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高中物理高考 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
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这是一份高中物理高考 第1讲 曲线运动 运动的合成与分解，共30页。学案主要包含了堵点疏通，对点激活等内容，欢迎下载使用。
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识点 曲线运动 Ⅱ
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的eq \x(\s\up1(01))切线方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的eq \x(\s\up1(02))方向时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是eq \x(\s\up1(03))变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的eq \x(\s\up1(04))加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受eq \x(\s\up1(05))合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
知识点 运动的合成与分解 Ⅱ
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作eq \x(\s\up1(01))分运动，物体的实际运动叫作eq \x(\s\up1(02))合运动。
(2)运动的合成：由eq \x(\s\up1(03))分运动求eq \x(\s\up1(04))合运动的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由eq \x(\s\up1(05))合运动求eq \x(\s\up1(06))分运动的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从eq \x(\s\up1(07))矢量运算法则。
3．合运动的性质
一 堵点疏通
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( )
3．做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向曲线的凹侧。( )
4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。( )
5．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( )
6．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√
二 对点激活
1.(人教版必修第二册·P6·演示实验改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B.v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D.v增大时，t增大
答案 B
解析 红蜡块沿管上升的高度和速度不变，由合运动与分运动的等时性知，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，B正确，A、C、D错误。
2．(人教版必修第二册·P9·T2改编) (多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如右图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 BC
解析 运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确。
3．小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁体放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁体放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁体放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
答案 b c 不在
解析 磁体对小钢珠有吸引力，当磁体放在位置A，即在小钢珠的正前方时，小钢珠所受合力的方向与运动的方向在同一条直线上，所以其运动轨迹为直线，故应是b；当磁体放在位置B时，小钢珠受磁体的吸引而逐渐接近磁体，所以其运动轨迹是c；当物体所受的合力方向与它的速度的方向在同一条直线上时，其轨迹是直线，当不在同一条直线上时，是曲线。
考点 1 合运动的性质和轨迹
1.合运动性质的判断
(1)合加速度(或合力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变化：匀变速运动))
(2)eq \a\vs4\al\c1(合加速度或合力,方向与速度方向)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的凹侧。
3．合力与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fxtanα，质点做直线运动
D．如果Fx>Fyctα，质点向x轴一侧做曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件是什么？
提示：初速度不为零，且受到的合力与初速度不在同一条直线上。
(2)物体做曲线运动时，合力方向与轨迹的关系是什么？
提示：合力方向指向轨迹凹侧。
尝试解答 选CD。
若Fy＝Fxtanα，合力方向与初速度方向在同一条直线上，质点做直线运动；若Fx>Fyctα，合力方向指向v0与x轴之间，质点向x轴一侧做曲线运动，故C、D正确，A、B错误。
决定物体运动轨迹的两个因素
决定物体运动轨迹的两个因素是：初速度与合力。物体做曲线运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。
[变式1－1] (2020·湖北省部分重点中学新高三起点考试)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁体，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁体，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
答案 D
解析 第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁体的吸引力方向总是指向磁体，是变力，故小球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但并不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故C错误，D正确。
[变式1－2] 质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，已知质点在y轴方向的分运动是匀速运动，则关于质点运动的描述正确的是( )
A．质点先减速运动后加速运动
B．质点所受合力的方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向
C．质点的加速度方向始终与速度方向垂直
D．质点所受合力的大小不可能恒定不变
答案 B
解析 质点所受合力方向与加速度方向相同，质点在y轴方向的分运动是匀速运动，Fy＝0，合力一定在x轴方向上，由于合力指向曲线轨迹的凹侧，所以合力方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，B正确；速度沿轨迹的切线方向，所以合力方向先与速度成锐角后与速度成钝角，质点先加速运动后减速运动，A错误；加速度总沿x轴方向，而速度并不总沿y轴方向，因此加速度方向并不始终与速度方向垂直，C错误；质点在x轴方向的加速度大小可能是恒定值，因此合力的大小也可能是恒定值，D错误。
考点 2 运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。
例2 (多选)如图在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
(1)消防队员同时参与了哪两个分运动？
提示：沿梯子向上的匀速运动和随车前进。
(2)两个直线运动的合运动取决于什么？
提示：合初速度与合加速度(或合力)的方向。
尝试解答 选BC。
两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
求解运动的合成与分解问题的技巧
(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
(2)物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
[变式2－1] (2020·四川省宜宾市高三上学期一诊)如图所示为工厂中的行车示意图，行车水平向右匀速运动，同时悬挂工件的悬线保持在竖直方向，且工件匀速上升，则工件运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B.大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D.大小和方向均改变
