2021-2022学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市位育中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.

【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，

奇数项之和为，

偶数项之和为，

所以奇数项之和与偶数项之和的比为，

故选：D

2．若，则的值为（    ）

A．1 B．-1 C．0 D．

【答案】B

【分析】根据求出之间的关系，后在上下同时除以中较大数的幂即可.

【详解】可知，所以，

.

故选：B.

3．数列满足，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先按照、讨论，根据递推公式得到是以首项为，公比为的等比数列，从而得到，再将不等式转化为，解不等式即可.

【详解】因为，所以，

当时，，满足题意；

当时，即，

所以是以首项为，公比为的等比数列.

所以，即.

所以得：，即，

解得，所以；

综上，.

故选：C

4．数列满足：首项，，则下列说法正确的是（ ）

A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列

B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列

C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列

D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列

【答案】D

【分析】根据题意写出数列的前6项，根据数列等差中项和等比中项的性质，即可判断ABC，令，然后通过题意可证明为一个定值，即可判断D

【详解】已知数列满足，

则，，，，，

对于A，，即，所以该数列的奇数项成等比数列不成立，

，即，所以该数列的偶数项成等差数列不成立，A选项错误；

对于B，，即，所以该数列的奇数项成等差数列不成立，

，即，所以该数列的偶数项成等比数列不成立，B选项错误；

对于C，，，

，所以该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C选项错误；

对于D，令，

由可得，

所以，所以即是公比为2的等比数列，

则该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D选项正确；

故选：D.

二、填空题

5．数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为=_____

【答案】，

【分析】观察项与项数的关系，项的变化比较快故可以考虑与指数函数的关系.

【详解】各项都加1后为2，4，8，16，…，因此一个可能的通项公式为=.

故答案为:

6．等差数列中，，的前项和为，则____

【答案】30

【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.

【详解】解：在等差数列中，所以，

所以.

故答案为：

7．数列中，则中满足的的值为___

【答案】8

【分析】由已知条件得该数列为等差数列，求出通项公式，代入中，解出不等式根据条件求得的值

【详解】在数列中，因为，

所以数列以首项为，公差的等差数列，

所以，

所以，

即，

解得：，又

所以

故答案为：8.

8．已知，则常数构成的点的坐标为____

【答案】

【分析】根据数列极限求解点即可.

【详解】由题知，

，

所以，解得，

所以常数构成的点为.

故答案为：

9．用数学归纳法证明等式时，第（ii）步从n=k到n=k+1时等式左边应添加的项是____

【答案】

【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答.

【详解】时，左边；

当时，左边；

观察两式易知增加的项为：.

故答案为：.

10．设等差数列，的前项和分别为，，且，则____

【答案】

【分析】根据等差数列前项和公式解决即可.

【详解】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且，

因为，

故答案为：.

11．等比数列中，，则通项公式____

【答案】

【分析】基本量法联立方程组解出即可.

【详解】已知可得，

两式相除得，解得

代入解出所以

故答案为：

12．“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”（选自《九章算法比类大全》诗中所述的尖头有________盏灯

【答案】3

【分析】将问题看成是等比数列的问题，利用等比数列的知识求解即可.

【详解】设尖头至第一层分别有盏灯

由题意可知，成等比数列，且公比为

，解得

故答案为：

【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.

13．已知数列对于任意，，有，若，则_____________．

【答案】4

【分析】按递推公式先求出，再导出，然后求出，再导出，进而求出，由此可求出．

【详解】由题意得，

,

故答案为:4．

14．若数列满足，，则该数列的前项的乘积 _____________.

【答案】

【分析】推导出，计算出、、的值，即可得出的值.

【详解】因为，，则，，

，，，

以此类推可知，

，且，

因此，.

故答案为：.

15．在由正整数构成的无穷数列中，对任意的都有成立，且对于任意 ，数列中恰好有k个k，则=____

【答案】64

【分析】直接利用数列的递推关系式和求和公式的应用求出结果．

【详解】该数列为：1；2，2；3，3，3；4，4，4，4；…，

当时，，

所以，

故答案为：64.

16．在数列中，如果对任意 都有 （为常数），则称为等差比数列，称为公差比．现给出下列命题：

①等差比数列的公差比一定不为；

②等差数列一定是等差比数列；

③若，则数列是等差比数列；

④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．

其中正确的命题的序号为__________．

【答案】(1)(3)(4)

【详解】分析：（1）举例说明：公差比为0，an+2﹣an+1=0，数列{an}为常数列，所以 的分母为0，无意义；（2）等差数列为常数列时，不是等差比数列；（3）由an=﹣3n+2=是公差比为3的等差比数列；（4）an=a1•qn﹣1，代入可知命题正确，综合可得答案．

详解：（1）若公差比为0，则an+2﹣an+1=0，故{an}为常数列，从而  的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零；

（2）当等差数列为常数列时，不能满足题意；

（3）an=﹣3n+2=是公差比为3的等差比数列；

（4）an=a1•qn﹣1，代入=q命题正确，所以，正确命题为①③④．

故答案为：①③④

点睛：本题主要考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题真假.

三、解答题

17．数列满足，求的通项公式

【答案】

【分析】根据累加法求通项解决即可.

【详解】由题知，数列满足，

所以当时，

所以，

又因为符合上式，

所以.

18．如图，是边长为的等边三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的等边三角形得到，然后再剪去一个更小的等边三角形（其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半），得到、、、、.

(1)设第次被剪去等边三角形面积为，求；

(2)设的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得数列为等比数列，根据首项和公比进而可得结果；

（2）根据等边三角形的性质求出的面积，根据等比数列前项和公式从而推导出即可求出答案

【详解】（1）解：由题意可得，

设第次被剪去等边三角形的边长为，则，则，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以.

（2）解：由已知得的面积，

所以的面积为，

所以.

19．已知数列满足.

(1)当时，数列是否是等比数列？给出你的结论并加以证明；

(2)求数列的通项公式.

【答案】(1)是，证明见解析；

(2).

【分析】（1）由与的关系得递推关系，即可进一步变形得.

（2）由定义法求等比数列的通项公式，即可求出时的通项公式，判断是否符合即可.

【详解】（1）当时，，∴，故数列为公比为2的等比数列

∴当时，数列是等比数列.

（2）当时，，

由（1）得，当时，，令，与不符.

故数列的通项公式为.

20．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)设年内(本年度为第一年)总投入为万元，旅游业总收入为万元，写出的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

【答案】(1) ，； (2) 至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得－＞0，结合（1）可得

，解得，进而可得结果.

【详解】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)n－1万元，所以，n年内的总投入为

=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1==4000×［1－()n］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

=400+400×(1+)+…+400×(1+)n－1==1600×［()n－1］

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此－＞0，即：

1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、等比数列的求和公式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.

21．设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）试确定的值，使得数列为等差数列；

（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列 的前项和，试求满足的所有正整数.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由等差中项的性质可得，结合等比数列通项公式求基本量，即可得的通项公式；

（2）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可.

（3）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.

【详解】（1）由题设，即，解得或（舍），

又为正整数，故，又，则.

（2）由，得：，

所以,

由，可得，此时，

由知：此时数列为等差数列.

（3）由（2）及题设知：为，

所以，易知：不合题意，适合题意.

当时，若后添入，则，不合题意，

从而必是数列中的某一项，则

则 即，整理，

易证：k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时成立，证明如下：

当n = 5时，，左边＞右边成立；

假设n = k时，成立，

当n = k + 1时，

所以，当n=k+1时结论成立．

由上知：恒成立，故无正整数解．

综上，满足题意的正整数仅有m=2.