数学人教版28.1 锐角三角函数获奖教学设计

28．2．1    解直角三角形

教学目标

1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点)

2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点)

教学过程

一、情境导入

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．

在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

【类型一】 利用解直角三角形求边或角

已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形．

(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；

(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长．

解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．

解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝，即c＝＝＝24，∴b＝sinB·c＝×24＝12；

(2)在Rt△ABC中，∵a＝6，b＝6，∴tanA＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12.

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．

【类型二】 构造直角三角形解决长度问题

一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD的长．

解析：过点B作BM⊥FD于点M，求出BM与CM的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．

解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12，∴BC＝AC＝12.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12×＝12，CM＝BM＝12.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝4，∴CD＝CM－MD＝12－4.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．

【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题

如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，D为边AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面积．

解析：首先利用正弦的定义设BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，从而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解．

解：∵∠C＝90°，∴在Rt△ABC中，sinA＝＝，设BC＝3k，则AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴S△ABC＝AC·BC＝×4×6＝12.所以△ABC的面积是12.

方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．

探究点二：解直角三角形的综合

【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合

已知等腰三角形的底边长为，周长为2＋，求底角的度数．

解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数．

解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝，∵周长为2＋，∴AB＝AC＝1.过A作AD⊥BC于点D，则BD＝，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝＝，∴∠ABD＝45°，即等腰三角形的底角为45°.

方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值．

【类型二】 解直角三角形与圆的综合

已知：如图，Rt△AOB中，∠O＝90°，以OA为半径作⊙O，BC切⊙O于点C，连接AC交OB于点P.

(1)求证：BP＝BC；

(2)若sin∠PAO＝，且PC＝7，求⊙O的半径．

解析：(1)连接OC，由切线的性质，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答．

解：(1)连接OC，∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；

(2)延长AO交⊙O于点E，连接CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝，设OP＝x，AP＝3x，∴AO＝2x.∵AO＝OE，∴OE＝2x，∴AE＝4x.∵sin∠PAO＝，∴在Rt△ACE中＝，∴＝，∴＝，解得x＝3，∴AO＝2x＝6，即⊙O的半径为6.

方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程．

三、板书设计

1．解直角三角形的基本类型及其解法；

2．解直角三角形的综合．

教学反思

本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.