答案 A
解析 工件同时参与了水平向右的匀速运动和竖直方向的匀速上升，水平和竖直方向的速度都不变，根据矢量合成的平行四边形定则，工件运动的合速度大小和方向均不变，故A正确。
[变式2－2] (2020·四川省成都市高三阶段性调研)(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α。则红蜡块R的( )
A．分位移y的平方与x成正比
B．分位移y的平方与x成反比
C．tanα与时间t成正比
D．合速度v的大小与时间t成正比
答案 AC
解析 由题意可知，红蜡块在y轴方向的分位移y＝v0t，而x轴方向的分位移x＝eq \f(1,2)at2，联立可得y2＝eq \f(2v\\al(2,0),a)x，故A正确，B错误；红蜡块R合速度的方向与y轴夹角为α，则有tanα＝eq \f(at,v0)，故C正确；x轴方向的分速度vx＝at，那么合速度v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋a2t2)，则合速度v的大小与时间t不成正比，故D错误。
考点 3 关联速度问题
1.问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳或杆的分速度v1,其二：与绳或杆垂直的分速度v2))
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例3 (2020·安徽省全国示范高中名校高三10月联考)如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a、b分别套在水平和竖直杆上。某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°，此时a、b两球的速度大小之比eq \f(va,vb)为(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(25,9) D.eq \f(25,16)
(1)a、b球的速度可以沿哪两个方向分解？
提示：沿线方向和垂直于线方向。
(2)如何找到两球速度的关联？
提示：沿线方向的分速度相等。
尝试解答 选A。
由题意可知，a、b球沿线方向的分速度相同，即：vasin37°＝vbcs37°，解得：eq \f(va,vb)＝eq \f(4,3)，故A正确。
关联速度问题常见模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看作两物体在接触处有一根极短的杆或绳。
[变式3－1] (2020·广东省化州市高三上学期一模)在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则( )
A．绳对船的拉力逐渐增大
B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变
D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
答案 A
解析 对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有：Fcsθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳子的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcsθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
[变式3－2] (2020·山西省八校高三上第一次联考)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0csθ＝vcsθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
1.模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
2．模型条件
(1)物体同时参与两个匀速直线运动。
(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
3．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
(3)三种情景
【典题例证】
一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2cs30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝eq \f(d,sinα)，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝eq \f(v2,v1)＝eq \f(3,5)，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝eq \f(d,v2csα)＝eq \f(180,1.2) s＝150 s
x＝eq \f(d,sinα)＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90eq \r(5) m
(2)船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
名师点睛 求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，t＝eq \f(x⊥,v⊥)＝eq \f(x水,v水)＝eq \f(x合,v合)。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
【针对训练】
(2020·安徽省江淮十校高三上第二次联考)一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
答案 D
解析 两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即eq \f(tA,tB)＝eq \f(vB合,vA合)＝eq \f(\f(vB,tanθ),\f(vA,sinθ))＝eq \f(vB,vA)csθ，而v水＝eq \f(vA,tanθ)＝eq \f(vB,sinθ)，即csθ＝eq \f(vB,vA)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(v\\al(2,B),v\\al(2,A))，故D正确，A、B、C错误。
1．(2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
答案 D
解析 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
2.(2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
答案 B
解析 卫星在转移轨道经赤道上空时速度v1＝1.55×103 m/s，同步卫星的环绕速度v＝3.1×103 m/s，设发动机给卫星的附加速度为v2，由平行四边形定则，三个速度间关系如图所示，由余弦定理可得v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1)－2vv1cs30°)≈1.9×103 m/s，方向：东偏南，B正确。
3.(2020·广西柳州高三下学期4月线上测试)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
答案 BC
解析 设C点线速度方向与绳子的夹角为θ(锐角)，由题知C点的线速度大小为ωL，该线速度在沿绳方向上的分速度为ωLcsθ，即为重物M运动的速度，θ的变化规律是开始最大(90°)，然后逐渐变小，直至绳子和杆垂直，θ变为0°，然后θ又逐渐增大，所以重物M做变速直线运动，故B正确，A错误；θ角先减小后增大，所以ωLcsθ先增大后减小，即重物M的速度先增大后减小，绳子和杆垂直时最大，最大速度为ωL，故C正确，D错误。
4．(2020·河北省唐山市高三上学期第一次联考)(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1)
C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
答案 CD
解析 由题意可知，若船在静水中的速度大于河水流速，即v2＞v1，当船的合速度垂直河岸时，航程最短，如图1所示，则有csθ＝eq \f(v1,v2)；若船在静水中的速度小于河水流速，即v2＜v1，当船的合速度垂直船在静水中的速度时，航程最短，如图2所示，则有csθ＝eq \f(v2,v1)。故C、D正确，A、B错误。
5．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cs72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vMsin72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcs17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝eq \f(v\\al(2,1),2a1)③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcs72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin17.2°＝ma2⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝eq \f(2v1,a1)⑦
L＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2020·安徽省皖南八校高三上摸底联考)对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A．受力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度可能和运动方向相同
答案 B
解析 做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2.(2020·福建省泉州市高三上质量检查)如图，一质点在某段时间内沿曲线从a点运动到b点，在a、b两处该质点的速率均不为零，则在这段时间内( )
A．该质点的加速度方向一定不断改变
B．该质点所受的合力大小一定不断改变
C．合力对该质点做的功一定不为零
D．合力对该质点的冲量一定不为零
答案 D
解析 质点由a到b做曲线运动，可能为匀变速曲线运动，加速度不变，合力不变，故A、B错误；质点由a到b可能速度大小不变，但速度方向一定变化，动量一定变化，但动能可能不变，则合力做的功可能为零，合力的冲量一定不为零，故C错误，D正确。
3．(2021·八省联考河北卷) 如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m。当小球再次落入手中时，小船前进的距离为(假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A．0.3 m B.0.6 m
C．0.9 m D.1.2 m
答案 B
解析 根据运动的独立性，小球在竖直上抛运动的过程中，小船以v＝1.0 m/s的速度匀速前行，由运动学规律有，小球竖直上抛至最大高度时h＝eq \f(1,2)gt2，可得小球上升至最大高度所用的时间t＝0.3 s，小球从抛出到再次落入手中的时间为2t，则当小球再次落入手中时，小船前进的距离为x＝v·2t＝1.0×2×0.3 m＝0.6 m，故B正确，A、C、D错误。
4.(2020·安徽省皖南八校高三上摸底联考)如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
答案 C
解析 两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸夹角均为θ，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，故A、B错误。甲船在平行河岸方向上的分速度大小为：v甲∥＝|v水－v甲csθ|，乙船在平行河岸方向上的分速度大小为：v乙∥＝v水＋v乙csθ，两船在平行河岸方向上的分位移分别为x甲∥＝v甲∥t，x乙∥＝v乙∥t，则x乙∥>x甲∥，又两船在垂直河岸方向上的分位移相同，则渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，故C正确，D错误。
5.如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A.eq \f(vsinα,L) B.eq \f(v,Lsinα)
C.eq \f(vcsα,L) D.eq \f(v,Lcsα)
答案 B
解析 棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒斜向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝eq \f(v,Lsinα)，故B正确。
6. 质点仅在恒力F的作用下，在xOy平面内由坐标原点运动到A点的轨迹如图所示，经过A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿( )
A．x轴正方向 B.x轴负方向
C．y轴正方向 D.y轴负方向
答案 D
解析 曲线运动的轨迹夹在v0与力中间，故B、C错误。曲线运动的速度方向无限趋近力的方向，但永远不能达到力的方向，故A错误，D正确。
7.民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1)
B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2)
D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,2)－v\\al(2,1)))
答案 BC
解析 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为eq \f(d,v2)，C正确，D错误；运动员放箭处离目标的距离为 eq \r(d2＋x2)，又x＝v1t＝v1·eq \f(d,v2)，故 eq \r(d2＋x2)＝ eq \r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1d,v2)))2)＝eq \f(d\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)),v2)，A错误，B正确。
8. (2020·福建省漳州市高三一模)如图，竖直放置间距为d的两个平行板间存在水平方向的风力场，会对场中的物体产生水平向右的恒定风力作用，与两板上边缘等高处有一个质量为m的小球P(可视为质点)。现将小球P从两板正中央由静止释放，最终小球运动到右板上的位置O。已知小球下降的高度为h，小球在竖直方向只受重力作用，重力加速度大小为g，则从开始位置运动到位置O的过程中( )
A．水平风力F＝eq \f(mgd,2h)
B．小球P的运动时间t＝ eq \r(\f(2h,g))
C．小球P运动的加速度a＝g
D．小球P运动的轨迹为曲线
答案 AB
解析 由于水平方向风力恒定，竖直方向重力恒定，因此两个力的合力恒定，又由于小球P的初速度为零，因此小球P做初速度为零的匀加速直线运动，运动轨迹为直线，D错误；小球P所受合力的方向与运动方向相同，运动可分解为水平方向初速度为0的匀加速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设水平方向的加速度为a水平，运动时间为t，则有eq \f(F,mg)＝eq \f(a水平,g)＝eq \f(\f(1,2)a水平t2,\f(1,2)gt2)＝eq \f(\f(d,2),h)，可得水平风力F＝eq \f(mgd,2h)，A正确；在竖直方向上，小球P做自由落体运动，h＝eq \f(1,2)gt2，解得运动的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，B正确；小球P竖直方向的加速度为a竖直＝g，水平方向的加速度为a水平＝eq \f(F,m)＝eq \f(gd,2h)，则小球P的加速度a>g，C错误。
9．(2020·四川省成都市蓉城名校联盟高三上第一次联考)在光滑水平面内有一直角坐标系xOy，在t＝0时刻，质量为m＝2 kg的物块从直角坐标系的坐标原点O以一初速度v0沿y轴正方向开始运动，同时受一沿x轴正方向的恒力F作用，其沿x方向的位移x与沿x方向的速度的平方veq \\al(2,x)关系如图甲所示，沿y方向的位移y随时间t的变化关系如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．物块做匀变速曲线运动
B．物块受到的恒力F＝1 N
C．t＝4 s时物块的位移s＝10 m，方向与x轴正方向成37°
D．t＝4 s时物块的速度为v＝5.5 m/s，方向与x轴正方向成37°
答案 AC
解析 分析物块在x方向上的运动情况，根据初速度为零的匀加速直线运动的速度与位移的关系x＝eq \f(v2,2a)结合图甲可知，物块在x方向上做初速度为零的匀加速直线运动，xveq \\al(2,x)图像的斜率表示加速度二倍的倒数，由图甲可知，a＝1 m/s2；分析物块在y方向上的运动情况，根据yt图像的斜率表示速度，由图乙可知，物块在y方向上做匀速直线运动，vy＝1.5 m/s，则物块做匀变速曲线运动，故A正确。根据牛顿第二定律可知，F＝ma＝2 N，故B错误。t＝4 s时，x方向上的位移x＝eq \f(1,2)at2＝8 m，y方向上的位移y＝6 m，根据运动的合成与分解可知，物块的位移s＝eq \r(x2＋y2)＝10 m，方向与x轴正方向的夹角θ满足tanθ＝eq \f(y,x)，可得θ＝37°，故C正确。t＝4 s时，物块的速度v＝ eq \r(at2＋v\\al(2,y))＝eq \f(\r(73),2) m/s，与x轴正方向的夹角φ满足tanφ＝eq \f(vy,at)＝eq \f(3,8)，即φ≠37°，故D错误。
10．(2020·安徽省安庆市高三第一学期期末教学质量监测)一个质量为m的质点以速度v0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为eq \f(v0,2)。质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( )
A．该质点做匀变速直线运动
B．经历的时间为eq \f(mv0,2F)
C．该质点不可能做圆周运动
D．发生的位移大小为eq \f(\r(21)mv\\al(2,0),8F)
答案 CD
