2021-2022学年黑龙江省绥化市望奎县第一中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年黑龙江省绥化市望奎县第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知等差数列中，，那么=

A．390 B．195 C．180 D．120

【答案】B

【详解】试题分析：由等差数列性质：和,原式可以化简：

,故选B.

【解析】（1）等差数列性质；（2）等差数列求和.

2．双曲线的渐近线方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由双曲线的方程，可直接得出渐近线方程.

【详解】因为双曲线的方程为，

由得即为所求渐近线方程.

故选B

【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型.

3．已知经过，两点的直线AB与直线l垂直，则直线l的倾斜角是

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】B

【分析】首先求直线的斜率，再根据两直线垂直，求直线的斜率，以及倾斜角.

【详解】，

，

，

直线l的倾斜角是.

故选B.

【点睛】本题考查了两直线垂直的关系，以及倾斜角和斜率的基本问题，属于简单题型.

4．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（    ）

A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．

【答案】D

【分析】结合抛物线的知识确定正确答案.

【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.

故选：D

5．已知直线，若此直线在轴，轴的截距的和取得最小时，则直线的方程为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】求出截距，得到，然后利用均值不等式的性质求解即可

【详解】令，令，又由，

当且仅当时，等号成立，此时，，则直线的方程为

答案选D

【点睛】本题考查基本不等式问题，属于基础题

6．已知三个数，，成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得值，然后分类讨论求得圆锥曲线的离心率解决即可．

【解答】因为三个数，，成等比数列，

所以，则．

当时，曲线方程为，表示椭圆，

则长半轴长为，半焦距为，

所以离心率为；

当时，曲线方程为，表示双曲线，

则实半轴长为，半焦距为，

所以离心率为．

故选：D

7．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2，

设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得，

解得d=0，即

直线ax﹣by+2=0经过圆心，

∴﹣a﹣2b+2=0，

∴a+b=1，

∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立，

故式子的最小值为+.

故选C．

8．在等比数列中，若，，且前项和，则数列的项数等于

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据等比数列的前项和公式，通项公式列方程组解得首项、公比与项数，即可判断选择.

【详解】在等比数列中，易得，又，两式联立解得或．

当时，，解得，

又，所以，解得．

同理当时，由，解得，

由，解得．

综上，正整数，故选B．

【点睛】等比数列的前项和公式为，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分和进行讨论．

9．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由已知可得又

是直角三角形,故选B．

【解析】双曲线标准方程及其性质．

10．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，

由得或

所以，故答案为C．

【解析】1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．

11．若直线与：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ）

A．至多为 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据直线与圆没有交点，由点线距离出不等式化简得，则在内，结合椭圆的几何性质可知也在椭圆内，故交点个数为2.

【详解】由题意得，圆心到直线的距离，即，

则点在圆内，

由椭圆几何性质知点也在椭圆内，

∴与椭圆的交点个数为.

故选：B

12．正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(    )

A．60° B．45° C．30° D．75°

【答案】C

【分析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．

【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，

设OD=SO=OA=OB=OC=a，

则，

则，，,

设平面PAC的一个法向量为，

则即，令，则，所以，

∴，

设直线BC与平面PAC的夹角为，

∴直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，

∴直线BC与平面PAC的夹角为

故选：C

二、填空题

13．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．

【答案】

【分析】先化成椭圆标准形式，再根据方程列等量关系，解得结果.

【详解】

因为椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，

所以

故答案为:

【点睛】本题考查椭圆标准方程形式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．两条平行直线与间的距离是_______.

【答案】

【分析】根据两直线与平行，由 解得a，然后再利用平行线间的距离公式求解.

【详解】因为两直线与平行，

所以 解得，

又直线可化为直线，

所以直线与直线间的距离为：

，

故答案为：

【点睛】本题主要考查两直线的位置关系以及两平行间的距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

15．过点作与圆相切的直线，则直线的方程为______．

【答案】或

【分析】按直线斜率存在与斜率不存在两种情况进行分类讨论，利用待定系数法，通过圆心到直线的距离等于半径求解斜率，进而求出切线方程.

