2021-2022学年新疆克拉玛依高级中学高二5月月考数学试题（理）（解析版）

2021-2022学年新疆克拉玛依高级中学高二5月月考数学试题（理）

一、单选题

1．已知函数在处的导数为2，则（    ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据极限与导数的关系直接求解.

【详解】根据极限与导数的关系可知，

故选:D.

2．已知某中学高二年级学生某次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间内的概率为（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6

【答案】A

【分析】由正态分布的密度曲线的对称性可得.

【详解】因为，所以．又，所以．由正态分布的密度曲线的对称性可得．

故选：A.

3．若随机变量X的概率分布表如下：

则（    ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16

【答案】C

【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解.

【详解】根据概率的性质可得，

所以，

所以，

故选:C.

4．4位男同学和5位女同学排成一排拍照，则这4位男同学排在一起的排法数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】相邻问题用“捆绑法”.

【详解】将4位男同学看作一个人，与5位女同学排成一排，则有种排法，再排4位男同学，有种排法，所以共有种排法.

故选：A.

5．盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依据古典概型去求两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率

【详解】记“从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A

则

故选：B

6．下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：

①，是函数的极小值点；

②是函数的极大值点；

③在处切线的斜率大于零；

④在区间上单调递增．

则正确的命题的序号是（    ）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义，及导数与单调性，单调性及极值的关系进行判断即可．

【详解】① ．当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点，

当时，且左右两侧同时为负，此时单调递减，无极值点，故①错误；

②．当时，且左侧为正，右侧为负，此时在的左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故②正确；

③．由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故③正确；

④．当时，，故在为单调递减，故④错误；

综上可知，②③正确

故选：C．

7．将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温､信息登记､维持秩序､现场指引4个岗位，每名志愿者只分配1个岗位，每个岗位至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（    ）

A．120种 B．240种 C．360种 D．480种

【答案】B

【分析】首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：首先从5人中选出2人作为一组，再与其余3人一同分配到4个不同的岗位，

故有种不同的分配方案；

故选：B

8．若是函数的极值点，则的值是（    ）

A． B．0 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据即可得解.

【详解】的定义域为，

，

因为是函数的极值点，

所以，即，所以，

当时，，

令，得，令，得，

所以在处取得极小值，符合题意.

综上所述：.

故选：A

9．函数的最大值

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数判断函数的单调性，得到函数在区间上递增，从而求出函数的最大值

【详解】∵，∴在区间上为增函数，

∴的最大值为．故选C.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，若函数在闭区间上是增函数，则函数的最大值在区间的后端点处取得

10．已知在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】转化为，即在上恒成立，利用最小值可得结果.

【详解】因为，

所以，即在上恒成立，

当时，，所以.

所以实数a的取值范围为.

故选：A

11．已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.

【详解】令，则，所以函数在区间上单调递增，所以，解之得或，即原不等式的解集为，

故选：B.

12．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数的性质判断函数的单调性，最后利用常变量分离法构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，结合新函数的单调性进行求解即可.

【详解】由已知得，所以为奇函数.

因为，所以为R上的增函数.

由得，

则，得.

令，则，

令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.故，

所以，即，

故选：C.

【点睛】关键点睛：利用常变量分离法是解题的关键.

二、填空题

13．展开式中的常数项为_________．

【答案】

【分析】运用二项式定理即可.

【详解】由二项式定理， 的展开项的通项公式为 ，

当 时为常数项，即 ；

故答案为： .

14．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值为________.

【答案】

【分析】由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解

【详解】该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为：

，解得．

故答案为：

15．若函数在处的切线方程为，则_________．

【答案】

【分析】利用导数求函数图象切线的斜率，再根据点斜式写出切线方程，转化为斜截式即可求解.

【详解】，所以，所以切线的斜率为3，

又因为，所以切点的坐标为，

所以切线方程为即，

所以，所以.

故答案为:.

16．函数的单调递减区间是_______.

【答案】

【分析】求得函数的导数，令导数小于0，即可求得答案.

【详解】由题意得：，

令 ，解得 ，

由于 ，故，

所以函数的单调递减区间是，

故答案为：

三、解答题

17．求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】利用导数的运算法则求解.

【详解】（1）解：因为，

所以；

（2）因为，

所以；

（3）因为，

，

所以.

