天津市南开中学2022-2023学年高三数学上学期1月期末试卷（Word版附答案）

天津市南开中学2023届高三第三次月考

一、选择题

1．设为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A．   B．   C．   D．   

2．集合，，则=（    ）

A．  B．  C．  D．  

3．已知直线，，则是的（   ） 条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要  D．既不充分也不必要  

4．展开式中的常数项是（    ）

A．   B．135  C．  D．   

5．已知， ， ，则的大小关系是

A．   B．   C．   D．   

6．将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，全科免费下载公众号《高中僧课堂》则下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于点对称  B．的图象关于直线对称

C．过点      D．在区间上单调递增  

7．设抛物线：（）的焦点为，上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ）

A．1 B． C． D．  

8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点分别在双曲线的左．右两支上，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A．  B． C．  D．

9．已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（    ）

A．    B． C． D． 

二、填空题

10．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一．高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调査．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为_________

11．一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______

12．等差数列中，，，则数列的前2023项和为___________.

13．已知都是正数，则的最小值是___________

14．已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点， ，则实数__________

15．如图，在中，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是______

三、解答题

16．在，中，记角，，的对边分别为，已知

(1)求角；

(2)已知点在边上，且，求的面积.

17．如图，在四棱锥中，平面平面，，．

(1)．求证：平面；

(2)．求平面与平面夹角的余弦值；

(3)．若点在棱上，且平面，求线段的长.

18．已知椭圆中心在原点，右焦点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆左右顶点分别为和 ，为椭圆位于第二象限的一点，在轴上存在一点，满足，设和的面积分别为和，当时，求直线的斜率.

19．已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，成等比数列.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．

20．已知函数.

（1）．当，时，求的单调区间；

（2）．若在区间内存在极值点.

①．求实数的取值范围；

②．求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小，说明理由.

一、选择题

BDABC  DDBA

二、填空题

10、30 11、 12、 13、 14、或 15、

三、解答题

16、（1）因为，

由正弦定理可得，

因为，所以，

所以，

因为，则，所以，即，故，

又，所以，故.

（2）在中由余弦定理可得，，， 是等边三角形，

所以，即的面积是．

17．(1)．略

（2）解：在中，因为，

所以，所以．

所以，建立空间直角坐标系，如图所示．

所以，

易知平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

则，

即平面与平面夹角的余弦值为．

（3）解：因为点E在棱，所以．

因为．

所以．

又因为平面，为平面的一个法向量，

所以，即，所以．

所以，所以

18．（1）椭圆方程

（2）设直线的方程为，显然，联立 ，所以，所以，设，所以，根据题意，，所以所求直线斜率为

19． (1)．

(2)．∵，

则，

，

，

，

恒成立，

则恒成立，

令，则，

，

，

，

故实数的取值范围是

20．(1)． ，，所以在

，所以在单调递增

（2）．①，又，则且，

∴，即在上递增，故，

当时，在上，即递增，又，，

∴上，上，则在上递减，在上递增，

∴在处取极小值，符合题设.

∴.

②要证在内存在唯一的使，只需证在上有唯一零点，

∴，由（1）知：在上递减，在上递增，

又时，，即在上递增，

综上，在上递减，在上递增，而，，

∴在无零点，在上存在一个零点，故存在唯一使.

由①知：，

∴，

令且，则，

令，则显然，则递增，

∴，即，故在上递增，则，

∴在有，

即有，又在上递增且，

∴.