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高中物理高考 第1讲 电场力的性质
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这是一份高中物理高考 第1讲 电场力的性质，共37页。学案主要包含了堵点疏通，对点激活等内容，欢迎下载使用。
考情分析
高考对本章的考查频率较高，考查的题型有选择题和计算题等，考查的难度中等。
重要考点
1.物质的电结构、电荷守恒(Ⅰ)
2．静电现象的解释(Ⅰ)
3．点电荷(Ⅰ)
4．库仑定律(Ⅱ)
5．静电场(Ⅰ)
6．电场强度、点电荷的场强(Ⅱ)
7．电场线(Ⅰ)
8．电势能、电势(Ⅰ)
9．电势差(Ⅱ)
10．匀强电场中电势差与电场强度的关系(Ⅱ)
11．带电粒子在匀强电场中的运动(Ⅱ)
12．示波管(Ⅰ)
13．常见电容器(Ⅰ)
14．电容器的电压、电荷量和电容的关系(Ⅰ)
考点解读
1.多个电荷间的库仑力的平衡和电场强度叠加问题。
2．利用电场线和等势面确定电场强度的大小和方向，判断电势高低、静电力变化、静电力做功和电势能的变化等。
3．带电体在匀强电场中的平衡问题及变速运动的动力学问题。
4．对平行板电容器电容决定因素的理解，解决两类动态变化的问题。
5．分析带电粒子在电场中的加速运动和偏转运动问题。
6．示波管、静电除尘等在日常生活和科学技术中的应用。
第1讲 电场力的性质
知识点 电荷守恒 点电荷 Ⅰ
库仑定律 Ⅱ1.元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19 C。
(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是一种理想化模型。
(3)比荷：带电粒子的电荷量与其质量之比。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)更普遍的表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。
(3)起电方法：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(4)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(5)电荷的分配原则：两个形状、大小等完全相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量。
(3)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(4)适用条件：真空中静止的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
③两个带电体间的距离r→0时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为趋于无穷大。
知识点 静电场 Ⅰ
电场强度、点电荷的电场 Ⅱ1.电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)定义：在电场的不同位置，试探电荷所受的静电力与它的电荷量之比一般不同，它反映了电场在各点的性质，叫作电场强度。
(2)定义式：E＝，该式适用于一切电场。
(3)单位：N/C或V/m。
(4)矢量性：物理学中规定，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。
3．点电荷的电场
(1)公式：在场源点电荷Q形成的电场中，与Q相距r处的电场强度E＝k。
(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。
4．电场强度的叠加
如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。
5．匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
知识点 电场线 Ⅰ
1．定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的大小和方向，而画在电场中的一条条有方向的曲线。电场线是假想的曲线，实际不存在。
2．电场线的特点
(1)电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
(3)电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
(4)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
(5)沿电场线的方向电势逐渐降低。
(6)电场线和等势面在相交处垂直。
3．几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
一 堵点疏通
1．质子的电荷量为一个元电荷，但电子、质子是实实在在的粒子，不是元电荷。( )
2．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。( )
3．根据F＝k，当r→0时，F→∞。( )
4．E＝是电场强度的定义式，可知电场强度与静电力成正比。( )
5．电场中某点的电场强度方向即为试探电荷在该点所受的静电力的方向。( )
6．在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。( )
7．电场线的方向即为带电粒子的运动方向。( )
答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.× 7.×
二 对点激活
1. (人教版必修第三册·P3·实验改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
答案 AB