【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径为，

若直线的斜率不存在，其方程为，与圆相切，符合题意，

若直线的斜率存在，设其斜率为，则直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则有，解可得，

此时直线的方程为，

综上可得，直线的方程为或，

故答案为：或．

16．已知数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，则a11＝____．

【答案】﹣4

【分析】根据等差数列首项和第3项的值得到公差，进而得到第11项，从而求解a11的值.

【详解】因为数列{an}中，a3＝2，a1＝1，且数列是等差数列，

所以数列的公差d，

所以（11﹣1）×（），

则a11＝﹣4．

故答案为：﹣4．

三、解答题

17．直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于，试求和的值．

【答案】或．

【分析】利用斜率和倾斜角的关系得到，再利用三角形的面积公式求出，求解即可．

【详解】解：设直线的倾斜角为，则，

直线的倾斜角是，

，即，

令，则，

令，则，

直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于，

，即 ，

由解得或．

18．已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【答案】x-y-4=0或x-y+1="0. "

【详解】试题分析：假设存在，并设出直线方程y＝x＋b，然后代入圆的方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到根的关系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到参数b的方程求解即可．

试题解析：

设直线l的方程为y＝x＋b①

圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②

联立①②消去y，得

2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有③

因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，

而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，

把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，

即b2＋3b－4＝0， 解得b＝1或b＝－4，

故直线l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．

【解析】存在性问题．

【方法点睛】存在性问题，首先应假设存在，然后去求解．对本题来说具体是：设出直线方程y＝x＋b，然后分析几何性质得到OA⊥OB即得到关于参数b的方程求解即可．解该类问题最容易出错的的地方是，忽视对参数范围的考虑，即直线方程与圆的方程联立求解后应得到，即求出的b值必须满足b的范围，否则无解．

19．已知等差数列满足，，的前项和为.

（1）求及；

（2）令，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据等差数列的通项公式及已知条件，，解方程组可得，，进而可得等差数列的通项公式，再利用等差数列的前项和公式可得；

（2）将数列的通项公式代入可得的通项公式，利用错位相减法求和可得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

由于，，所以，，

解得，，

所以，；

（2）因为，所以，

故，

，

两式相减得

，

所以.

【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.

20．已知数列前n项和为，满足．

（I）证明：是等比数列，并求的通项公式；

（Ⅱ）数列满足，为数列的前n项和，若对正整数a都成立，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.

【分析】（I）利用及配凑法可得，从而可得是等比数列，据此可求的通项公式；

（Ⅱ）利用裂项相消法可求，利用不等式的性质可求a的取值范围．

【详解】（Ⅰ） ，故，

由题设可得，

故即，而，故，

所以，是等比数列且首项为4，公比为2，

故即，故.

（Ⅱ）因为,

故，

所以，

故．

21．如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．

（1）求证：

（2）若，求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析  （2）

【分析】（1）先证明，即可证明；

（2）利用空间向量的运算，先建立空间直角坐标系，再利用空间向量的夹角公式运算即可得解.

【详解】解：（1）由图1可知，四边形为菱形，

则，

则在图（2）中，，

所以，

又，

所以，

又

 故；

（2）因为，所以，

设AB=,则,

又 所以

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，,，

则 ,

则面的法向量为，

设面的法向量为，

 则 ,则，

令,则,

则，

 所以cos===,

又由图可知二面角为钝二面角，

故二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查了线线垂直的判定及利用空间向量求二面角的平面角的大小，属中档题.

22．已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点.

（1）若直线的倾斜角为，求的值；

（2）设直线交直线于点，证明：直线.

【答案】（1）;（2）详见解析.

【详解】试题分析：（1）设，根据图形可知，直线的方程为，代入椭圆方程得到根与系数的关系，，这样可求得三角形的面积；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再根据三点共线，那么,得到坐标间的关系，若，即说明.

试题解析：由题意，知，

（1）∵直线的倾斜角为，∴．

∴直线的方程为．

代入椭圆方程，可得．

设．∴．

∴．

（2）设直线的方程为．

代入椭圆方程，得．

设，则．

设，∵三点共线，

∴有，∴．

而

．

∴直线轴，即

【解析】直线与椭圆的位置关系