2021-2022学年上海市吴淞中学高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市吴淞中学高二下学期期末数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市吴淞中学高二下学期期末数学试题 一、单选题1．设为实数，甲：；乙：二项展开式常数项为1．则甲是乙成立的（    ）条件A．充分但不必要 B．充要C．必要但不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】求出展开式的常数项，即可得出结论.【详解】展开式中的第项为，.当时，该项为常数项，常数项为.显然，当时，；当时，.所以，甲是乙成立的充分但不必要条件.故选：A.2．设为复数,则下列命题中一定成立的是(    )A．如果,那么 B．如果,那么C．如果,那么 D．如果,那么【答案】C【解析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取,时,,即,但虚数不能比较大小, ,故A错误;对于B,由,可得,不能得到,故B错误;对于C,因为,所以,故C正确;对于D,取,,满足,但是,故D错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题.3．已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题中正确的是A．若，，则B．若，在平面内，且，，则C．若，，是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与，，都相交D．若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果．【详解】解：对于选项：若，，则直线也可能与直线异面，故错误．对于选项：只有直线和为相交直线时，若，，则．故错误对于选项：若，，是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与，，都相交．故错误对于选项：若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交，正确．故选：．【点睛】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题．4．设点为坐标原点，点在双曲线上运动，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（    ）A．2 B．4 C．6 D．以上都不对【答案】A【分析】根据向量加减法化简向量，则求的最小值即是求双曲线上的点与焦点距离最小值，而双曲线上的点与焦点距离最小值为，故可计算得出答案.【详解】根据双曲线对称性可知，化简，因为双曲线上的点与焦点距离最小值为，所以故选：A 二、填空题5．（理）设复数满足（为虚数单位），则_________.【答案】【分析】利用复数的运算法则，巧用共轭复数即可得出答案．【详解】，，，．故答案为：．【点睛】本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义，考查推理能力与计算能力，属于基础题．6．计算：________．【答案】【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】.故答案为：.7．如果的方差是，则的方差为_______．【答案】2【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．【详解】解：因为的方差是，所以的方差为．故答案为：2．8．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是______.【答案】方程没有实根【分析】根据反证法的推理逻辑，即可容易求得.【详解】原命题的结论为：方程至少有一个实根，故假设是：方程没有实根.故答案为：没有实根.【点睛】本题考查反证法的推理逻辑，属基础题.9．已知虚数是方程的一个根，则____【答案】3【分析】根据实系数的一元二次方程的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出、的值．【详解】虚数是方程的一个根，共轭虚数也是此方程的一个根，；；．故答案为：3．【点睛】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．10．底面半径为1，侧面积为的圆柱的体积为______．【答案】【分析】根据底面半径为1，侧面积为，求得高，再代入体积公式求解.【详解】由已知圆柱的底面半径,设高为，侧面积为， 所以，所以圆柱的体积为.故答案为：11．曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】，即切点为，，即斜率为，所以切线方程为，即.故答案为：12．设、分别为连掷两次骰子得到的点数，且向量，，则与的夹角为锐角的概率是______．【答案】【分析】由与的夹角为锐角，得到，由此能求出与的夹角为锐角的概率.【详解】解：因为向量的夹角为锐角，所以，即，，当时，有2种；当时，有2种；当时，有1种；当时，有1种；包含的基本事件个数为6，而基本事件总数为，所以概率为，故答案为：.13．甲乙参加某个五局三胜的比赛，每局他们获胜的可能性相同，最终胜者将获得2000元奖金，前两局甲获胜后，因为其他要事而中断了比赛，则甲应得_____元奖金才公平．【答案】1750【分析】计算在前两局甲获胜的条件下，最终获胜的概率，乘以总奖金即为所求.【详解】因为该五局三胜的比赛每局两人获胜的可能性相同，所以在前两局甲获胜后，甲获胜的概率为，甲应得元.故答案为：.14．设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______．【答案】【分析】根据题意可得，集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，作出图象，可得复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分..