解析 虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确；带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷就因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确；但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误；先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。
2．(人教版必修第三册·P10·T3改编)真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B(均可看作点电荷)，分别固定在两处，两球间静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离增大为原来的2倍，则A、B间的静电力大小为( )
A．. B．
C． D．
答案 B
解析 设A、B原来所带电荷量分别为＋Q、－Q，A、B间静电力大小F＝，将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为＋，B所带电荷量变为－，再将A、B间距离增大为原来的2倍，A、B间静电力大小F′＝＝，故F′＝F，故B正确。
3. (人教版必修第三册·P17·T5改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
答案 C
解析 正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A处所受的静电力小于在B处所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。
4. (人教版必修第三册·P17·T6)用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C。现加水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直方向夹角为30°(如图所示)。求匀强电场的电场强度(g＝10 m/s2)。
答案 2.9×106 N/C
解析 小球受到重力mg、静电力F、轻绳拉力FT的作用处于平衡状态，它的受力情况如图所示，则
＝＝tan30°
E＝tan30°＝× N/C
≈2.9×106 N/C。
考点1 库仑定律的理解与应用
1.对库仑定律的理解
(1)F＝k，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1 两个半径均为r的相同金属球，球心相距3r，分别带有电荷量－2Q和＋4Q，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，两小球间距离保持不变，则两小球间库仑力的大小( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法确定
(1)这两个球能不能看成点电荷？
提示：不能。
(2)接触以后电荷如何分布？
提示：接触以后两球均带正电，电荷因排斥力分布在两球的远端。
尝试解答 选B。
两金属球相距较近且开始时带异种电荷，电荷因吸引靠近，则原来两球间库仑力F>k；两球接触后，两球均带正电，电荷量均为Q，电荷因排斥远离，所以接触后两球间的库仑力F′
库仑定律的四点提醒
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(3)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：Fk。
(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
[变式1] (2020·湖南省永州市高三下高考培优信息卷)如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．
C． D．
答案 D
解析 根据库仑定律，c电荷对a的库仑引力大小为：Fc＝，b、d电荷对a的库仑力大小均为：Fb＝Fd＝k，且b对a的库仑力是斥力，d对a的库仑力是引力；根据平行四边形定则，a电荷所受的静电力的合力大小为：F＝＝，故A、B、C错误，D正确。
考点2 库仑力作用下的平衡问题
1.四步解决库仑力作用的平衡问题
2．三个自由点电荷的平衡条件及规律
(1)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电场中合场强为零的位置。
(2)平衡规律。
例2 (2020·天津市南开中学高三下5月模拟)如图所示，用两根长度均为l的绝缘轻绳将带正电的小球悬挂在水平的天花板下，小球的质量为m，轻绳与天花板的夹角均为θ，小球正下方距离也为l的A处一绝缘支架上同样有一个带电小球，此时轻绳的张力均为0，现在将支架水平向右移动到B处，B处位置与两轻绳结点的连线与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，若已知θ＝30°，则( )
A．A处的带电小球带负电
B．支架在A处与在B处时两小球之间的库仑力大小之比为2∶3
C．支架在B处时，左边绳子的张力为mg－mg
D．支架在B处时，右边绳子的张力为mg＋mg
(1)当支架上小球处于A位置时轻绳上张力为零，说明了什么？
提示：两小球间的库仑力为斥力。
(2)当支架上小球处于B位置时，悬挂的小球受几个力？如何处理？
提示：四个力，正交分解。
尝试解答 选C。
当绝缘支架上的带电小球在A位置时，轻绳的张力均为0，对其受力分析可知其只受重力和库仑力，因此两小球之间的库仑力为斥力，则A处的带电小球带正电，故A错误；根据库仑定律可得F＝k，因此绝缘支架在A处与在B处时，两小球之间的库仑力大小之比＝＝＝，故B错误；根据平衡条件知，FA＝mg，则支架在B处时，两球间的库仑力为FB＝FA＝mg，设左、右绳的张力分别为F1和F2，则由正交分解可得F1cos30°＋mgsin30°＝F2cos30°，F1sin30°＋mgcos30°＋F2sin30°＝mg，解得F1＝mg－mg，F2＝mg－mg，故C正确，D错误。
