2021-2022学年江苏省江都中学高二下学期阶段数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省江都中学高二下学期阶段数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省江都中学高二下学期阶段数学试题 一、单选题1．全集，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别求解两个集合，再进行集合的运算，即可求解.【详解】，解得：或 ，所以,，集合，所以．故选：D．2．已知随机变量，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正态分布的对称性求解即可.【详解】因为随机变量，且，所以,故选：A.3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】，列出不等式，求出，从而判断出答案.【详解】，则要满足，解得：，因为，但故“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．设随机变量满足：，则（    ）A．6 B．27 C．24 D．9【答案】C【分析】根据二项分布，，即可.【详解】由题知，服从二项分布，所以，因为所以，故选：C5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【分析】依题意可得，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由，且，可得，所以，当且仅当，即，时取等号．故选：C6．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率.故选：B.7．已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数及幂函数的单调性可判断A，B，举反例可判断C，根据均值不等式判断D即可.【详解】，为正实数，且，即在上均为减函数，在上为增函数.当时，，故A错误；当时，，故B错误；取，此时，故C错误；，，，，，，故D正确.故选：D8．已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题设令，根据存在性将问题转化为在上有解，参变分离后可求实数的取值范围.【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，令则即在上有解，即在上有解即在上有解，设，，则，当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，而，故在上的值域为，故即，故选：D. 二、多选题9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（    ）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.【详解】A.恰有一个白球的概率，故A正确；B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．故选：ABD.10．下列命题中，正确的命题是（    ）A．已知随机变量X服从二项分布，若，，则B．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为C．设服从正态分布，若，则D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大【答案】BCD【分析】对于A，利用二项分布的期望公式和方差公式列出关于的方程组，解方程组即可判断；对于B，根据回归方程过样本中心点求出回归方程，即可判断；对于C，利用正态分布图像的对称性即可判断；对于D，根据与1比较，判断其单调性，即可判断D.【详解】解：对于A，由随机变量X服从二项分布，若，，可得，解得，故A错误；对于B，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程，即，故B正确；对于C，随机变量服从正态分布，则图像关于轴对称，若，则，所以，故C正确；对于D，因为10次射击中，击中目标的次数为X，，则，，，则，当，即时，递增，当，即时，递减，所以当，即当时概率最大，故D正确.故选：BCD.11．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（    ）A． B．平面C． D．向量与向量的夹角是【答案】BC【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算以及空间向量法可判断各选项的正误.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、、、、、、、、.对于A选项，，，则，故A选项错误；对于B选项，设平面的法向量为，，，由，可得，取，可得，，，，平面，平面，故B选项正确；对于C选项，，，，故C选项正确；对于D选项，，，，所以，向量与向量的夹角是，故D选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.12．已知a，，满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】A、D利用基本不等式即可判断，注意等号成立条件；B由，构造且，利用导数证明不等式；C根据A、B的分析，应用特殊值法判断.【详解】A：由，即，当且仅当时等号成立，正确；B：由，则且，令且，则，递减，所以，，即成立，正确； C： 当时，，错误；D：由，当且仅当时等号成立，正确.故选：ABD 三、填空题13．已知的展开式中x3的系数是160，则a=__________.【答案】-2【分析】先由通项化简整理第k+1项，令x的指数等于3可得k，然后可解.【详解】展开式的通项为，令，得，所以，所以，解得．故答案为：-2.14．某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为__________．【答案】##【分析】由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，最后利用插空法即可得3位医生中有且只有2位相邻的排法，从而根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有种排法，然后将3位医生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共有种排法，又6人随机排成一排有种排法，所以所求概率为，故答案为：.15．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______．【答案】【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解.【详解】由题意，点和，可得，且，所以点到直线的距离是.