2021-2022学年福建省龙岩市上杭县第二中学高二下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市上杭县第二中学高二下学期3月月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省龙岩市上杭县第二中学高二3月月考数学试题一、单选题1．设，向量，，，且，，则（       ）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得的值，得到向量，进而求得，得到答案.【详解】由题意，向量，，，因为，可得，解得，即，又因为，可得，解得，即，可得，所以.故选：C.2．函数的最小值是（       ）A． B．1 C．0 D．不存在【答案】A【解析】先求出函数的定义域和导数，判断出单调性，即可求出最小值．【详解】函数的定义域为，，所以函数在上递减，在上递增，故．故选：A．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，属于基础题．3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（       ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】第一名同学没有抽到中奖券后剩下3张奖券，1张能中奖，由题意可得中奖概率和抽取顺序无关，故直接可得概率【详解】因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，又中奖概率和抽取顺序无关，故最后一名同学抽到中奖券的概率是．故选：B4．已知函数的导函数为，且满足，则为A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数求导，即可得出.【详解】，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题.5．已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有，因此，，，于是得，则当时，，此时，点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C6．函数在处取得极值，则（       ）A．，且为极大值点 B．，且为极小值点C．，且为极大值点 D．，且为极小值点【答案】B【分析】先求导，再根据题意得，由此求得，再根据导数研究函数的极值．【详解】解：∵，∴，又在处取得极值，∴，得，∴，由得，，即，∴，即，同理，由得，，∴在处附近的左侧为负，右侧为正，∴函数在处取得极小值，故选：B．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性与极值，属于基础题．7．如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是BC中点，N是线段SA上的点，设MN与平面SAD所成角为，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的中点为，连接，然后证明为MN与平面SAD所成角,然后，然后求出的最小值即可【详解】设的中点为，连接因为，所以因为平面，所以，所以平面所以为MN与平面SAD所成角，即设，则，，的最小值为到的距离，等于所以的最大值为故选：A【点睛】本题考查的是线面角的知识，作出辅助线，找出线面角是解题的关键.8．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，先判断函数 为奇函数，再判断函数在区间，上单调递减，由，得，即可求出．【详解】令，，，为奇函数，为偶函数，为奇函数．，，有，，在区间，上单调递减，又为奇函数，在区间，上单调递减，当，，，，， ，故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（       ）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角【答案】ABC【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断．【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确；对于B，若对空间中任意一点O，有因为，根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确；对于C，由于是空间的一个基底，则向量不共面∵，则共面∴可得向量不共面，所以也是空间的一个基底，所以C正确；对于D，若，即，又，所以，所以D不正确．故选：ABC．10．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．是奇函数B．若，则是增函数C．当时，函数恰有三个零点D．当时，函数恰有两个极值点【答案】ABD【分析】对于A选项：利用函数奇偶性定义可直接判断；对于B选项：逐步求导，判断导函数的正负情况可依次得原函数的单调性；对于C选项：利用B中得到的函数单调性可直接推翻结论；对于D选项：求导后判断导函数的变号零点的情况可得原函数的单调性，进而得到原函数极值点的情况.【详解】对于A选项： 的定义域为，且，故A正确．对于B选项：由条件可得，令,则，令，则所以在上单调递增，且所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增．则，当时，易知是增函数，故B正确．对于C选项：当时，由上可知， ，所以是增函数，故不可能有3个零点．故C错误．对于D选项：当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增．则，，所以存在，使得成立则在上，，在上，，在上，．所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以函数恰有两个极值点，故D正确．     故选：ABD.11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（       ）A．直线平面 B．C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为【答案】ABD【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正确；，，，设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；设平面的法向量为，则，即，取，则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；，故C错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.12．已知函数，下列选项正确的是（       ）A．函数在上单调递增B．函数的值域为C．若关于的方程有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是D．不等式在恰有两个整数解，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】对AB，根据导函数画出图象，分析单调性，值域；对C，由题或，只需有两个不等实根；对D，不等式在恰有两个整数解必为，，建立不等式组求解即可.【详解】对AB：，故得到函数图象如图所示，易知A正确，B错误；对D：不等式在恰有两个整数解，如图，必为，，故，解得，故D对；对C：如图为函数的图象，则或，因为方程有3个不相等的实数根，所以只需有两个不等实根，故，故C正确.故选：ACD.【点睛】本题考查用导数研究函数的思路，以及方程有实根、整数解问题等，关键点在于能够将问题简化，从本质入手进行分析.三、填空题13．