解析 质点减速运动的最小速度不为0，说明质点不是做直线运动，力F是恒力，所以质点不可能做圆周运动，而是做匀变速曲线运动，A错误，C正确。设力F与初速度夹角为θ，因速度的最小值为eq \f(v0,2)，可知初速度v0在垂直力F方向的分量为eq \f(v0,2)，则初速度方向与恒力方向的夹角为150°；质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中，在恒力方向上有v0cs30°－eq \f(F,m)t＝0，在垂直恒力方向上，质点的位移大小为x＝eq \f(v0,2)t，在恒力方向上，质点的位移大小为y＝eq \f(tv0cs30°,2)，则质点的位移大小s＝eq \r(x2＋y2)，联立解得经历的时间为t＝eq \f(\r(3)mv0,2F)，发生的位移大小为s＝eq \f(\r(21)mv\\al(2,0),8F)，故B错误，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(2020·辽宁省鞍山市高三第一次质量监测)(15分)如图所示，质量为m的小球从A点以大小为v0的速度向右偏上45°的方向斜上抛，在运动的过程中除受重力外还始终受水平向右的大小F＝mg的恒力作用。经过一段时间后，小球经过与抛出点等高的B点。试求从A点运动到B点经历的时间t和A、B两点间的距离s。
答案 eq \f(\r(2)v0,g) eq \f(2v\\al(2,0),g)
解析 由题意，小球所受合力大小为：F合＝eq \r(F2＋m2g2)＝eq \r(2)mg，方向与初速度方向垂直，所以小球的加速度大小为：a＝eq \f(F合,m)＝eq \r(2)g，方向与初速度方向垂直；
由运动的分解可知，小球从A点运动到B点时，沿初速度方向的位移大小：x＝v0t，
沿加速度方向的位移大小：y＝eq \f(\r(2),2)gt2，
由题意知小球从A点运动到B点时沿初速度方向和沿加速度方向发生的位移大小相等，所以有：v0t＝eq \f(\r(2),2)gt2，
解得：t＝eq \f(\r(2)v0,g)，s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \f(2v\\al(2,0),g)。
12.(2020·河北衡水中学三月教学质量监测)(15分)如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小为：
v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1))＝ eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s，
设v与v2的夹角为θ，则csθ＝eq \f(v,v2)＝0.8。
(2)发动机熄火前，轮船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，发动机熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2减小到与v1的矢量和与v2方向垂直时，轮船相对于河岸的合速度最小，最小值为：vmin＝v1csθ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
考情分析
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用。单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识综合命题常以计算题形式出现。
重要考点
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2．抛体运动(Ⅱ)
3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4．匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5．离心现象(Ⅰ)
6．万有引力定律及其应用(Ⅱ)
7．环绕速度(Ⅱ)
8．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
9．相对论时空观与牛顿力学的局限性(Ⅰ)
实验五：探究平抛运动的特点
实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
考点解读
1.运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法，为抛体运动、类平抛运动的研究提供了理论基础，同时也是高考命题的重点。
2．平抛运动的规律及其研究方法是重点内容，也是高考的热点内容。常与静电场、动能定理、功能关系、直线运动、圆周运动等知识相结合。
3．高考对匀速圆周运动的向心力要求较高，考题多与机械能、电场、磁场等知识综合，考查的形式多样化，各种题型都有涉及，复习时应注重曲线运动特别是圆周运动与生产、生活、高科技的联系。
4．天体运动的学习是圆周运动和牛顿运动定律的应用和延伸，万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技发展的密切联系，是每年高考的命题热点。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、
一个匀变速直线运动
eq \x(\s\up1(08))匀变速曲线运动
两个初速度为零的
匀加速直线运动
eq \x(\s\up1(09))初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零
的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为eq \x(\s\up1(10))匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为eq \x(\s\up1(11))匀变速曲线运动
渡河
时间
最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河
位移
最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船csθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识点 曲线运动 Ⅱ
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的eq \x(\s\up1(01))切线方向。
2．运动性质：物体做曲线运动时，由于速度的eq \x(\s\up1(02))方向时刻改变，物体的加速度一定不为0，因此，曲线运动一定是eq \x(\s\up1(03))变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的eq \x(\s\up1(04))加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受eq \x(\s\up1(05))合力的方向与它的速度方向不在同一直线上。
知识点 运动的合成与分解 Ⅱ
1．基本概念
(1)分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动叫作eq \x(\s\up1(01))分运动，物体的实际运动叫作eq \x(\s\up1(02))合运动。
(2)运动的合成：由eq \x(\s\up1(03))分运动求eq \x(\s\up1(04))合运动的过程。包括位移、速度和加速度的合成。
(3)运动的分解：由eq \x(\s\up1(05))合运动求eq \x(\s\up1(06))分运动的过程。解题时应按实际效果分解，或正交分解。
2．遵从的规律：运动的合成与分解遵从eq \x(\s\up1(07))矢量运算法则。
3．合运动的性质
一 堵点疏通
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。( )
2．做曲线运动的物体一定受变力作用。( )
3．做曲线运动的物体，所受合力的方向一定指向曲线的凹侧。( )
4．做匀变速曲线运动的物体，速度方向时刻改变，但永远不可能与所受合力的方向相同。( )
5．两个直线运动的合运动一定是直线运动。( )
6．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。( )
答案 1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.× 6.√
二 对点激活
1.(人教版必修第二册·P6·演示实验改编)如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由管口上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。则下列说法正确的是( )
A．v增大时，L减小 B.v增大时，L增大
C．v增大时，t减小 D.v增大时，t增大
答案 B
解析 红蜡块沿管上升的高度和速度不变，由合运动与分运动的等时性知，运动时间不变，管匀速运动的速度越大，则合速度越大，合位移越大，B正确，A、C、D错误。
2．(人教版必修第二册·P9·T2改编) (多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如右图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
答案 BC
解析 运动员同时参与两个分运动：竖直向下的运动，水平方向沿风力的运动。两个分运动具有独立性、等时性，竖直分运动不受风力影响，所以运动员下落时间由竖直分运动决定，与风力无关，风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故B、C正确。
3．小文同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁体放在桌面的不同位置，让小钢珠在水平桌面上从同一位置以相同初速度v0运动，得到不同轨迹。图中a、b、c、d为其中四条运动轨迹，磁体放在位置A时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)，磁体放在位置B时，小钢珠的运动轨迹是________(填轨迹字母代号)。实验表明，当物体所受合力的方向跟它的速度方向________(选填“在”或“不在”)同一直线上时，物体做曲线运动。