【详解】设.由，可知，即，即.因为，，，所以，则可化为，解得.即集合A在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线），如图所示.所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分.弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，则扇形的面积，，所以弓形的面积为.故答案为：.15．已知数列前项和，数列满足为数列的前项和．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】利用与的关系，求得，由题意，求得并裂项，利用裂项相消，求得，分为奇数或偶数两种情况，利用函数求最值研究不等式恒成立问题，可得答案.【详解】当时，；当时，，将代入上式，可得，则；，，代入不等式，可得，整理可得，当为偶数时，不等式为，令，，当时，，则在上单调递增，由于，故，此时；当为奇数时，不等式为，令，（为奇数且），易知在单调递增，则，此时，综上所述，.故答案为：.16．已知向量夹角为，对任意，有恒成立，若为实数，则的最小值是_____．【答案】【分析】（1）将原式两边平方，转化为不等式，利用，即可求得；（2）构造向量差的绝对值的几何意义，利用三点共线求的最小值.【详解】由，两边平方整理可得，对任意恒成立，则，即，即， ，∴；设，，，，则；，∴；如图所示，作点关于的对称点，则；则当，，A三点共线时，有最小值，此时，，，在中，由余弦定理，∴，即的最小值为 故答案为：【点睛】最值的处理方法：令 ，则为直线上的动点，故表示动点到定点的距离，的最小值为点到直线的距离.最值的处理方法: ，令 ，同上方法解决. 三、解答题17．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为侧棱的中点.(1)求四棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中，所以，点到平面为高，又因为，所以，四棱锥的体积；（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量，则，取，得，因为直线与平面所成角为，，，因此，直线与平面所成角为.18．在复平面内复数、所对应的点为、为坐标原点，是虚数单位．已知．(1)求；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设,结合复数的模的公式，利用复数相等列方程求解即可；（2）根据（1）的结论，利用复数的乘法法则，结合向量数量积的运算以及一元二次不等式的解法求解即可.【详解】（1）设，因为，可得（2）因为，所以，,,,或，不等式的解集为.19．设数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设数列，对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，记数列的前项和为，求使得的最小整数．【答案】(1)；(2)5 【分析】（1）利用可求出数列的通项公式；（2）由（1）得，然后由，得，则，从而可求出，进而可求出使得的最小整数的值.【详解】（1）当时，，得，当时，由，得，所以，，所以，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，因为数列中落入区间内，所以，所以，，所以，所以数列中落入区间内的项的个数，所以，由，得，即，当时，，当时，，因为随的增大而增大，所以的最小整数为5.20．已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左右焦点，为椭圆上的点，且．直线过椭圆外一点，与椭圆交于两点，满足．(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求三角形面积的取值范围；(3)对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在， 【分析】(1)利用椭圆定义求出椭圆的标准方程；(2)联立直线与椭圆方程，利用面积分割求出面积取值范围；(3)联立直线与椭圆方程，由平行关系与韦达定理化简求解.【详解】（1）由题可设椭圆方程为，则，由椭圆定理可得，则，所以椭圆的方程为：.（2）由题可知直线的斜率存在且不为0，则设直线方程为，联立，可得，，∴，∴，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以三角形面积的取值范围为.（3）设直线方程为（斜率必存在），则，，∵，∴，∴，化简得①，联立得，∴，∴，代入①得，，∴②，∴，代入②得：，故，而点在轴上方，所以对于任意一个，存在唯一的使得，故直线有且只有一条使得．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中．(1)当时，试用表示；(2)当时，求的值；(3)当时，求的最小值．【答案】(1);(2);(3). 【分析】(1)根据向量的线性运算即可求得答案;(2) 当时，利用向量的线性运算可推得对任意正整数，且，有,由此可得,结合向量的坐标以及模的计算,可得答案;(3)利用向量的坐标运算求得的表达式,设,分类讨论的取值，结合二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）由题意得当时，,.（2）当时,,故对任意正整数 ，且，有 ， ,所以 ,而,故,所以当时，  ,即当时，求.（3）当时，  ,  , ,   , 故 ，设 ,当时， 当时，上式有最小值 ，当时， ，当时,,当 时，上式有最小值,综上 的最小值是.【点睛】难点点睛：本题主要考查了向量的线性运算以及向量模的最值问题，难点在于第三问的最小值问题，解答时利用向量的坐标运算求得其表达式，由于表达式含有两个变量，因此要转化为一元函数问题，即确定取某个值时取得最小值，再结合二次函数知识求解即可.