求解带电体平衡问题的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。
(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；
(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；
(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。
[变式2－1] 如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是( )
A．m1m2
C．q1q2
答案 A
解析 对两带电小球分别进行受力分析如图，根据平衡条件有tanα＝，tanβ＝，两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1
[变式2－2] 如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
答案 C
解析 根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。
考点3 电场强度的理解及计算
1.电场强度的性质
矢量性
规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性
如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2．电场强度三个表达式的比较
表达式比较
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中静止点电荷电场强度的决定式
匀强电场中E与U的关系式
适用条件
一切电场
①真空
②静止点电荷
匀强电场
决定因素
由电场本身决定，与q无关
由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定
由电场本身决定，d为沿电场方向的距离
3．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线
的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
例3 (2020·贵州省安顺市高三下学期3月网上调研)如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的场强相同
B．a、c两点的场强相同
C．b、d两点的场强一定等大且反向
D．e点的场强不为零
(1)应该用什么规律分析计算a、b、c、d、e点的场强？
提示：点电荷的场强公式及场强的叠加原理(即平行四边形定则)。
(2)如何分析可以使问题比较简单？
提示：利用两等量同种点电荷和两等量异种点电荷的电场场强特点对已知点电荷进行分组，进而叠加各组产生的电场。以a点为例，左侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向下，右侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向上。
尝试解答 选C。
设正方形边长为L，对a点研究，左侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向下，大小为E1＝＝，右侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向上，大小为E2＝·＝，则a点的合场强方向竖直向下，大小为Ea＝E1－E2，同理，可以求出b、c、d各点的场强的大小都是E1－E2，方向分别是水平向右、竖直向上、水平向左，所以a、c两点的场强等大且反向，b、d两点的场强等大且反向，故A、B错误，C正确；由图可知，两个正电荷在e点产生的场强大小相等、方向相反，两个负电荷在e点产生的场强也大小相等、方向相反，所以e点的合场强为零，故D错误。
分析电场叠加问题的一般步骤
电场强度是矢量，叠加时遵从平行四边形定则。分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定要分析计算哪一点的场强；
(2)分析该点的合场强由哪几个分电场合成，确定各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)利用平行四边形定则求出各分电场强度的矢量和。
[变式3－1] (2020·河北高三4月联考)如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因直线MN上a点的场强最大，可知场源电荷位于过a点且垂直于直线MN的直线上，设场源电荷在距离a点x的位置，则E＝k，场源电荷距b点的距离为，则b点的场强为E＝k，联立可解得：x＝L，Q＝，故B正确。
[变式3－2] (人教版必修第三册·P17·T7改编)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
答案 A
解析 根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。
考点4 电场线的应用
1.判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
例4 某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
(1)在电场线分布图中，用什么表示电场强度的大小？
提示：电场线的疏密程度。
(2)沿曲线运动的粒子合力沿什么方向？
提示：曲线的凹侧。
尝试解答 选C。
电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
电场线的应用
熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、静电力做功及伴随的能量转化情况。
