2021-2022学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市金山中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．已知是定义在R上的可导函数，若，则=（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据极限与导数的定义计算．【详解】故选：A．2．从编号为的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记：第一次抽到数字为6的倍数，：第二次抽到的数字小于第一次，则=（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字小于第一次；则数字为的倍数的数有：，所以，第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：第一次抽到的数字为，第二次则抽到，共5种；第一次抽到的数字为12，第二次则抽到，共11种；第一次抽到的数字为18，第二次则抽到，共17种.则，.故选：B.3．已知抛物线E：（）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：在中，可，由抛物线的性质可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故选：B．4．如图，在边长为的等边三角形中，圆与相切，圆与圆相切且与、相切，，圆与圆相切且与、相切，依次得到圆、、、．当圆的半径小于时，的最小值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由正三角形性质，分别根据几何关系求出正三角形内切圆半径与边长的关系，边长与、的关系，即可进一步求出与的关系，从而求出的通项公式，列不等式求解.【详解】由题，正三角形内切圆半径与边长满足：①，，由正三角形性质易得，BC边上的高过圆心，且圆切线，其中，则组成正三角形，即，则边长与高满足：，即②，由①②得，，由，∴数列为首项为1，公比为的等比数列，故.由，故的最小值为6.故选：B 二、填空题5．计算______．【答案】【分析】用等比数列求和公式计算即可.【详解】由已知条件，设数列，则，所以故答案为：6．等差数列的前项和为，，，，则______．【答案】12【分析】根据等差数列性质，若，则，可得，代入前项和公式即可.【详解】，解得故答案为：127．若二项式展开式的常数项为60，则实数的值为_________．【答案】【分析】根据二次展开式的通项公式确定常数项即可求的值.【详解】二项式展开式的通项为，令，得，常数项为，得．故答案为：.8．某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．【答案】【分析】根据已知条件求出6个节目全排的种数，再求出甲、乙、丙3个节目全排的种数，二者相除即可求解.【详解】演出中的6个节目全排列有,甲、乙、丙3个节目全排列有,所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有，故答案为：.9．已知是函数的极小值点，则_____．【答案】【分析】求导，根据是函数的极小值点，由求解，并检验即可.【详解】解：因为函数，所以，因为是函数的极小值点，所以，即，解得或，当时，，当或时，，当时，，所以，在区间上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以，在区间上单调递增，在上单调递减，所以，当时，函数取得极小值，符合题意；所以，故答案为：10．已知第一层书架中有6本数学书，4本语文书；第二层书架中有8本数学书，12本语文书．随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为_____．【答案】##0.5【分析】利用独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解.【详解】若选到第一层，则选到数学书的概率为，若选到第二层，则选到数学书的概率为，故随机选取一层，再从该层中随机取一本书，则它是数学书的概率为.故答案为：11．已知数列的前项和为，则_____．【答案】．【分析】由代入已知条件变形后可得是等差数列（变形前说明），求出通项公式后得，从而易得结论．【详解】∵，∴，，时， ，又，所以（）．∴由，得，所以是等差数列，公差为1，首项为1，∴，，从而．故答案为：．12．在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356 由表中数据求得关于的回归方程为，则在处的离差的绝对值为_____．【答案】【分析】将样本的中心代入回归直线中，求得，再算出当时的观测值，即可得答案.【详解】解：因为，，又因为关于的回归方程为，所以，解得，当时，，所以.故答案为:.13．已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_____．【答案】【分析】求得直线的方程并与椭圆方程联立，结合弦长公式求得.【详解】椭圆方程为，所以，所以，所以直线的方程为，由消去并化简得，设，所以，所以.故答案为：14．如图是函数的导函数的图象：①函数在区间上严格递减；   ②；③函数在处取极大值；     ④函数在区间内有两个极小值点．则上述说法正确的是______．【答案】②④【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出正确答案.【详解】由导函数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确；由导函数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误；由导函数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导函数大于0，故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.故答案为：②④15．已知、为双曲线的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，且，若直线的倾斜角为，则的离心率为____．【答案】##【分析】由题意画出图形，可得为正三角形，进一步得到四边形为矩形，再由双曲线的定义求解得答案．【详解】如图，∵直线的倾斜角为，∴，又，∴，可得为正三角形，由对称性可得，四边形为矩形，得到，由双曲线定义可得，，∴，故答案为：.16．