2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高二上学期期中考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高二上学期期中考试数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角；【详解】解：直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以故选：A2．若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根据公式，即可求解.【详解】若方程表示圆，则，解得：或.故选：C3．如图，直线的斜率分别为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接由斜率的定义判断大小即可.【详解】由斜率的定义知，.故选：D.4．数列的一个通项公式为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.【详解】解：由题意，在数列中，分母是以2为首项，2为公比的等比数列分子是以3为首项，2为公差的等差数列，∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，∴比例系数为∴数列的一个通项公式为：故选：C.5．已知等差数列的前项和为，若与方程的两个实根，则（    ）A．46 B．44 C．42 D．40【答案】B【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求解.【详解】因为与方程的两个实根，所以.由等差数列的性质可得：，所以.故选：B6．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ）A． B． C．  D． 【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【详解】由解得，则直线的交点，又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.7．已知等比数列的前3项和为，则（    ）A．24 B．12 C．6 D．3【答案】B【分析】所得等比数列的首项和公比，从而求得.【详解】设等比数列的公比为，，，解得，所以.故选：B8．若数列满足，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用累乘法求出数列的通项公式，进而求出.【详解】解：由题意， ，在数列中，，∴.故选：A. 二、多选题9．若直线，则下列说法正确的是（    ）A．直线的纵截距为3B．是直线方向向量C．直线过点D．是直线的法向量【答案】BCD【分析】通过待定系数法求出斜率，截距，直线与坐标轴的交点以及是否过点，计算出方向向量，以及垂直于直线的直线的斜率，进而求出直线的法向量.【详解】解：由题意，在直线中，当时，，解得，∴直线的图像过，纵截距为-3，A错误.当时，，解得，∴直线的图像过，∴直线方向向量为，故B正确.当时，，解得，∴直线过点，故C正确.∵直线的斜率为，∴垂直于直线的斜率为，∴垂直于直线的直线的一个方向向量为,故D正确.故选：BCD.10．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ）A．B．是数列中的项C．数列单调递减D．数列前7项和最大【答案】ACD【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD11．已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（   ）A．点在直线上 B．点在圆上C．直线与圆相离 D．直线与圆相切【答案】ABD【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.【详解】解：将点代入直线l的方程，满足，所以点M在圆C上，A选项正确；将点代入圆C的方程，满足，所以点M在圆C上，B选项正确；圆心到直线的距离直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；故选：ABD.12．设数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ）A． B．为等比数列C． D．【答案】ABD【分析】根据，结合等比数列的定义与通项公式逐项分析判断.【详解】∵，则，即，∴数列是以首项，公比的等比数列，则，故A、B正确；又∵，显然不符合上式，则，故C错误，D正确；故选：ABD. 三、填空题13．数列的前项和为__________.【答案】【分析】利用分组转化法，根据等差和等比数列求和公式求解.【详解】数列的前项和为 故答案为：14．在平面直角坐标系中,曲线与坐标轴的交点都在圆上,则圆的方程为_____.【答案】【详解】试题分析：根据题意令y=0，可知，同时令x=0,得到函数与y轴的交点坐标为（0，1），那么利用圆的性质可知，与x轴的两个根的中点坐标即为圆心的横坐标为3，设圆心为：，则，解得因此可知圆的方程为，故答案为．【解析】本试题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．点评：解决该试题的关键是确定出交点的坐标，然后结合交点坐标，得到圆心坐标和圆的半径，进而秋季诶圆的方程，属于基础题．15．关于的方程有实数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】问题转化为表示的曲线与直线有交点，利用数形结合求的取值范围.【详解】，两边平方后得，且，即表示斜率为1的直线，若方程有实数解，则表示的曲线与直线有交点，如下图，直线与半圆有交点，有2个临界点，一个是当直线与半圆相切时，根据，得，因为切点在第二象限，所以，另一个是交于点处，此时，由两个临界值可知.故答案为：16．冰墩墩作为北京冬奥会的吉祥物特别受欢迎，官方旗舰店售卖冰墩墩运动造型多功能徽章，若每天售出件数成递增的等差数列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；价格每天成递减的等差数列，第1天每件100元，第21天每件60元，则该店第__________天收入达到最高.【答案】6【分析】设第n天售出件数为,设第n天价格为，分析出 均为等差数列，设第n天的收入为,得到，利用二次函数求最值即可.【详解】设第n天售出件数为,设第n天价格为.由题意, 均为等差数列,设公差分别为.所以所以.假设第n天的收入为,则，所以当时, 取最大值,即第6天收入达到最高.故答案为：6 四、解答题17．若，判断是等差数列还是等比数列，并证明.【答案】是等差数列不是等比数列【分析】利用等差中项法和等比中项法进行判断.【详解】因为，所以，，，所以，而，所以，所以是等差数列.而，，所以，所以不是等比数列.18．已知直线．（1）若，求实数的值；（2）当时，求直线与之间的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由垂直可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程.（2）由平行可得两直线系数关系，即可得关于实数a的方程，进而可求出两直线的方程，结合直线的距离公式即可求出直线与之间的距离.【详解】（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，且，∴且，解得，∴，即∴直线间的距离为．【点睛】本题考查了由两直线平行求参数，考查了由两直线垂直求参数的值，属于基础题.19．已知直线过点，圆.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】(1)或(2)或. 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.【详解】（1）解：由题意可知，圆的圆心为，半径，①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时直线与圆相离，不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为，设直线的方程为，化为一般式：，若直线l与圆相切，则，即，解得，所以，的方程为：，即l：或综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；（2）解：由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为，所以，直线的方程为，即，设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理可得，，即，整理得，，解得，所以，直线l的方程为，所以，所求直线方程为：或.20．已知等差数列的前项和为，(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据公式可求得．（2）结合（1）得，再根据裂项相消法求数列的和．【详解】（1）解：因为，当时，当时，又也适合上式 所以（2）解：由（1）知所以，，所以，21．已知圆和.(1)证明：圆与圆相交；(2)求圆与圆的公共弦长.【答案】(1)见解析；(2). 【分析】(1)根据两圆的一般方程求出两圆的圆心坐标及半径，只需证明即可；(2)求出公共弦所在的直线方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可.【详解】（1）证明：由题意可得，，因为,又因为，所以圆与圆相交；（2）解：由可得，即两圆的公共弦所在的直线方程为，则圆到公共弦的距离，所以公共弦长为：.22．已知过点且斜率为的直线与圆相交于两点.(1)求实数的取值范围；(2)若，其中为坐标原点，求直线的方程.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得即可得解.【详解】（1）设直线的方程为．因为直线与圆交于两点，所以，解得．所以的取值范围为．（2）设，．将代入方程，整理得，所以，，所以．由题设得，解得，所以直线的方程为.