[变式4] (2020·天津市红桥区高三上期末)(多选)如图甲所示，A、B是一条电场线上的两点，若在某点释放一初速度为零的电子，电子仅受静电力作用，并沿电场线从A运动到B，其速度随时间变化的规律如图乙所示，则( )
A．静电力FA
答案 AC
解析 在vt图像中图线的斜率表示加速度，由图乙可知，电子由A运动到B的过程中，加速度增大，则电子所受的静电力增大，即静电力FA＜FB，故A正确；根据F＝qE，电子所受静电力增大，场强也增大，所以电场强度EA＜EB，故B错误；电子由静止开始沿电场线从A运动到B，静电力做正功，则静电力的方向从A到B，电子带负电，所以场强方向从B到A，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，电势φA<φB，故C正确；由图乙可知，电子从A运动到B的过程中，速度增大，静电力做正功，电子的电势能减小，则电势能EpA>EpB，故D错误。
1．方法概述
求电场强度有三个公式：E＝、E＝k、E＝，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
2．常见类型与解题思路
方法一：补偿法
将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补偿的部分产生的影响。
【典题例证1】
(2020·山东省六地市高三3月在线联考)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处场强的大小为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的场强为：E整＝＝，同理，挖去前空腔处的小球体在A点产生的场强为：E割＝＝＝，所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强为：Ex＝E整－E割＝－＝，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
名师点睛 当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
方法二：对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【典题例证2】
(2020·浙江省杭州第二中学高三下学期3月月考)如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．，水平向右 B．，水平向左
C．＋，水平向右 D．，水平向右
[解析] 由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的场强与点电荷－q在a点处产生的场强等大反向，即大小为E＝，方向水平向左；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的场强大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。
[答案] A
名师点睛 形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
方法三：微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。
【典题例证3】
(2020·河北省张家口市第一学期阶段测试)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法错误的是( )
A．P点场强方向竖直向上
B．P点场强大小为
C．P点场强大小为k
D．P点场强大小为k
[解析] 将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为：q0＝，每份在P点产生的电场的电场强度大小为：E0＝＝＝，根据对称性可知，P点处水平方向的合场强为零，则P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0cosθ＝，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得：mg＝qE，解得P点场强大小为：E＝，故B正确。本题选说法错误的，故选C。
[答案] C
名师点睛 微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。
方法四：等效法
在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
【典题例证4】
(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是( )
A．O点场强大小为k
B．A点场强大小为k
C．B点场强大小为k
D．A、B两点场强大小相等，方向相反
[解析] 系统达到静电平衡后，因为金属板接地，电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝k＋k＝k，A正确；A点场强大小为EA＝k＋k＝k，B错误；B点场强大小为EB＝k－k＝k，C正确；由上述分析可知D错误。
[答案] AC
名师点睛 等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。
方法五：极限法
对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。
极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。
【典题例证5】
物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r
A．E＝|－|
B．E＝|－|
C．E＝|－|
D．E＝|－|
[解析] 与点电荷的场强公式E＝k比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除；由电场强度的分布规律可知，当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误；综上所述，可知D正确。