故答案为：.16．已知不等式的解集中有且仅有一个负整数，则实数a的取值范围是________．【答案】【分析】一元一次不等式变形后，解只能是形式，且，由此可得．【详解】不等式变形为，不等式解集中有且仅有一个负整数，则，，且，解得．故答案为： 四、解答题17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且.点在棱上，且，点为中点.(1)证明：直线平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，利用与平面的一个法向量垂直，即可证得直线平面.（2）分别解出平面与平面的一个法向量，利用向量的数量积公式与同角关系即可解出二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图，以为原点，分别以，，方向为，，轴方向建立空间直角坐标系，如图所示.由题意，可得，，，，，，，显然，是平面的一个法向量，，故，所以，又因为平面，故直线平面.（2）解：设平面的法向量为，又，，由，得，令，则，，可得.由已知，可得，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，可得.所以，因此，所以二面角的正弦值为.18．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．(1)求n的值；(2)求含的项的系数；(3)求展开式中含的项的系数.【答案】(1)(2)60(3)147 【分析】（1）利用二项式系数的比值求出n；（2）在第一问求出的n的基础上，写出展开式的通项公式，求出含的项的系数；（3）利用通项公式分别写出与的符合题意得项，相乘再相加即可.【详解】（1）∵，∴．（2）设的展开式的通项为，则，令．∴含的项的系数为；（3）由（1）知：展开式中含项的系数为：所以展开式中含项的系数为14719．为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如下.（千克）24568（千克）300400400400500 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少千克?附：相关系数公式，参考数据：．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】（1）0.95，答案见解析；（2）700千克．【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，，，然后利用公式求出相关系，再作判断即可，（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量【详解】解：（1）由已知数据可得，，所以，，，所以相关系数．因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2），，所以回归方程为．当时，，即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．20．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足．为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．(1)求这四个人中恰有2个人接种A种疫苗的概率；(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗的种数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）首先求出所有可能接种结果，再求出恰有2人接种疫苗的情况种数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；（2）依题意可能值为1，2，3，求出所对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；【详解】（1）解：依题意所有可能的接种方式有种，恰有2人接种疫苗的情况有种，从而恰有2人接种种疫苗的概率为．（2）解：依题意的可能值为1，2，3，又，（或），（或）．综上知，X的分布列为X123P 所以．21．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， . (1)求证：平面；(2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长.【答案】(1)证明见解析.(2)纤维导管的长：. 【分析】（1）由直三棱柱得到平面平面，接着利用线面平行的判定定理即可.（2）建立空间直角坐标系，可得，由题意可设，从而求得，利用向量法解出与所在直线夹角的最小，此时，最后解得纤维导管的长即可.【详解】（1）证明： 直三棱柱， 平面平面，又经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， . 平面，平面.（2）解：以 为坐标原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得，，，，，又和分别为和的中点，故，，,设，，则， ，.设与的夹角为，则，设，则，则，当且仅当时，即时，取得最大值，此时得最大值为：.因为余弦函数在上单调递减，所以当时直线与的夹角最小，此时，所以，所以纤维导管的长为：.22．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）方法一：函数定义域为，，进而分，，三种情况讨论即可得函数单调区间；方法二：函数定义域为，，由于，故分和两种情况讨论求解即可；（2）由（1）得当时，在单增，故．故在上恒成立；（3）方法一：由（2）知，当时，，即，当时，．进而将问题转化为证．故令，研究单调性即可得答案；方法二：要证，只需证，只需证．故设，只需证．进而研究得在单减，故转化为只需证即可，再设，易得．【详解】（1）法1：函数的定义域为，，当时，在区间成立，故，即在单增；当时，，在区间成立，故，∴在单增；当时，，设两根为，则，当或时，，，当时，，，故在单减，在和单增．综上：当时，在上是增函数；当时，在单减，在和单增．法2：函数的定义域为，∵，当时，，在上是增函数；当时，，解得，，解得或．∴在单减，在和单增．（2）当时，在单增，故在单增，所以．所以在上恒成立；（3）法1：由（2）知，当时，，即，当时，．要证，只需证，只需证．令，，，，∴在单增，即．法2：要证，只需证，只需证．设，只需证．则令，则，，，∴在单减．故只需证即可．，，．所以原不等式成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于合理利用分类讨论思想求解，再证明求解过程中注意各个问题之间联系.值得注意得是在第三问的求解过程中，利用第二问的结论，将问题适当放缩，转化为成立；或者利用同构式，进行等价变换，将问题转化为证，进而设，研究函数单调区间进一步化简转化为证即可.