2023北京东城区高三上学期期末考试数学试题含答案

   东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测

      高 三 数 学         2023.1

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）                           （B）       

 （C）                                    （D）

（2）在下列函数中，为偶函数的是

（A）                         （B）         

（C）                             （D）

（3）在的展开式中，若第3项的系数为10，则

（A）                                       （B）              

  （C）                                       （D）

（4）在等比数列中，，，则

（A）                                       （B）             

（C）                                       （D）

（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其

     中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门

 广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北

 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个

 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有

故宫的概率为

（A）              （B）                 

（C）              （D）

（6）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为．若的面积为，则

（A）                            （B）          

(C)                            （D）

（7）已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为，是上一点，且.若△的面积为，则的焦距为

（A）              （B）                （C）                   （D）

（8）在△中，“对于任意，”是“△为直角三角形”的

（A）充分而不必要条件                           （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件                               （D）既不充分也不必要条件       

（9）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当变化时，直线的斜率的取值范围是

（A）                     （B）      

（C）                     （D）

（10）如图，在正方体中， 是棱上的动点，下列说法中正确的是

①存在点，使得；

②存在点，使得；

③对于任意点，到的距离为定值；

④对于任意点，△都不是锐角三角形.

（A）① ③          （B）② ③                    （C）② ④             （D）① ④

第二部分（非选择题   共110分）

二、填空题 共5小题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》每小题5分，共25分．

（11）若复数满足，则

（12）已知函数，则        ；若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象，则的一个对称中心为          .

（13）经过抛物线焦点的直线与抛物线交于不同的两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为       .(用“”“”“”填写）

（14）设函数当时，的值域为__________；若的最小值为1，则的取值范围是___________.

（15）对于数列，令，给出下列四个结论：

①若，则；

②若，则；

③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；

④若对任意的，都有，则有.

其中所有正确结论的序号是      .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

如图，在锐角△中，，点在边的延长线上，且CD＝10.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求△的周长．

（17）（本小题15分）

如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面 .

（I）求证：为的中点；

（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线

   与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②： .

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）

 “双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7, 9)，[9, 11)，[11, 13)，[13, 15)，[15, 17)，[17, 19]，用频率分布直方图表示如下：

假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.

（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率；

（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的人数，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）

（19）（本小题14分）

已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的和为，，分别为椭圆的

左、右焦点.

（Ⅰ） 求椭圆的方程；

（Ⅱ） 设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的取值范围.

（20）（本小题15分）

已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的极值；

（Ⅲ）证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点.

（21）（本小题15分）

已知数列，满足：，从中选取第项、第项、…、第项（），称数列为的长度为m的子列．记为所有子列的个数.例如，其.

（Ⅰ）设数列，写出A的长度为3的全部子列，并求；

（Ⅱ）设数列，，，判断的大小，并说明理由；

（Ⅲ）对于给定的正整数，若数列满足：，求的最小值.