．

8．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据概率公式计算即可．

【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有种，

其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，

∴这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p

故选D

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题．

二、多选题

9．在二项式的展开式中，有（　　）

A．含x的项 B．含的项

C．含x4的项 D．含的项

【答案】ABC

【分析】利用二项展开式的通项，结合所给的选项即可得出答案．

【详解】二项式的展开式的通项为，

当时，，知A正确；

当时，，知B正确；

当时，，知C正确；

当时，，知D错误．

故选：ABC．

10．下列命题正确的是（    ）

A．复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数

B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数

C．复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)

D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，y∈R)，则x＋y＝1

【答案】BC

【分析】A.根据共轭复数的定义，举例判断；B.根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；C.分别判断充分和必要条件；D.利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得的值.

【详解】A.模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；

B.设， ，若是虚数，，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；

C.设，，若，则，所以复数是实数，若是实数，则 则，所以C正确；

D.由条件可知，，，若(x，y∈R)，

则，

所以 ，解得：，

所以，故D不正确.

故选：BC

【点睛】本题考查复数的定义和相关概念，属于基础题型，本题的关键是正确理解复数的有关概念.

11．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则下列说法正确的有（    ）

A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4

C．P(ξ≥1)＝0.46 D．P(ξ＝0)＝0.66

【答案】BD

【解析】根据二项分布期望方差的性质即可计算判断.

【详解】由，

由ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知

，所以，故B正确．

又，，故D正确．

故选：BD.

12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．事件与事件B不相互独立 D．

【答案】BCD

【分析】计算，A错误；计算条件概率得到BD正确；根据事件的独立性判断C正确，得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，正确；

对选项C：，，，，正确；

对选项D：，，正确；

故选：BCD

三、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，且，则______.

【答案】

【分析】利用正态曲线的对称性求解即可.

【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴随机变量的正态曲线关于直线对称，

又∵，

∴，

∴.

故答案为：.

14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.

【答案】.

【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况，

若选出的2名学生都是女生，有种情况，

所以所求的概率为.

【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.

15．英国数学家泰勒(1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世，由泰勒公式，我们得到(其中e为自然对数的底数，)，其拉格朗日余项是可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项不超过时，正整数n的最小值是_____

【答案】6

【分析】根据题意建立不等式，利用验证的方式求解即可．

【详解】依题意得，即，，，所以的最小值是6．

故答案为：6

四、双空题

16．已知个男生，个女生站成一排，如果个女生必须排在一起有____（用数字作答）种不同的排法；如果甲乙人之间恰好有个人，有_____（用数字作答）种不同的排法.

【答案】         

【分析】（1）将个女生捆绑为一个元素，再与其余男生进行全排列即可；

（2）先排列甲乙，再排列甲乙之间的人，将这人捆绑为个元素，与另外人全排列即可.

【详解】（1）要完成个女生排在一起，可以分个步骤：

第步，将个女生全排列，并捆绑为个元素，有种方法；

第步，将女生整体的个元素与男生人共个元素全排列，有种方法.

根据分步乘法计数原理，个女生排在一起共有种方法.

（2）要完成甲乙人之间恰好有个人，可以分个步骤：

第步，甲乙人全排列，有种方法；

第步，其余人中，选出人，在甲乙人之间排列，有种方法；

第步，将甲乙人及之间的人捆绑为个元素，与另外人共个元素全排列，有种方法.

根据分步乘法计数原理，甲乙人之间恰好有个人，共有种方法.

故答案为：，.

五、解答题

17．在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即，已知满分为150分．

（1）试求考试成绩位于区间内的概率；

（2）若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格（不小于90分）的人数．

①；

②；

③．

【答案】（1）0.9544；（2）1683人.

【分析】（1）根据考生的成绩，得到正态曲线关于对称，根据原则知；

（2），再根据对称性得到结果．

【详解】解：（1）考生的成绩服从正态分布，即，

正态曲线关于对称，且标准差为10，

根据原则知，

（2），

考试成绩位于区间上的概率为0.683，

则考试成绩在90分以上的概率是

估计这次考试及格（不小于90分）的人数为人．

18．随着手机的日益普及，学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对我校80名学生调查得到部分统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍.

（1）求表中，的值，并补全表中所缺数据；

（2）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？

参考数据：，其中.

【答案】（1），表格答案见解析；（2）有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

【分析】（1）由题意可得从而可求出的值，进而可填出列联表；

（2）直接利用公式求解，然后根据临界值表得结论

【详解】解：（1）由己知得解得

补全表中所缺数据如下：

（2）根据题意计算观测值为，

所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响.

19．已知在的展开式中第6项为常数项．

（1）求展开式中所有项的二项式系数之和；

（2）求展开式中所有项的系数之和；

（3）求展开式中共有多少个有理项．

【答案】（1）1024；（2）；（3）3个.

【分析】（1）结合二项式展开式中第项为常数求得，由此求得展开式中所有项的二项式系数之和.

（2）利用赋值法求得展开式中所有项的系数之和.

（3）结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中共有个有理项.

【详解】（1）已知在的展开式中第6项为常数项，故为常数，．

展开式中所有项的二项式系数之和为．

（2）令，可得展开式中所有项的系数之和为．

（3）展开式的通项公式为，

故当，5，8 时，展开式为有理项，故展开式中共有3个有理项．

20．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.

(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；

(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】(1)先求两种新产品研发均失败的概率即可.

(2)分四种情况分别讨论求解即可.

【详解】记E＝{甲组研发新产品成功},F＝{乙组研发新产品成功},

由题设知P(E)＝,,P(F)＝,,且事件E与F,E与,与F,

与都相互独立.

(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功},则,

于是,

故所求的概率为P(H)＝1－＝.

(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,

因为P(X＝0)＝P(),P(X＝100)＝P(),

P(X＝120)＝P(),

P(X＝220)＝P(EF) .

故所求的分布列为

【点睛】本题主要考查了概率与分布列的一般方法,包括求对立事件概率与分情况讨论的方法等.属于中等题型.

21．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

(3)从该流水线上任取10件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的数学期望和方差.

【答案】(1)12件

(2)分布列见解析

(3)，

【分析】（1）结合频率分布直方图求解(1)；

（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；

（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．

【详解】（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，

所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).

（2）重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成10次独立重复试验，，，

22．某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．

方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．

方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．

（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．

（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．

【答案】（1）；（2）选择方案一更划算．

【分析】（1）由题意，根据独立事件概率求法，求享受到6折优惠的概率，结合二项分布求小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率；

（2）由题设知：方案一，付款金额可能取值为360，480，600，进而求各种可能取值的概率，并写出分布列，进而求期望；根据二项分布求方案二的期望，比较期望的大小，进而选择方案.

【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则．

∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为．

（2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为360，480，600．

则，，．

故的分布列为

∴（元）．

若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．

由已知，可得，故，

∴（元）．

由上知：，故小勇选择方案一更划算．

【点睛】关键点点睛：

（1）应用独立事件、二项分布求概率；

（2）由可能情况求分布列，并计算期望，应用二项分布求期望，比较期望的大小判断哪种方案划算.