答案 b c 不在
解析 磁体对小钢珠有吸引力，当磁体放在位置A，即在小钢珠的正前方时，小钢珠所受合力的方向与运动的方向在同一条直线上，所以其运动轨迹为直线，故应是b；当磁体放在位置B时，小钢珠受磁体的吸引而逐渐接近磁体，所以其运动轨迹是c；当物体所受的合力方向与它的速度的方向在同一条直线上时，其轨迹是直线，当不在同一条直线上时，是曲线。
考点 1 合运动的性质和轨迹
1.合运动性质的判断
(1)合加速度(或合力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变化：匀变速运动))
(2)eq \a\vs4\al\c1(合加速度或合力,方向与速度方向)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
2．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的凹侧。
3．合力与速率变化的关系
合力在垂直速度方向上的分力改变速度的方向，在沿速度方向的分力改变速度的大小，故合力与速率变化的关系为：
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
例1 (多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy
D．如果Fx>Fyctα，质点向x轴一侧做曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件是什么？
提示：初速度不为零，且受到的合力与初速度不在同一条直线上。
(2)物体做曲线运动时，合力方向与轨迹的关系是什么？
提示：合力方向指向轨迹凹侧。
尝试解答 选CD。
若Fy＝Fxtanα，合力方向与初速度方向在同一条直线上，质点做直线运动；若Fx>Fyctα，合力方向指向v0与x轴之间，质点向x轴一侧做曲线运动，故C、D正确，A、B错误。
决定物体运动轨迹的两个因素
决定物体运动轨迹的两个因素是：初速度与合力。物体做曲线运动的轨迹在合力与速度方向的夹角范围内，且弯向受力方向，这是分析该类问题的技巧。
[变式1－1] (2020·湖北省部分重点中学新高三起点考试)在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁体，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁体，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹。观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上
答案 D
解析 第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁体的吸引力方向总是指向磁体，是变力，故小球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力的方向与速度方向不在同一直线上，但并不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故C错误，D正确。
[变式1－2] 质点在xOy平面内从O点开始运动的轨迹如图所示，已知质点在y轴方向的分运动是匀速运动，则关于质点运动的描述正确的是( )
A．质点先减速运动后加速运动
B．质点所受合力的方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向
C．质点的加速度方向始终与速度方向垂直
D．质点所受合力的大小不可能恒定不变
答案 B
解析 质点所受合力方向与加速度方向相同，质点在y轴方向的分运动是匀速运动，Fy＝0，合力一定在x轴方向上，由于合力指向曲线轨迹的凹侧，所以合力方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，B正确；速度沿轨迹的切线方向，所以合力方向先与速度成锐角后与速度成钝角，质点先加速运动后减速运动，A错误；加速度总沿x轴方向，而速度并不总沿y轴方向，因此加速度方向并不始终与速度方向垂直，C错误；质点在x轴方向的加速度大小可能是恒定值，因此合力的大小也可能是恒定值，D错误。
考点 2 运动的合成与分解
1.合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始、同时进行、同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵从平行四边形定则。
例2 (多选)如图在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业。为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动。在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
(1)消防队员同时参与了哪两个分运动？
提示：沿梯子向上的匀速运动和随车前进。
(2)两个直线运动的合运动取决于什么？
提示：合初速度与合加速度(或合力)的方向。
尝试解答 选BC。
两个互成角度的匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动，互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动。当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动，B正确，A错误；当消防车匀加速前进时，因消防车加速度恒定，且与消防队员沿梯子运动的方向有一定夹角，故消防队员一定做匀变速曲线运动，C正确，D错误。
求解运动的合成与分解问题的技巧
(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动与分运动具有等时性、独立性。
(2)物体的实际运动是合运动。运动分解时一般按运动效果进行分解。
[变式2－1] (2020·四川省宜宾市高三上学期一诊)如图所示为工厂中的行车示意图，行车水平向右匀速运动，同时悬挂工件的悬线保持在竖直方向，且工件匀速上升，则工件运动的速度( )
A．大小和方向均不变 B.大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D.大小和方向均改变
答案 A
解析 工件同时参与了水平向右的匀速运动和竖直方向的匀速上升，水平和竖直方向的速度都不变，根据矢量合成的平行四边形定则，工件运动的合速度大小和方向均不变，故A正确。
[变式2－2] (2020·四川省成都市高三阶段性调研)(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一红蜡块R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动，合速度的方向与y轴夹角为α。则红蜡块R的( )
A．分位移y的平方与x成正比
B．分位移y的平方与x成反比
C．tanα与时间t成正比
D．合速度v的大小与时间t成正比
答案 AC
解析 由题意可知，红蜡块在y轴方向的分位移y＝v0t，而x轴方向的分位移x＝eq \f(1,2)at2，联立可得y2＝eq \f(2v\\al(2,0),a)x，故A正确，B错误；红蜡块R合速度的方向与y轴夹角为α，则有tanα＝eq \f(at,v0)，故C正确；x轴方向的分速度vx＝at，那么合速度v＝ eq \r(v\\al(2,0)＋a2t2)，则合速度v的大小与时间t不成正比，故D错误。
考点 3 关联速度问题
1.问题特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
(1)明确研究对象
绳(或杆)连接的物体，或绳(或杆)的端点。
(2)明确合运动与分运动
合速度→物体的实际运动速度v
分速度→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(其一：沿绳或杆的分速度v1,其二：与绳或杆垂直的分速度v2))
遵循的法则：v的分解(或v1与v2的合成)遵循平行四边形定则。
(3)明确等量关系
沿绳(或杆)方向的分速度大小相等。
例3 (2020·安徽省全国示范高中名校高三10月联考)如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a、b分别套在水平和竖直杆上。某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°，此时a、b两球的速度大小之比eq \f(va,vb)为(已知sin37°＝0.6，cs37°＝0.8)( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(25,9) D.eq \f(25,16)
(1)a、b球的速度可以沿哪两个方向分解？
提示：沿线方向和垂直于线方向。
(2)如何找到两球速度的关联？
提示：沿线方向的分速度相等。
尝试解答 选A。
由题意可知，a、b球沿线方向的分速度相同，即：vasin37°＝vbcs37°，解得：eq \f(va,vb)＝eq \f(4,3)，故A正确。
关联速度问题常见模型
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
拓展：若两物体运动过程中不是通过绳或杆连接，而是直接接触，则两物体在垂直接触面方向的分速度相等。也可以将这种情况看作两物体在接触处有一根极短的杆或绳。
