2021-2022学年甘肃省武威市古浪县第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
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这是一份2021-2022学年甘肃省武威市古浪县第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版),共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年甘肃省武威市古浪县第二中学高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题1.在中,角所对的边分别为,若,b=,,则( )A. B. C.或 D.【答案】B【解析】根据余弦定理表示出,把,和的值代入即可求出的值,由的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出的值.【详解】解:根据余弦定理得:,由,得到.故选:.【点睛】本题考查了余弦定理的运用和计算能力.属于基础题.2.命题“,”的否定是( )A., B.,C., D.,【答案】A【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解.【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得:命题“,”的否定是,.故选:A.3.双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程为:.故选:C4.设,则下列结论中正确的是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用特殊值排除错误选项,利用不等式的性质确定正确选项.【详解】对于A选项,,则,所以A选项错误.对于B选项,,则,所以B选项错误.对于C选项,,则,所以C选项错误.对应D选项,,所以,所以D选项正确.故选:D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质,属于基础题.5.已知等差数列前9项的和为27,,则A.100 B.99 C.98 D.97【答案】C【详解】试题分析:由已知,所以故选C.【解析】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.6.已知椭圆的左右焦点为,,是椭圆上的点,且,则( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】利用椭圆的定义,由即可求解.【详解】由椭圆,则,所以,所以.故选:D7.设,则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的概念,结合一元二次不等式的解法,即可得出结果.【详解】由得或,所以由“”可得到“”,但由“”得不到是“”;所以“”是“”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】结论点睛:判定命题的充分条件和必要条件时,一般可根据如下规则判断:(1)若是的必要不充分条件,则对应集合是对应集合的真子集;(2)是的充分不必要条件, 则对应集合是对应集合的真子集;(3)是的充分必要条件,则对应集合与对应集合相等;(4)是的既不充分又不必要条件, 对的集合与对应集合互不包含.8.在等比数列中,若,是方程的两根,则的值是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,可得a3•a7=2,a3+a7=﹣4,可得a3<0,a7<0,根据等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,可得a5<0.利用性质可得:a5=﹣.【详解】a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,∴a3•a7=2,a3+a7=﹣4,∴a3<0,a7<0,根据等比数列的性质可得:奇数项的符号相同,∴a5<0.∴a5=﹣=﹣.故选B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系,其中判断a5<0,是解题的关键,属于基础题.9.如图,空间四边形中,,,,且,,则等于( )A. B.C. D.【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示,用、和表示出即可.【详解】由题意知,故选:C.10.已知正实数,满足,则的最小值为( )A.32 B.34 C.36 D.38【答案】A【解析】由题中条件,得到,展开后,利用基本不等式,即可求出结果.【详解】由,且,得,当且仅当,即时,取等号,此时,则的最小值为32.故选:A.【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地.11.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=2,M、N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于( )A. B. C. D.【答案】D【分析】利用异面直线的定义找到两条异面直线所成的角,用余弦定理即可求解.【详解】作的中点,连接,作的中点,连接、,即为异面直线AM与CN所成的角,由已知条件得,则,,由余弦定理得,在△中,有余弦定理可知,即,解得,故选:D.12.过原点的直线与双曲线有两个交点,则直线的斜率的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】当斜率不存在时符合题意,当斜率存在时,设出直线方程,与双曲线联立,由判别式求解即可.【详解】由题设得双曲线的方程为,焦点在y轴上,当直线l斜率不存在时,显然与双曲线有两个交点,为 上下顶点;当斜率存在时,设过原点的直线方程为,与双曲方程联立得:因为直线与双曲线有2个交点,所以,得:,解得:或.故选:B. 二、填空题13.已知空间向量,,且,则_________.