若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．【答案】【解析】设点为曲线上任意一点，求出函数的导函数，即可求出切线方程，由切线不经过点，即可得到方程无实根，利用根的判别式求出参数的取值范围；【详解】解：设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在点处的切线的方程为.据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为： 三、解答题17．如图，是圆的直径，点是圆上异于A、B的点，直线平面，、分别是、的中点．(1)记平面与平面的交线为，求证：直线平面；(2)若，点是的中点，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用中位线证明，则可推出平面，由线面平行的性质，可知，即可证出直线平面；（2）由题意分析，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，根据二面角公式可求出平面和平面的余弦值，即为二面角的余弦值.【详解】（1）证明：、分别是、的中点，是的中位线，则，平面ABC，平面，平面，又平面，平面与平面的交线为，，平面，平面，平面.（2）解：如图，是圆的直径，是的中点，，，，直线平面，，，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量，则，取，则，直线平面，是平面的法向量，，二面角的余弦值为.18．2021年9月，教育部印发《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降．某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼，结合“微信运动”APP每日统计运动情况，对每日平均运动10000步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，统计了200名学生在某月的运动数据，结果如下： 运动达人参与者合计男生 70 女生  80合计80 200 (1)完善列联表并说明：是否有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?(2)从全校运动“运动达人”中按性别分层抽取8人，再从8人中选取4人参加特训，将男生人数记为，求的分布列．参考公式：．2.0722.7063.8416.6357.87910.8280.150.100.050.0100.0050.001  【答案】(1)没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关；(2)X1234P  【分析】（1）先完善列联表，通过卡方检验中计算与6.635比较大小从而判断在犯错误概率不超过0.01的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性；（2）判断X服从超几何分布概型，得到X的分布列．【详解】（1）由题意完善列联表：运动达人参与者合计男生为人，易知列联表数据如下： 运动达人参与者合计男生5070120女生305080合计80120200 此时：．查表可知，所以：没有99%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关（2）由题意知：选取的8人运动参与者中男生5人，女生3人X的所有可能情况为： 1、2、3、4且，，X的分布列为：X1234P 19．已知椭圆：（）上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆的方程和短轴长；(2)已知点，过左焦点且与不垂直坐标轴的直线交椭圆于，，设直线与椭圆的另一个交点为，连接，求证：平分.【答案】(1)，短轴长；(2)证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义、离心率可得，进而求得，即可得椭圆方程和短轴长；（2）将问题化为证明，令为联立椭圆，应用韦达定理、斜率两点式并化简，即可证结论.【详解】（1）由题意，则，故，则，所以，短轴长.（2）要证平分，即，如下图示，所以，只需证即可，，由题意，设为，联立椭圆并整理得：，所以，且，即，而，又，所以，故平分，得证.20．近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：①的通项公式；②的通项公式．【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可；（2）求得的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得；再结合累加法，以及等比数列前项和公式，即可求得.【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为，由题可知，，故，设某班同学3次专注度监测的总得分为，根据题意，故.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是.（2）①由题可知，根据题意，，故可得故数列为首项，公比为的等比数列，则.②根据上式可得，则，故的通项公式.21．已知函数．(1)若，求函数的图像在处的切线方程；(2)若，求函数的单调区间；(3)若，已知函数有两个相异零点，求证：．【答案】(1)(2)答案见解析.(3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；（3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可.【详解】（1）解：当时，函数，，所以，，所以函数的图像在处的切线方程为，即.所以，函数的图像在处的切线方程为（2）解：当时，，定义域为，所以，，所以，时，在上恒成立，故在上单调递增，当时，令得，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.（3）解：由题知，，因为函数有两个相异零点，且所以且，，即，所以，方程有两个不相等的实数根，令，则，故当时，，时，，所以，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，要使方程有两个不相等的实数根，则.不妨令，则所以，，要证，只需证，即证：因为，所以，只需证，只需证，即故令，故只需证，成立，令则，在恒成立，所以，在上单调递增，因为，所以在恒成立，所以，在上单调递增，所以，，即，成立，所以，成立.【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可.