[变式3－1] (2020·广东省化州市高三上学期一模)在岛上生活的渔民，曾用如图所示的装置将渔船拉到岸边。若通过人工方式跨过定滑轮拉船，使之匀速靠岸，已知船在此运动过程中所受阻力保持不变，则( )
A．绳对船的拉力逐渐增大
B．船所受水的浮力保持不变
C．岸上人拉绳的速度保持不变
D．岸上人拉绳的速度逐渐增大
答案 A
解析 对船进行受力分析，如图1，因为船做匀速直线运动，所以船处于平衡状态，所受合力为零；设绳对船的拉力与水平方向的夹角为θ，则有：Fcsθ＝f，Fsinθ＋F浮＝mg；船在匀速靠岸的过程中，θ增大，阻力f不变，根据平衡方程知，绳子的拉力F逐渐增大，船所受水的浮力逐渐减小，故A正确，B错误。将船的运动分解，如图2所示，设船匀速靠岸的速度为v，则有vcsθ＝v1，因θ增大，所以v1会减小，即岸上人拉绳的速度逐渐减小，故C、D错误。
[变式3－2] (2020·山西省八校高三上第一次联考)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要运动零件。如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P。在工作过程中，活塞在汽缸内上下做直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v0的匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v0
B．当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v0
C．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度等于v0
D．当O、P、Q在同一直线上时，活塞运动的速度大于v0
答案 A
解析 当OP与OQ垂直时，设∠PQO＝θ，此时活塞的速度为v，将P的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，将活塞的速度v分解为沿杆方向和垂直于杆方向的分速度，则此时v0csθ＝vcsθ，即v＝v0，A正确，B错误；当O、P、Q在同一直线上时，P沿杆方向的分速度为0，则活塞运动的速度等于0，C、D错误。
1.模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
2．模型条件
(1)物体同时参与两个匀速直线运动。
(2)一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。
3．模型特点
(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
(3)三种情景
【典题例证】
一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)若船在静水中的速度为v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)若v2＝5 m/s，欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度沿倾斜方向，垂直河岸分速度为
v⊥＝v2＝5 m/s。
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x＝v合t＝90eq \r(5) m。
(2)若v2＝5 m/s，欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向。船头应朝图乙中的v2方向。
垂直河岸过河要求v∥＝0，如图乙所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°。
所以当船头与上游河岸成60°角时航程最短，
x＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2cs30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s。
(3)若v2＝1.5 m/s，与(2)中不同，因为船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为α，则航程x＝eq \f(d,sinα)，欲使航程最短，需α最大，如图丙所示，由出发点A作出v1矢量，以v1矢量末端为圆心，v2大小为半径作圆，A点与圆周上某点的连线为合速度方向，欲使v合与河岸下游方向夹角最大，应使v合与圆相切，即v合⊥v2。
sinα＝eq \f(v2,v1)＝eq \f(3,5)，得α＝37°
所以船头应朝与上游河岸成53°角方向。
t＝eq \f(d,v2csα)＝eq \f(180,1.2) s＝150 s
x＝eq \f(d,sinα)＝300 m。
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90eq \r(5) m
(2)船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(3)船头与上游河岸成53°角 150 s 300 m
名师点睛 求解小船渡河问题的方法
小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)运动分解的基本方法：按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解。
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。求解渡河时间，一般根据运动的独立性，t＝eq \f(x⊥,v⊥)＝eq \f(x水,v水)＝eq \f(x合,v合)。
(4)求最短渡河位移时，当水速小于船速时即为河宽，当水速大于船速时，根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形定则求极限的方法处理。
【针对训练】
(2020·安徽省江淮十校高三上第二次联考)一艘船以vA的速度用最短的时间渡河，另一艘船以vB的速度从同一地点以最短的路程过河，两船轨迹恰好重合(设河水速度保持不变)，则两船过河所用的时间之比是( )
A．vA∶vB B.vB∶vA
C．veq \\al(2,A)∶veq \\al(2,B) D.veq \\al(2,B)∶veq \\al(2,A)
答案 D
解析 两船轨迹重合，知合速度方向相同，根据题意，vA垂直于河岸，vB与合速度方向垂直，如图，两船的合位移相等，则两船渡河时间之比等于两船合速度的反比，即eq \f(tA,tB)＝eq \f(vB合,vA合)＝eq \f(\f(vB,tanθ),\f(vA,sinθ))＝eq \f(vB,vA)csθ，而v水＝eq \f(vA,tanθ)＝eq \f(vB,sinθ)，即csθ＝eq \f(vB,vA)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(v\\al(2,B),v\\al(2,A))，故D正确，A、B、C错误。
1．(2018·北京高考)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球( )
A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零
B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零
C．落地点在抛出点东侧
D．落地点在抛出点西侧
答案 D
解析 上升过程水平方向向西加速运动，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向的“力”为零，所以水平方向的加速度为零，但水平方向上有向西的速度，且有竖直向下的加速度，故A、B错误；下降过程水平方向受到一个向东的“力”而向西减速运动，按照对称性落至地面时水平速度为零，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C错误，D正确。
2.(2015·全国卷Ⅱ)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示。发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A．西偏北方向，1.9×103 m/s
B．东偏南方向，1.9×103 m/s
C．西偏北方向，2.7×103 m/s
D．东偏南方向，2.7×103 m/s
答案 B
解析 卫星在转移轨道经赤道上空时速度v1＝1.55×103 m/s，同步卫星的环绕速度v＝3.1×103 m/s，设发动机给卫星的附加速度为v2，由平行四边形定则，三个速度间关系如图所示，由余弦定理可得v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1)－2vv1cs30°)≈1.9×103 m/s，方向：东偏南，B正确。
3.(2020·广西柳州高三下学期4月线上测试)(多选)如图所示，用一根长杆和两个定滑轮的组合装置来提升重物M，长杆的一端放在地面上通过铰链联结形成转轴，其端点恰好处于左侧滑轮正下方O点处，在杆的中点C处拴一细绳，通过两个滑轮后挂上重物M，C点与O点距离为L，现在杆的另一端用力，使其逆时针匀速转动，由竖直位置以角速度ω缓缓转至水平(转过了90°角)。下列有关此过程的说法中正确的是( )
A．重物M做匀速直线运动
B．重物M做变速直线运动
C．重物M的最大速度是ωL
D．重物M的最大速度是2ωL
答案 BC
解析 设C点线速度方向与绳子的夹角为θ(锐角)，由题知C点的线速度大小为ωL，该线速度在沿绳方向上的分速度为ωLcsθ，即为重物M运动的速度，θ的变化规律是开始最大(90°)，然后逐渐变小，直至绳子和杆垂直，θ变为0°，然后θ又逐渐增大，所以重物M做变速直线运动，故B正确，A错误；θ角先减小后增大，所以ωLcsθ先增大后减小，即重物M的速度先增大后减小，绳子和杆垂直时最大，最大速度为ωL，故C正确，D错误。