【答案】1【分析】由,可建立关于的方程,解出即可.【详解】因为,,且,所以,解得.故答案为:1.14.抛物线的焦点坐标为______________.【答案】##(0,-0.03125)【分析】写出抛物线标准形式,即可得焦点坐标.【详解】由题设得:,则焦点坐标为.故答案为:15.设,满足约束条件,则的最小值是__________.【答案】1【分析】先根据条件画出可行域,要使的最小值,即直线在轴上的截距最小,通过图象可知,直线经过可行域上的点时,截距最小.求出点坐标,即可得到.【详解】,满足约束条件的可行域如图阴影部分所示:把变形为,得到斜率为,在轴上截距为的一族平行直线.由图可以看出,当直线经过可行域上的点时,截距最小.解方程可得点的坐标为..故答案为:1.16.有下列四个命题:①“若,则,互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若,则有实根”的逆命题;④“等边三角形的三个内角相等”的逆否命题;其中真命题的序号是___________.【答案】①③④【分析】①写出“若,则,互为相反数”的逆命题,再判断其真假即可;②写出“全等三角形的面积相等”的否命题,再判断其真假即可;③写出“若,则有实根”的逆命题,再分析、判断其真假即可;④利用原命题与其逆否命题的真假性一致,可判断原命题的真假,从而得其逆否命题的真假.【详解】①“若,则,互为相反数”的逆命题为“若,互为相反数,则”,正确,故①正确;②“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”,错误,故②错误;③有实根,,解得:,“若,则有实根”的逆命题“若有实根,则”正确,故③正确;④等边三角形的三个内角相等,原命题正确,原命题与其逆否命题的真假性一致,其逆否命题也正确,故④正确;综上所述,真命题的序号是①③④.故答案为:①③④. 三、解答题17.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)若Sn=242,求n.【答案】(1)an=2n+10;(2)n=11.【分析】(1)根据a10=30,a20=50,利用“a1,d”法求解;.(2)由Sn=242,利用等差数列前n项和求解.【详解】(1)因为a10=30,a20=50,所以解得a1=12,d=2.∴an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得12n+×2=242.解得n=11或n=-22(舍去).18.设锐角的内角、、的对边分别为、、,(1)确定角大小;(2)若,的面积为,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)根据,利用正弦定理得到求解.(2)根据的面积为,求得,然后再利用余弦定理求解.【详解】(1)因为,所以,因为,所以,因为,所以.(2)因为的面积为,所以,所以,所以,解得,所以.【点睛】方法点睛:在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.19.若抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于,两点.(1)求抛物线的方程;(2)求.【答案】(1)(2)20 【分析】(1)根据题意可知,,即可抛物线的方程;(2)首先求得直线的方程,代入抛物线方程,利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式,即可求得.【详解】(1)由抛物线焦点为,所以,,所以抛物线的方程:;(2)由题意可知,直线的方程为:,设,,联立方程组,消去,整理得,则,由抛物线的焦点弦公式,所以的值为20.20.已知命题;命题.(1)若,“或”为真命题,“且”为假命题,求实数的取值范围.(2)若是的充分条件,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)分别求出是真命题和是真命题时的取值范围,在根据、一真一假讨论即可;(2)题目中给的条件等价于是的充分条件,设命题的解集分别为集合,根据即可求得的取值范围.【详解】由得 ,,设(1)时,由已知可知与一真一假若为真命题,为假命题,则,所以若假命题,为真命题,则,则,综上:(2)根据题意知:是的充分条件,是的充分条件,即,解得,所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查了由符合命题的真假性求参数的取值范围,属于基础题.21.如图,在直三棱柱中,,,,点,分别在棱,上,且,,为棱的中点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)以为原点,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向建系,可得点、、、的坐标,进而可得、的坐标,利用数量积公式,即可得证;(2)求得的坐标和平面的法向量,利用线面角的夹角公式,即可求得结果.【详解】(1)证明:依题意,以为原点,分别以,,的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,可得,,,,,,,,,依题意,,,所以,所以;(2)由(1)知,,设为平面的法向量,则,即,不妨设,可得,又,设与平面所成角为,所以,直线与平面所成角的正弦值为.22.设椭圆经过点,且离心率等于.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线交椭圆于两点,且满足,试判断直线是否过定点,若过定点求出点坐标,若不过定点请说明理由.【答案】(1)(2) 【分析】(1)将点代入椭圆标准方程,结合列方程组,解这个方程组求得,椭圆方程为;(2)设直线的方程为,联立椭圆方程,写出韦达定理,利用,解得,此直线过定点.【详解】(1)椭圆经过点,且离心率等于,,,,,椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,,,联立椭圆方程得,,.,由,得,即,代入得(舍去),,直线的方程为,所以过定点.
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