[答案] D
名师点睛 本题由于带电体为圆环状，超过了我们高中学生的教材学习范围，但通过一定的分析就可判断。首先根据场强的单位(量纲)进行判断，再分析特殊点即可得出结论。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。
【针对训练】
1. (2020·黑龙江省齐齐哈尔模拟)如图所示，两个电荷量为q的点电荷分别位于带电的半径相同的球壳和球壳的球心，这两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，若甲图中带电球壳对点电荷q的库仑力的大小为F，则乙图中带电的球壳对点电荷q的库仑力的大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
答案 D
解析 将图乙中的均匀带电球壳分成三个带电球壳，关于球心对称的两个带电球壳对点电荷的库仑力的合力为零，因此乙图中带电的球壳对点电荷的库仑力的大小和甲图中均匀带电球壳对点电荷的库仑力的大小相等，D正确。
2. 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k
C．k D．k
答案 B
解析 由b点处场强为零知，圆盘在b点处产生的场强E1与点电荷q在b点处产生的场强E2大小相等，即E1＝E2＝k，由对称性可知，圆盘在d点产生的场强E3＝k，点电荷q在d点产生的场强E4＝k，方向与E3相同，故d点的合场强Ed＝E3＋E4＝k，B正确，A、C、D错误。
1．(2020·全国卷Ⅱ)(多选) 如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
答案 ABC
解析 如图甲所示，为等量异种点电荷周围空间的电场线分布图。本题的带电圆环，可分割成如图乙所示无数对沿竖直方向的等量异种点电荷。图乙等量异种点电荷有共同的对称轴PP′，由图甲电场线分布图可知，图乙中任一对等量异种点电荷在PP′上产生的电场都竖直向下，故PP′上的合电场也竖直向下，故PP′所在的水平直线为等势线，即φa＝φb，而沿电场线的方向电势降低，则φc>φd，故B正确，D错误。
由圆环上电荷左右分布的对称性及图乙模型可知，a、b两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等；由圆环上电荷左右、上下分布的对称性及图乙模型可知，c、d两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等，故A、C正确。
2．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 如图所示，在两正电荷形成的电场中，一带正电的粒子在两电荷的连线上运动时，粒子有可能经过先加速再减速的过程，A正确；已知带电粒子只受电场力，粒子运动轨迹与电场线重合须具备初速度与电场线平行或为0、电场线为直线两个条件，B错误；带电粒子仅受电场力在电场中运动时，其动能与电势能的总量不变，EkM＝0，而EkN≥0，故EpM≥EpN，C正确；粒子运动轨迹的切线方向为速度方向，由于粒子运动轨迹不一定是直线，故粒子在N点所受电场力的方向与粒子轨迹在该点的切线方向不一定平行，D错误。
3. (2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
答案 D
解析 细绳竖直，把P、Q看作整体，在水平方向所受合力为零，对外不显电性，带异种电荷，A、B错误；P、Q带不同性质的电荷，有两种情况：P带正电，Q带负电，或P带负电，Q带正电，两种情况的受力分别如图所示，由图知，P带负电，Q带正电时符合题意，C错误，D正确。
4. (2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
答案 D
解析 对固定的小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sinα＝k·sinβ，故＝＝＝，D正确。
5．(2018·浙江11月选考)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg，电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，A、B连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
答案 B
解析 两球之间的库仑力大小为F＝k＝9.0×109× N＝2 N，根据题意，F与竖直方向的夹角为60°，小球B的重力大小为GB＝mBg＝2 N，知F＝GB，又因小球B静止，故小球B受到的库仑力、重力以及细线的拉力组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B正确。
6. (2017·北京高考)如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小。
(2)小球的质量m。
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
答案 (1)3.0×10－3 N (2)4.0×10－4 kg
(3)2.0 m/s
解析 (1)F＝qE＝3.0×10－3 N。
(2)由＝tan37°，得m＝4.0×10－4 kg。
(3)由mgl(1－cos37°)＝mv2，
得v＝＝2.0 m/s。
时间：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～8题为单选，9～10题为多选)
1．两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
答案 C
解析 电场线的疏密代表场强的强弱，电场线越密，代表电场越强，电场强度方向为电场线的切线方向，故从图可以看出A、B两点电场强度的大小和方向均不同，A、B错误；电场线从正电荷指向负电荷，C正确；右边点电荷周围的电场线比较密集，故此点电荷的电荷量较大，D错误。