18．某企业主管部门为了解企业某产品年营销费用x（单位：万元）对年销售量）（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用和年销售量做了初步处理，得到的散点图及一些统计量的值如下：

根据散点图判断，发现年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）之间可以用进行回归分析．

(1)求y关于x的回归方程；

(2)从该产品的流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图：规定产品的质量指标值在的为劣质品，在的为优等品，在的为特优品，销售时劣质品每件亏损0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率．如果企业今年计划投入的营销费用为80万元，请你预报今年企业该产品的销售总量和年总收益．

附：①收益＝销售利润－营销费用；

②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【答案】(1)；

(2)今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元．

【分析】（1）求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）求出产品的质量指标值在、、的频率，由（1）估计销售总量，再由已知列式计算作答.

【详解】（1）根据题意得，，

，，

y关于x的回归方程为.

（2）由（1）可知：当时，，即营销费用为80万元，该产品的销售总量约为180万件，

由频率分布直方图知，产品的质量指标值在、、的频率分别为、、，

以频率为概率可以估计：销售的180万件产品中，劣质品约为180×0.25=45（万件），

优等品约为180×0.65＝117（万件），特优品约为180×0.1＝18（万件），

估计今年企业该产品的总收益为：（万元），

所以，今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元.

19．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕．吉祥物“冰墩墩”以其可爱的外形迅速火爆出圈，其周边产品更是销售火热，甚至达到“一墩难求”的现象某购物网站为了解人们购买“冰墩墩”的意愿，随机对90个用户（其中男30人，女60人）进行问卷调查，得到如下列联表：

(1)完成上述列联表，并回答是否有的把握认为“购买意愿”与性别有关？

(2)若以这90个用户的样本的概率估计总体的概率，现再从该购物网站所有用户中，采用随机抽样的方法每次抽取1名用户，抽取4次，记被抽取的4名用户对“冰墩墩”有购买意愿的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，写出的分布列，并求期望和方差．

参考公式：，其中．

临界值表：

【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为“购买意愿”与性别有关.

(2)分布列见解析，，.

【分析】（1）根据列联表和独立性检验的定义以及方法直接求解即可.（2）根据二项分布的概念，求出概率列出分布列，即可求解数学期望和方差.

【详解】（1）由图表可知，没有购买意愿的男性有人，

有购买意愿的女性有人，

所以列联表如下：

，

所以没有的把握认为“购买意愿”与性别有关.

（2）由题意，有购买意愿的比例为，

可能的取值有，且，

,,

,,

,

所以分布列如下：

所以,

20．已知函数，曲线在处的切线方程为.

(1)求的值；

(2)求在区间上的最值.

【答案】(1)，

(2)最大值为13，最小值为5

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值.

【详解】（1），

，

又∵曲线在处的切线方程为.

，，即得：，

解得：，

（2）由（1）得：，，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

因为，，所以.

在区间上的最大值为13，最小值为5.

21．已知函数

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，求证：．

【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)证明见解析.

【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；

（2）即证设，即证. 利用导数求出即得证.

【详解】（1）解：当时，所以

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）解：当时，即证

因为，所以即证

设，即证.

,

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

所以.

所以原题得证.

22．已知函数

(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)当时，讨论f（x）的单调性；

(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.

【答案】(1)；

(2)答案见解析；

(3)证明见解析.

【分析】（1）对函数求导，进而根据导数的几何意义求出答案；

（2）先得到导函数，进而讨论的零点分布，然后求出答案；

（3）根据题意可以得到存在两个互异的正实数根，然后通过根据根与系数的关系得到，则有，进而可以得到，然后探讨函数的最值，最后证明问题.

【详解】（1）若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.

（2）f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.

①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.

②当时，即时，设两根为.

当时，，即，即f（x）的增区间为，.

当时，，即，即f（x）的减区间为.

综上：当时，f（x）的单增区间为；

当时，f（x）的增区间为

减区间为().

（3）由（2），

因为f（x）存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，

所以，则，所以，

所以

.

令，则，

∵，∴，∴在上单调递减，

∴，而，

即，∴.

【点睛】本题第（3）是典型的双变量问题，可以作为范题，本题的要领在于通过根与系数的关系将双变量问题转化为单变量问题，平常注意归纳总结.