4．(2020·河北省唐山市高三上学期第一次联考)(多选)一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，v1、v2均不等于零。设船头的指向与上游河岸的夹角为θ，要使船划到对岸时航程最短，则θ可能满足( )
A．sinθ＝eq \f(v1,v2) B.tanθ＝eq \f(v2,v1)
C．csθ＝eq \f(v2,v1) D.csθ＝eq \f(v1,v2)
答案 CD
解析 由题意可知，若船在静水中的速度大于河水流速，即v2＞v1，当船的合速度垂直河岸时，航程最短，如图1所示，则有csθ＝eq \f(v1,v2)；若船在静水中的速度小于河水流速，即v2＜v1，当船的合速度垂直船在静水中的速度时，航程最短，如图2所示，则有csθ＝eq \f(v2,v1)。故C、D正确，A、B错误。
5．(2020·山东高考)单板滑雪U形池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin72.8°＝0.96，cs72.8°＝0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
(2)M、N之间的距离L。
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M点，设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
v1＝vMsin72.8°①
设运动员在ABCD面内垂直AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcs17.2°＝ma1②
由运动学公式得d＝eq \f(v\\al(2,1),2a1)③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m。④
(2)在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcs72.8°⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin17.2°＝ma2⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝eq \f(2v1,a1)⑦
L＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m。⑨
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6题为单选，7～10题为多选)
1．(2020·安徽省皖南八校高三上摸底联考)对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( )
A．受力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度可能和运动方向相同
答案 B
解析 做曲线运动的物体，一定做变速运动，有加速度，根据牛顿第二定律可知，所受合力不为零，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，即加速度与物体运动方向不在同一直线上，该合力可以是变力，也可以保持不变，即加速度可以保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2.(2020·福建省泉州市高三上质量检查)如图，一质点在某段时间内沿曲线从a点运动到b点，在a、b两处该质点的速率均不为零，则在这段时间内( )
A．该质点的加速度方向一定不断改变
B．该质点所受的合力大小一定不断改变
C．合力对该质点做的功一定不为零
D．合力对该质点的冲量一定不为零
答案 D
解析 质点由a到b做曲线运动，可能为匀变速曲线运动，加速度不变，合力不变，故A、B错误；质点由a到b可能速度大小不变，但速度方向一定变化，动量一定变化，但动能可能不变，则合力做的功可能为零，合力的冲量一定不为零，故C错误，D正确。
3．(2021·八省联考河北卷) 如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m。当小球再次落入手中时，小船前进的距离为(假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2)( )
A．0.3 m B.0.6 m
C．0.9 m D.1.2 m
答案 B
解析 根据运动的独立性，小球在竖直上抛运动的过程中，小船以v＝1.0 m/s的速度匀速前行，由运动学规律有，小球竖直上抛至最大高度时h＝eq \f(1,2)gt2，可得小球上升至最大高度所用的时间t＝0.3 s，小球从抛出到再次落入手中的时间为2t，则当小球再次落入手中时，小船前进的距离为x＝v·2t＝1.0×2×0.3 m＝0.6 m，故B正确，A、C、D错误。
4.(2020·安徽省皖南八校高三上摸底联考)如图所示，一条河岸笔直的河流水速恒定，甲、乙两小船同时从河岸的A点沿与河岸的夹角均为θ的两个不同方向渡河。已知两小船在静水中航行的速度大小相等，则下列说法正确的是( )
A．甲先到达对岸
B．乙先到达对岸
C．渡河过程中，甲的位移小于乙的位移
D.渡河过程中，甲的位移大于乙的位移
答案 C
解析 两小船在静水中航行的速度大小相等，且渡河方向与河岸夹角均为θ，所以船速在垂直于河岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性，船在平行于河岸方向上的分速度不影响过河时间，所以甲、乙两船同时到达对岸，故A、B错误。甲船在平行河岸方向上的分速度大小为：v甲∥＝|v水－v甲csθ|，乙船在平行河岸方向上的分速度大小为：v乙∥＝v水＋v乙csθ，两船在平行河岸方向上的分位移分别为x甲∥＝v甲∥t，x乙∥＝v乙∥t，则x乙∥>x甲∥，又两船在垂直河岸方向上的分位移相同，则渡河过程中，甲的位移小于乙的位移，故C正确，D错误。
5.如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A.eq \f(vsinα,L) B.eq \f(v,Lsinα)
C.eq \f(vcsα,L) D.eq \f(v,Lcsα)
答案 B
解析 棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒斜向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直方向的速度分量等于v，即ωLsinα＝v，所以ω＝eq \f(v,Lsinα)，故B正确。
6. 质点仅在恒力F的作用下，在xOy平面内由坐标原点运动到A点的轨迹如图所示，经过A点时速度的方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿( )
A．x轴正方向 B.x轴负方向
C．y轴正方向 D.y轴负方向
答案 D
解析 曲线运动的轨迹夹在v0与力中间，故B、C错误。曲线运动的速度方向无限趋近力的方向，但永远不能达到力的方向，故A错误，D正确。
7.民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离为d。要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(dv2,v1)
B．运动员放箭处离目标的距离为eq \f(d\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)),v2)
C．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,v2)
D．箭射到固定目标的最短时间为eq \f(d,\r(v\\al(2,2)－v\\al(2,1)))
答案 BC
解析 要想以箭在空中飞行的时间最短的情况下击中目标，v2必须垂直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目标，如图所示，故箭射到目标的最短时间为eq \f(d,v2)，C正确，D错误；运动员放箭处离目标的距离为 eq \r(d2＋x2)，又x＝v1t＝v1·eq \f(d,v2)，故 eq \r(d2＋x2)＝ eq \r(d2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v1d,v2)))2)＝eq \f(d\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)),v2)，A错误，B正确。
8. (2020·福建省漳州市高三一模)如图，竖直放置间距为d的两个平行板间存在水平方向的风力场，会对场中的物体产生水平向右的恒定风力作用，与两板上边缘等高处有一个质量为m的小球P(可视为质点)。现将小球P从两板正中央由静止释放，最终小球运动到右板上的位置O。已知小球下降的高度为h，小球在竖直方向只受重力作用，重力加速度大小为g，则从开始位置运动到位置O的过程中( )
A．水平风力F＝eq \f(mgd,2h)
B．小球P的运动时间t＝ eq \r(\f(2h,g))
C．小球P运动的加速度a＝g
D．小球P运动的轨迹为曲线
答案 AB
解析 由于水平方向风力恒定，竖直方向重力恒定，因此两个力的合力恒定，又由于小球P的初速度为零，因此小球P做初速度为零的匀加速直线运动，运动轨迹为直线，D错误；小球P所受合力的方向与运动方向相同，运动可分解为水平方向初速度为0的匀加速直线运动和竖直方向的自由落体运动，设水平方向的加速度为a水平，运动时间为t，则有eq \f(F,mg)＝eq \f(a水平,g)＝eq \f(\f(1,2)a水平t2,\f(1,2)gt2)＝eq \f(\f(d,2),h)，可得水平风力F＝eq \f(mgd,2h)，A正确；在竖直方向上，小球P做自由落体运动，h＝eq \f(1,2)gt2，解得运动的时间t＝eq \r(\f(2h,g))，B正确；小球P竖直方向的加速度为a竖直＝g，水平方向的加速度为a水平＝eq \f(F,m)＝eq \f(gd,2h)，则小球P的加速度a>g，C错误。