2. (2020·海南省高三压轴卷)如图所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的静电力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是( )
A．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
B．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D．Fd、Fc、Fe的大小都相等
答案 B
解析 等量异种点电荷的电场分布如图，从图中可知，c、d、e三点的场强的方向都水平向右，所以该正点电荷在这三点受到的静电力的方向都水平向右，故A、C错误，B正确；从图中可知d点的电场线最密，e点的电场线最疏，所以该正点电荷在d点所受的静电力最大，故D错误。
3. (2020·四川省攀枝花市高三下第三次统考)如图所示，在竖直平面内有一固定绝缘光滑细杆，细杆与竖直方向的夹角为θ。一重为G、电荷量为q的带正电小球穿在细杆上，现在小球所在空间施加一匀强电场，可使小球处于静止状态，则该匀强电场场强的最小值为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 小球受重力、静电力及可能存在的杆的弹力，根据力的矢量三角形可知，当静电力方向沿杆向上时，静电力最小，则qEmin＝Gcosθ，即Emin＝，故C正确。
4. (2020·山西省阳泉市高三上学期期末)直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为
D．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为
答案 C
解析 若两点电荷都带正电，则两点电荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故A错误；若A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，则A点的点电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故B错误；同理分析可知，A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电，它们在B点的场强如图所示，则cos30°＝，设AC＝L，则AB＝L，BC＝2L，EA＝k，EC＝k，解得＝，故C正确，D错误。
5. 一负电荷从电场中A点由静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且从A到B场强变大，电场线变密，C正确。
6．一带负电荷的质点，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
答案 D
解析 由a至c曲线的弯曲情况可知质点受力方向指向图中虚线的右下方，质点在b点的速度vb方向如图所示，由a至c速率递减可知受力方向与速度的方向的夹角为钝角，大致如图中F，α角大于90°，因为质点带负电荷，故场强方向应与F方向相反，D正确。
7. (2020·江苏省南京市、盐城市高三二模)为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝mg B．E＝mg
C．E＝mg D．E＝
答案 D
解析 设该匀强电场方向与竖直方向的夹角为β，则开始时，根据平衡条件，水平方向有：T1sin60°＝qEsinβ，竖直方向有：T1cos60°＋qEcosβ＝mg；当用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后电荷量减半，此时水平方向有：T2sin30°＝qEsinβ，竖直方向有：T2cos30°＋qEcosβ＝mg，联立解得qE＝mg，β＝60°，即E＝，故D正确。
8. (2020·浙江省高考压轴卷)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置，如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，则两个小球的受力情况与原来相比( )
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力增大
C．地面对小球B的弹力一定不变
D．两个小球之间的距离减小
答案 C
解析 以A球为研究对象，受力如图1所示，设B对A的库仑力F库与竖直墙面的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为：N1＝mAgtanθ；将小球B向左推动少许时θ减小，则N1减小，故B错误；再以A、B整体为研究对象，受力如图2所示，由平衡条件得：F＝N1，地面对小球B的弹力为：N2＝(mA＋mB)g，则N2不变，F减小，A错误，C正确；由图1及平衡条件知F库＝，θ减小，cosθ增大，则F库减小，根据F库＝可知，两个小球之间的距离增大，D错误。
9. (2020·山东省潍坊市高考模拟)如图所示，带电量为＋q和－q的点电荷分别位于绝缘薄圆盘中心轴线上，两电荷到圆心O的距离相等。A点位于圆盘边缘，B点为某半径的中点，关于A、B、O三点电场强度E的大小和电势φ的高低关系判断正确的是( )
A．EA
答案 AD
解析 根据等量异种点电荷中垂面上电场线分布的特点可知，圆心O处的场强最大，离圆心越远，电场线越稀疏，场强越小，即EA
答案 BD
解析 由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向。
答案 (1)9.0×10－3 N
(2)7.8×103 N/C 方向沿y轴正方向
解析 (1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力大小为F＝k①
代入数据得F＝9.0×10－3 N②
(2)A、B两点电荷在C点产生的电场强度大小相等，均为E1＝k③
A、B两点电荷形成的电场在C点的合电场强度大小为E＝2E1cos30°④
