2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题 一、单选题1．复数A．2 B．－2 C．2i D．-2i【答案】A【分析】利用即可得解.【详解】故选A.【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.2．观察下列算式：，，，，，，，，，用你所发现的规律可得的末位数字是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的末位数字以为周期变化可知与的末位数字相同，由此可得结果.【详解】由算式变化规律可知：末位数字分别为这个数字循环，即以为周期，又，的末位数字与的末位数字相同，即其末位数字为.故选：C.3．已知双曲线（a＞0）的离心率是 则a=A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，∴ ，解得 ，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．抛物线过点，则的准线方程为(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.【详解】∵抛物线过点，∴，∴，∴其准线方程为y＝－1.故选：B.5．展开式中的第四项是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B．【解析】二项式定理．6．乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即可计算．【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，因此所求概率为：．故选：C．7．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5 乙得分：X2123P0.10.60.3 则甲、乙两人的射击技术相比（    ）A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一样好D．不可比较【答案】B【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.【详解】因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.故选：B8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．函数在处有极值为，那么，的值为（    ）A．， B．，C．，或， D．，【答案】A【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．【详解】，由题意可知即，则解得或，当时，，在处不存在极值，不符合题意；当时，，，，，，符合题意．，故选：A．10．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意得在上恒成立，然后参变分离，构造函数，利用导数研究函数的最值即可求出结果.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以函数在为单调递增函数，所以，即实数m的取值范围是.故选：B.11．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．【答案】D【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】，，，所以切线方程为，即．故答案为：．14．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．【答案】##5.5【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，又由直线是曲线在点处的切线，则，所以．故答案为：15．的展开式中，的系数为________．【答案】【分析】根据，再分别求展开式中的系数与的系数即可.【详解】解：因，故由题设应求展开式中的系数与的系数.又因，当时，当时，，故所求系数为.故答案为：16．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛物线： ()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 三、解答题17．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程；（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．【详解】（1），所以，即抛物线C的方程.（2）设，由得所以，所以.【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)．(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解．18．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求(1)，，的值；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)，，；(2). 【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.【详解】（1）由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，于是有，由，所以有；（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，而知函数的图象如下图所示因为函数有三个零点，所以函数的图象与直线有三个不同的交点，所以.19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列．【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．.（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．，，，．应聘者乙正确完成题数的分布列为 20．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．【答案】（1）见解析；（2）1或2【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出 由此能求出ζ的分布列和Eζ．（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，；    ；；；ξ分布列为：ξ0123p （2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：， ，，在上P为增函数，在上P为减函数，当时P取得最大值．又，故 ，解得：或，故为1或2时，有最大值．21．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．（1）求抛物线的标准方程．（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】条件选择见解析（1）；（2）．【分析】方案一 选择条件①．（1）由抛物线焦半径公式可得，解得，即可求得抛物线的标准方程为；（2）设，，，由（1）可知．联立和可得，利用韦达定理结合弦长公式，求面积即可得解.方案二选择条件②．（1）将，代入抛物线方程可得，所以抛物线的标准方程为；（2）同方案一；方案三  选择条件③．（1）当轴时，，可得， 故抛物线的标准方程为；（2）同方法一.【详解】方案一  选择条件①．（1）由抛物线的定义可得．因为，所以，解得．    故抛物线的标准方程为．        （2）设，，，由（1）可知． 由，得，则，，所以，故．    因为点到直线的距离，所以的面积为．方案二  选择条件②．（1）因为，所以，，因为点在抛物线上，所以，即，解得，    所以抛物线的标准方程为．        （2）设，，由（1）可知．        由，得，则，，所以，故．    因为点到直线的距离，所以的面积为．    方案三  选择条件③．（1）当轴时，，所以．    故抛物线的标准方程为．        （2）设，，由（1）可知．由，得，则，，所以，故．    因为点到直线的距离，所以的面积为．22．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.【详解】（1）因为函数，所以，.又因为，则切点坐标为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）函数定义域为，由（1）可知，.令解得.与在区间上的情况如下：－0＋↘极小值↗ 所以，的单调递增区间是；的单调递减区间是.（3）当时，“”等价于“”.令，，，.令解得，当时，，所以在区间单调递减.当时，，所以在区间单调递增.而，.所以在区间上的最大值为.所以当时，对于任意，都有.【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.