9．(2020·四川省成都市蓉城名校联盟高三上第一次联考)在光滑水平面内有一直角坐标系xOy，在t＝0时刻，质量为m＝2 kg的物块从直角坐标系的坐标原点O以一初速度v0沿y轴正方向开始运动，同时受一沿x轴正方向的恒力F作用，其沿x方向的位移x与沿x方向的速度的平方veq \\al(2,x)关系如图甲所示，沿y方向的位移y随时间t的变化关系如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．物块做匀变速曲线运动
B．物块受到的恒力F＝1 N
C．t＝4 s时物块的位移s＝10 m，方向与x轴正方向成37°
D．t＝4 s时物块的速度为v＝5.5 m/s，方向与x轴正方向成37°
答案 AC
解析 分析物块在x方向上的运动情况，根据初速度为零的匀加速直线运动的速度与位移的关系x＝eq \f(v2,2a)结合图甲可知，物块在x方向上做初速度为零的匀加速直线运动，xveq \\al(2,x)图像的斜率表示加速度二倍的倒数，由图甲可知，a＝1 m/s2；分析物块在y方向上的运动情况，根据yt图像的斜率表示速度，由图乙可知，物块在y方向上做匀速直线运动，vy＝1.5 m/s，则物块做匀变速曲线运动，故A正确。根据牛顿第二定律可知，F＝ma＝2 N，故B错误。t＝4 s时，x方向上的位移x＝eq \f(1,2)at2＝8 m，y方向上的位移y＝6 m，根据运动的合成与分解可知，物块的位移s＝eq \r(x2＋y2)＝10 m，方向与x轴正方向的夹角θ满足tanθ＝eq \f(y,x)，可得θ＝37°，故C正确。t＝4 s时，物块的速度v＝ eq \r(at2＋v\\al(2,y))＝eq \f(\r(73),2) m/s，与x轴正方向的夹角φ满足tanφ＝eq \f(vy,at)＝eq \f(3,8)，即φ≠37°，故D错误。
10．(2020·安徽省安庆市高三第一学期期末教学质量监测)一个质量为m的质点以速度v0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为eq \f(v0,2)。质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( )
A．该质点做匀变速直线运动
B．经历的时间为eq \f(mv0,2F)
C．该质点不可能做圆周运动
D．发生的位移大小为eq \f(\r(21)mv\\al(2,0),8F)
答案 CD
解析 质点减速运动的最小速度不为0，说明质点不是做直线运动，力F是恒力，所以质点不可能做圆周运动，而是做匀变速曲线运动，A错误，C正确。设力F与初速度夹角为θ，因速度的最小值为eq \f(v0,2)，可知初速度v0在垂直力F方向的分量为eq \f(v0,2)，则初速度方向与恒力方向的夹角为150°；质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中，在恒力方向上有v0cs30°－eq \f(F,m)t＝0，在垂直恒力方向上，质点的位移大小为x＝eq \f(v0,2)t，在恒力方向上，质点的位移大小为y＝eq \f(tv0cs30°,2)，则质点的位移大小s＝eq \r(x2＋y2)，联立解得经历的时间为t＝eq \f(\r(3)mv0,2F)，发生的位移大小为s＝eq \f(\r(21)mv\\al(2,0),8F)，故B错误，D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(2020·辽宁省鞍山市高三第一次质量监测)(15分)如图所示，质量为m的小球从A点以大小为v0的速度向右偏上45°的方向斜上抛，在运动的过程中除受重力外还始终受水平向右的大小F＝mg的恒力作用。经过一段时间后，小球经过与抛出点等高的B点。试求从A点运动到B点经历的时间t和A、B两点间的距离s。
答案 eq \f(\r(2)v0,g) eq \f(2v\\al(2,0),g)
解析 由题意，小球所受合力大小为：F合＝eq \r(F2＋m2g2)＝eq \r(2)mg，方向与初速度方向垂直，所以小球的加速度大小为：a＝eq \f(F合,m)＝eq \r(2)g，方向与初速度方向垂直；
由运动的分解可知，小球从A点运动到B点时，沿初速度方向的位移大小：x＝v0t，
沿加速度方向的位移大小：y＝eq \f(\r(2),2)gt2，
由题意知小球从A点运动到B点时沿初速度方向和沿加速度方向发生的位移大小相等，所以有：v0t＝eq \f(\r(2),2)gt2，
解得：t＝eq \f(\r(2)v0,g)，s＝eq \r(x2＋y2)＝eq \f(2v\\al(2,0),g)。
12.(2020·河北衡水中学三月教学质量监测)(15分)如图所示，一艘轮船正在以4 m/s的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为v1＝3 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同。某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化。求：
(1)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小；
(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值。
答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s
解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度v与水流速度v1方向垂直，如图所示，故此时船相对于静水的速度v2的大小为：
v2＝ eq \r(v2＋v\\al(2,1))＝ eq \r(42＋32) m/s＝5 m/s，
设v与v2的夹角为θ，则csθ＝eq \f(v,v2)＝0.8。
(2)发动机熄火前，轮船的牵引力沿v2的方向，水的阻力与v2的方向相反，发动机熄火后，牵引力消失，在阻力作用下，v2逐渐减小，但其方向不变，当v2减小到与v1的矢量和与v2方向垂直时，轮船相对于河岸的合速度最小，最小值为：vmin＝v1csθ＝3×0.8 m/s＝2.4 m/s。
考情分析
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动及万有引力定律的应用。单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识综合命题常以计算题形式出现。
重要考点
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2．抛体运动(Ⅱ)
3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4．匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5．离心现象(Ⅰ)
6．万有引力定律及其应用(Ⅱ)
7．环绕速度(Ⅱ)
8．第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)
9．相对论时空观与牛顿力学的局限性(Ⅰ)
实验五：探究平抛运动的特点
实验六：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
考点解读
1.运动的合成与分解是研究曲线运动的基本方法，为抛体运动、类平抛运动的研究提供了理论基础，同时也是高考命题的重点。
2．平抛运动的规律及其研究方法是重点内容，也是高考的热点内容。常与静电场、动能定理、功能关系、直线运动、圆周运动等知识相结合。
3．高考对匀速圆周运动的向心力要求较高，考题多与机械能、电场、磁场等知识综合，考查的形式多样化，各种题型都有涉及，复习时应注重曲线运动特别是圆周运动与生产、生活、高科技的联系。
4．天体运动的学习是圆周运动和牛顿运动定律的应用和延伸，万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技发展的密切联系，是每年高考的命题热点。
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、
一个匀变速直线运动
eq \x(\s\up1(08))匀变速曲线运动
两个初速度为零的
匀加速直线运动
eq \x(\s\up1(09))初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零
的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为eq \x(\s\up1(10))匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为eq \x(\s\up1(11))匀变速曲线运动
渡河
时间
最短
当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河
位移
最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船csθ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船
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