2022-2023学年福建省福州市三校高二上学期期中联考数学试题

2022-2023学年第一学期期中考试

高二数学试卷

（满分：150 分；考试时间：120 分钟）

班级         姓名          座号          

一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1．圆心为，半径的圆的标准方程为（　　）

A． B．

C． D．

2．过两点和的直线在y轴上的截距为（     ）

A． B． C． D．

3．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（     ）

A． B． C． D．

4．直线的倾斜角的取值范围（     ）

A． B．

C． D．

5．圆与圆的位置关系为（     ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

6．已知，则下列向量是平面ABC法向量的是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于60°．若是的中点，则（     ）

A．                     B． 

C．                     D．

8．已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（     ）

A． B． C．          D．

二、多选题:（本大题共4小题，每小题5分，漏选得2分，共20分）

9．若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（     ）

A．-2 B．0 C．1 D．2

10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ）

A．若，且，则

B．和的夹角的余弦值

C．若与互相垂直，则k的值为2；

D．若与z轴垂直，则，应满足

11．已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为.下列结论中正确的是（     ）

A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为

C．直线l的方程为 D．直线l的方程为

12．设，为椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上.若为直角三角形，则下列说法正确的是（     ）

A．符合条件的M点有4个 B．M点的纵坐标可以是

C．的面积一定是 D．的周长一定是

三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．向量，，且，则向量在上的投影向量的坐标为______．

14．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________

15．已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A是椭圆的左顶点，点在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为______.

16．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为___________；

异面直线与夹角的余弦值为___________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本小题10分）已知点和直线：.

(1)求过且与直线的平行的直线方程；

(2)求点关于直线：的对称点的坐标.

18．（本小题12分）已知.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值.

19．（本小题12分）如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，，且，点E在PC上．

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若E为PC的中点，求二面角B-ED-C的余弦值．

20．（本小题12分）已知直线．

(1)判断直线是否过定点，如果过定点求出此定点，不过说明理由；

(2)若直线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点B，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．

21．（本小题12分）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点.从①直线相切；②圆关于直线对称；③圆的公切线长是这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.

(1)求圆A的方程;

(2)当时，求直线l的方程.

22．（本小题12分）已知椭圆：，，点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，

证明，斜率之积为定值.

2022-2023学年第一学期期中考试

高二数学参考答案及评分标准

一、单选题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)

1-8BCDCBCAA

二、多选题:（本大题共4小题，每小题5分，漏选得2分，共20分）

9．BCD   10.BD   

11．AD    12.BD

10【详解】依题意，，，

对于A，因，而，且，则或，A不正确；

对于B，，B正确；

对于C，因与互相垂直，则，

解得或，C不正确；

对于D，，z轴的一个方向向量，

依题意，，即，D正确.

11．【详解】圆满足 ，可得 ，

又由题意弦AB的中点为可得点M在圆内，

将点M坐标代入圆的方程可得：，即，故A正确，B错误；

根据圆的性质可得： ，

由圆，

得圆心，而，∴直线l的斜率k为，

由点斜式可得直线l的方程为： ，即，故C错误，D正确；

故选：AD

12．BD

【详解】椭圆的长半轴长，焦点，，为直角三角形，

以为直角顶点的直角有2个，以为直角顶点的直角有2个，

显然椭圆C的半焦距，短半轴长，，以线段为直径的圆与椭圆C有4个公共点，

以为直角顶点的直角有4个，因此，符合条件的M点有8个，A不正确；

以为直角顶点时，设，由消去得：，即M点的纵坐标为，B正确；

由选项B知，以为直角顶点时，的面积，C不正确；

由椭圆定义知，的周长为，D正确.

故选：BD

三、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．

14．或或

15．(或0.5）

【详解】由题意知，直线的方程为：，

由为等腰三角形，，得，

过作垂直于轴，如图，则在中，，

故，，

所以，即，

代入直线，得，即，

所以所求的椭圆离心率为.

故答案为：.

.

16．         

【详解】（1）设，，

由已知得，，，，

又，

．

（2），．

．

故答案为：；

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．(1)(2)

【分析】（1）由直线平行时，其一般式仅常数项不同，可设所求直线为，再代入即可得解；

（2）不妨设所求点为，由对称性可知及线段的中点落在直线上，得到方程组，解之即可.

（1）因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，

代入得，解得，

故所求直线方程为.

（2）设关于的对称点为，

又直线：可化为，

故由及线段的中点落在直线上可得：

，解得，

所以对称点坐标为.

18．(1)；(2)或.

【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；

（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；

（1），

若，则，即，解得；

（2）

，若，则，即，化简可得，解得或.

19．(1)证明见解析(2)

（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，AC、底面ABCD，

所以PA⊥AC，PA⊥BD，

所以，，

所以矩形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，

因为，所以BD⊥平面PAC．

（2）由（1）知AB、AD、AP两两垂直，建系如图，

，，，，，

，，，

设平面BED的法向量为，

则，，即，，

所以可取，

设平面EDC的法向量为，则，，

即，，可取

因为二面角B-ED-C为锐二面角，所以二面角B-ED-C的余弦值为．

20．(1)直线恒过定点

(2)，直线l的方程为x﹣2y+4＝0

【分析】（1）将直线整理成关于的方程，再构造和的方程组，解之即可；

（2）易知，，，结合和基本不等式，即可得解．

（1）将直线整理成，

令，解得，，

直线恒过定点．

（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为，，

所以，，，

因为，，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，此时直线的方程为．

21．(1)；(2)，或.

【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；

选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可；

选③：根据两圆公切线的性质进行求解即可.

（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.

（1）选①：因为圆A与直线相切，

所以圆A的半径为，

因此圆A的方程为；

选②：因为圆A与圆关于直线对称，

所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为，

所以圆A的方程为；

选③：设圆的圆心为，两圆的一条公切线为

两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：

设圆A的半径，

因此有：，

所以圆A的方程为；

（2）三种选择圆A的方程都是，

当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为，

把代入中，得，

显然，符合题意，

当过点的动直线l存在斜率时，设为，直线方程为，圆心到该直线的距离为：，

因为，所以有，

即方程为：

综上所述：直线l的方程为，或.

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据与点在上代入椭圆方程求解即可；

（2）设的方程为，联立与椭圆的方程，设，，表达出，再代入韦达定理化简即可.

（1）

由题意得，故椭圆为，

又点在上，所以，得，，

故椭圆的方程即为；

（2）

由已知直线过，设的方程为，

联立两个方程得，消去得：，

得，

设，，则，（*），

因为，故，

将（*）代入上式，可得：，

∴直线与斜率之积为定值．