2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（    ）

A．左边增加的项为 B．左边增加的项为

C．右边增加的项为 D．右边增加的项为

【答案】D

【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1 时，等式的左边，比较可得所求．

【详解】当n＝k时，等式的左边为，

当n＝k+1 时，等式的左边为，

故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．

故选：D．

2．已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由正态密度曲线的对称性逐一分析四个选项即可得答案.

【详解】解：由正态分布的正态密度曲线关于直线对称，

对A：由对称性可得图中阴影部分可表示为，故选项A不符合题意；

对B：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项B不符合题意；

对C：由对称性可得，故选项C符合题意；

对D：由对称性可得，所以图中阴影部分可表示为，故选项D不符合题意.

故选：C.

3．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的计算公式求解即可

【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，

则，

所以.

故选：C

4．已知函数有两个零点，对于下列结论：①；②；则（    ）

A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对

【答案】C

【分析】函数有两个零点，则有两个根，即，设，利用导数法研究即可

【详解】因为函数有两个零点，

所以有两个根，即，

设，，

当时，解得，函数单调递增；

当时，解得，函数单调递减，

，

当趋向于正无穷时，趋向于0，当趋向于0时，趋向于负无穷，

所以当时，与有两个交点，故①正确；

由此可知，

因为，

若，即.

即证，

当趋向于正无穷时，不成立，故②不正确.

故选：C

二、填空题

5．抛物线的准线方程是_______

【答案】

【分析】根据抛物线的标准方程形式求出，再根据开口方向，写出其准线方程.

【详解】对于抛物线，，，

又抛物线开口向右，准线方程为.

故答案为：.

6．方程的解集是______.

【答案】

【分析】由组合数的性质求解即可

【详解】因为，

所以或，

解得或，

所以方程的解集是，

故答案为：

7．的展开式中常数项是______.

【答案】15

【分析】由二项式定理求出通项公式，得到，从而求出常数项.

【详解】的展开式的通项公式为：，

令，解得：，

故.

故答案为：15

8．已知随机变量，则______.

【答案】

【分析】根据二项分布的概率公式求即可.

【详解】由题意知：，

故答案为：.

9．在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是______.

【答案】##

【分析】分别求解总的情况数与满足一双鞋子的情况数，进而可得概率.

【详解】在3双鞋子中任意抽取两只，共种情况，其中满足一双鞋子的情况有3种，故在3双鞋子中任意抽取两只，恰为一双鞋子的概率是.

故答案为：

10．已知向量，，，则与的夹角为______.

【答案】##

【分析】首先求出，设向量与的夹角为，再根据计算可得；

【详解】解：因为，所以，

设向量与的夹角为，因为，因为，所以.

故答案为：

11．已知是奇函数，且当时，，则______.

【答案】

【分析】由奇函数的定义和性质求解即可

【详解】因为是奇函数，且，

所以当时，，

所以，

故答案为：

12．某天有10名工人生产同一零部件，生产的件数分别是：15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a、b、c从小到大的关系依次是________

【答案】.

【详解】分析：将数据由小到大排列好，根据众数，中位数，平均数的概念得到相应的数据即可.

详解：根据提干得到中位数为b=15，众数为c=17，平均数为=a.

故 .

故答案为.

点睛：这个题目考查了中位数，众数，平均数的概念和计算，较为基础,众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数.

13．函数的图像在点处的切线的倾斜角为______.

【答案】##

【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.

【详解】因为，所以，

则，

设直线的倾斜角为，则，

又，

所以，

故答案为：.

14．方程在上有三个不同的实根，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】方程在上有三个不同的实根，则与有3个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，作出图象，即可求解

【详解】由得，

令，

则 ，

令，解得，

令，解得或，

所以在上递减，在上递增，在上递减，

所以在处取得极小值，且为；

在处取得极大值，且为；

画出的大致图像如下：

方程在上有三个不同的实根，

则与有3个不同的交点，

由图象可知实数的取值范围是

故答案为：

15．口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列：若第次摸到白球，；若第次摸到黑球，.设为数列的前项和，则的概率为______.

【答案】

【分析】题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可

【详解】由题意说明共摸球七次，只有两次摸到白球，

因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是，摸到黑球的概率为，

所以只有两次摸到白球的概率为，

故答案为：

16．已知､是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则______.

【答案】3

【分析】利用向量的数量积运算可得，利用，进一步利用椭圆的定义可转化为，进而得解.

【详解】解：连接,设椭圆的半焦距为，半虚轴为，

,

.

故答案为：3.

三、解答题

17．已知曲线和.

(1)若曲线､在处的切线互相垂直，求的值；

(2)若与曲线､在处都相切的直线的斜率大于3，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据切线垂直可得在处导数值的乘积为求解；

（2）利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.

【详解】（1）由可得，

由可得，

因为曲线､在处的切线互相垂直，

所以，解得.

（2）由题意，切线的斜率，

可得，且或，

所以，

令，则函数在和上是增函数，

所以或，

即或，解得或.

18．在数列中，为正整数.

(1)若数列为常数列，求的通项；

(2)若，用数学归纳法证明：.

【答案】(1)；

(2)见解析.

【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解；

（2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证.

【详解】（1），

，又数列为常数列，

，

解得或（舍去）

的通项公式为.

（2）当时，，成立；

假设时成立，即，

当时，（为锐角），

即时，成立，

综上，对任意，都有.

19．某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如表：

(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀､良好或及格则体质达标，否则不达标）

其中；

(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男､女生体质测试成绩优良的频率视为该市男､女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取1名男生，1名女生，设所选2人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列，数学期望与方差.

【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关

(2)分布列见解析，，

【分析】（1）直接列出列联表，计算，由独立性检验的思想求解即可；

（2）写出的可能取值，并求出相应的概率，即可求解

【详解】（1）由题得列联表如下：

所以没有的把握认为该市学生体质达标与性别有关.

（2）由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.

的所有可能取值为.

所以的分布列为

，

20．已知双曲线，直线，与交于、两点，为关于轴的对称点，直线与轴交于点；

(1)若点是的一个焦点，求的渐近线方程；

(2)若，点的坐标为，且，求的值；

(3)若，求关于的表达式．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由双曲线，点是的一个焦点，求出，，由此能求出的标准方程，从而能求出的渐近线方程.

（2）双曲线为：，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出的值.

（3）设，，，则，，由，得，由，得，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出关于的表达式.

【详解】（1）∵双曲线，点是的一个焦点，

，，，

的标准方程为：，

的渐近线方程为.

（2），双曲线为：，，，

，设，

则由定比分点坐标公式，得：

，解得，

又∵，，

则，

所以的值为.

（3）设，，，则，，

由，得，

，，

由，得

，，

，即，

又，

化简得，

解得，

当时，由，得，

由，得，

即，代入

化简得：

，解得，

当时，满足，

当时，由，得（舍去），

综上，得.

21．已知函数.

(1)已知时函数的极值为3，求和的值；

(2)已知在上是严格增函数，求的取值范围；

(3)设，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)

(3)存在，

【分析】（1）时函数的极值为3，有，可解和的值；

（2）在上是严格增函数，则在上恒成立，分离常数求的取值范围；

（3）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2.

【详解】（1），，

依题意有：，解得；

（2），在上是严格增函数，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

因为，所以是上的严格减函数，

当时，，故，的取值范围为.

（3），，

①当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；

②当时，，是上的严格减函数，最小值为，不合题意；

③当时，在上，，严格减，在上，严格增，，即，所以当时，存在.