两个人通过某项专业测试的概率分别为，，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．【答案】【分析】根据相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：依题意二人均通过的概率为，∴至多有一人通过的概率为；故答案为：14．若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k=_______．【答案】﹣1【详解】解：由题意得，y′=k+，∵在点（1，k）处的切线平行于x轴，∴k+1=0，得k=﹣1，故答案为﹣1．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．15．长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为________【答案】【分析】利用坐标法，利用向量共线及垂直的坐标表示可求，即求.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，因为点与三点共线且，，设，即，∴，∴，∴，即，∴点到平面的距离为.故答案为：.16．已知函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围_________．【答案】【分析】等价于有两不等实根，则与有两不同交点，再利用导数求出函数的单调区间即得解.【详解】解：由得，因为函数有两个不同的极值点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与有两不同交点，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，即，所以单调递增；当时，，即，所以单调递减；所以，又时，，所以当时，；时，，所以为使与有两不同交点，只需．        故答案为：四、解答题17．已知（）在时有极值0.（1）求常数，的值；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件可知，，求解，再验证；（2）利用导数先求函数的单调区间，再判断的最值.【详解】（1）（）可得，由题时有极值0.可得：即解得：（舍去）或，经验证成立；（2）由（1）可知，，，     增 减 增  所以函数在和递增，递减.且，，，，可得值域为.18．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，     AB=3，BC=5.（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（3）求点C到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA1C1C. (2)利用空间向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C到平面的距离.试题解析：证明：（1）因为为正方形，所以.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C，所以⊥平面ABC. （2）由（1）知，⊥AC, ⊥AB.由题意知，所以.如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.设平面的法向量为，则即令，则，所以.同理可得，平面的法向量为.所以.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. （3）由（2）知平面的法向量为，所以点C到平面距离.点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.19．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是(2)【分析】（1）求导分析导函数的正负区间即可；（2）参变分离可得恒成立，再构造函数，求导分析最小值即可【详解】(1)的定义域为，．令，得，所以的单调递减区间是；令，得，所以的单调递增区间是．(2)不等式，即恒成立，即恒成立．令，则．当时，，所以在上单调递减．当时，，所以在上单调递增．所以时，函数取得最小值．因为恒成立，所以，即实数的取值范围是．20．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，则，，，则，解得，故；[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结．因为底面，且底面，所以．又因为，，所以平面．又平面，所以．从而．因为，所以．所以，于是．所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法     如图，联结交于点N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因为M为的中点，则，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面的法向量为，则，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值为.[方法二]：构造长方体法+等体积法   如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．联结，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角．易证四边形是边长为的正方形，联结，．，由等积法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值为．【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.21．如图，已知ABCD为正方形，平面ABCD，且，且，.（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当平面BEF时，求线段MN的最小值.【答案】（1），（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；（2）设，即可表示出，再根据平面，即可得到，即可得到与的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，设面的法向量为，则，令，则，，所以，而平面的法向量为设平面BEF与平面CDGF所成二面角为，显然二面角为锐角，所以（2）设，，依题意，则因为平面，所以所以又因为函数，对称轴为，且开口向上，所以函数在上单调递减，所以当时，，此时，所以线段MN的最小值为【点睛】本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．已知函数．(1)若函数在上的最小值为1，求实数a的取值范围；(2)若，讨论函数在上的零点个数.【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】(1)求导数，分情况判断导数正负，从而判断单调性和最小值即可；(2)根据(1)中单调性判断f(x)极值，根据极值即可判断零点个数.【详解】(1)，当时，，∴为单调递增函数，，符合题意；当时，在上，单调递减，在上，单调递增，∴，∵，故，与的最小值为1矛盾．故实数a的取值范围为．(2)由(1)可知，当时，在上，为单调递增函数，，此时函数的零点个数为0；当时，，令，则，函数单调递减，令，解得，∴当，，，，，，∴当时，，此时函数在上的零点个数为0；当时，，此时函数在上的零点个数为1；，，又，故在存在一个零点，，故在存在一个零点，此时函数在上的零点个数为2．综上，可得时，函数在上的零点个数为0；时，函数在上的零点个数为1；，函数在上的零点个数为2．【点睛】本题关键考察利用导数讨论函数的零点个数，关键是求出函数的单调性，根据单调性求出函数的最小值，再构造函数讨论最小值的正负，以此判断原函数零点的个数.