由③④式并代入数据得
E＝7.8×103 N/C，电场强度E的方向沿y轴正方向。
12. (16分)如图所示，空间存在着场强E＝、方向竖直向上的匀强电场，在电场内一长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端拴着质量为m、电荷量为q的小球。现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动到最高点时细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。求：
(1)小球运动到最高点时速度的大小；
(2)细线能承受的最大拉力；
(3)从断线开始计时，在t＝时刻小球与O点的距离。
答案 (1)2 (2)6mg (3)2L
解析 (1)设小球运动到最高点时速度为v，只有重力和静电力做功，弹力不做功。对该过程由动能定理有
qEL－mgL＝mv2
解得v＝＝2。
(2)在最高点时，小球受重力、静电力和细线的拉力三个力作用，由牛顿第二定律得
FT＋mg－qE＝m
解得FT＝6mg。
由牛顿第三定律可得细线能承受的最大拉力FT′＝6mg。
(3)在细线断裂后，带电小球做类平抛运动，合力竖直向上，在竖直方向的加速度设为a，则a＝＝2g
小球在t时刻的水平位移为x＝vt＝2L
竖直位移为y＝at2＝L
此时小球与O点的距离为d＝＝2L。
考情分析
高考对本章的考查频率较高，考查的题型有选择题和计算题等，考查的难度中等。
重要考点
1.物质的电结构、电荷守恒(Ⅰ)
2．静电现象的解释(Ⅰ)
3．点电荷(Ⅰ)
4．库仑定律(Ⅱ)
5．静电场(Ⅰ)
6．电场强度、点电荷的场强(Ⅱ)
7．电场线(Ⅰ)
8．电势能、电势(Ⅰ)
9．电势差(Ⅱ)
10．匀强电场中电势差与电场强度的关系(Ⅱ)
11．带电粒子在匀强电场中的运动(Ⅱ)
12．示波管(Ⅰ)
13．常见电容器(Ⅰ)
14．电容器的电压、电荷量和电容的关系(Ⅰ)
考点解读
1.多个电荷间的库仑力的平衡和电场强度叠加问题。
2．利用电场线和等势面确定电场强度的大小和方向，判断电势高低、静电力变化、静电力做功和电势能的变化等。
3．带电体在匀强电场中的平衡问题及变速运动的动力学问题。
4．对平行板电容器电容决定因素的理解，解决两类动态变化的问题。
5．分析带电粒子在电场中的加速运动和偏转运动问题。
6．示波管、静电除尘等在日常生活和科学技术中的应用。
第1讲 电场力的性质
知识点 电荷守恒 点电荷 Ⅰ
库仑定律 Ⅱ1.元电荷、点电荷
(1)元电荷：e＝1.6×10－19 C，最小的电荷量，所有带电体的电荷量都是元电荷的整数倍，其中质子、正电子的电荷量与元电荷相同。电子的电荷量q＝－1.6×10－19 C。
(2)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是一种理想化模型。
(3)比荷：带电粒子的电荷量与其质量之比。
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2)更普遍的表述：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。
(3)起电方法：摩擦起电、感应起电、接触起电。
(4)带电实质：物体带电的实质是得失电子。
(5)电荷的分配原则：两个形状、大小等完全相同的导体，接触后再分开，二者带等量同种电荷；若两导体原来带异种电荷，则电荷先中和，余下的电荷再平分。
3．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫作静电力常量。
(3)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
(4)适用条件：真空中静止的点电荷。
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。
③两个带电体间的距离r→0时，不能再视为点电荷，也不遵循库仑定律，它们之间的库仑力不能认为趋于无穷大。
知识点 静电场 Ⅰ
电场强度、点电荷的电场 Ⅱ1.电场
(1)定义：存在于电荷周围，能传递电荷间相互作用的一种特殊物质。
(2)基本性质：对放入其中的电荷有力的作用。
2．电场强度
(1)定义：在电场的不同位置，试探电荷所受的静电力与它的电荷量之比一般不同，它反映了电场在各点的性质，叫作电场强度。
(2)定义式：E＝，该式适用于一切电场。
(3)单位：N/C或V/m。
(4)矢量性：物理学中规定，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同。
3．点电荷的电场
(1)公式：在场源点电荷Q形成的电场中，与Q相距r处的电场强度E＝k。
(2)适用条件：真空中静止的点电荷形成的电场。
4．电场强度的叠加
如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。
5．匀强电场：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场叫作匀强电场。
知识点 电场线 Ⅰ
1．定义：为了形象地了解和描述电场中各点电场强度的大小和方向，而画在电场中的一条条有方向的曲线。电场线是假想的曲线，实际不存在。
2．电场线的特点
(1)电场线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷。
(3)电场线在电场中不相交、不闭合、不中断。
(4)在同一幅图中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏。
(5)沿电场线的方向电势逐渐降低。
(6)电场线和等势面在相交处垂直。
3．几种典型电场的电场线
如图所示是几种典型电场的电场线分布图。
一 堵点疏通
1．质子的电荷量为一个元电荷，但电子、质子是实实在在的粒子，不是元电荷。( )
2．相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们之间的库仑力大小一定相等。( )
3．根据F＝k，当r→0时，F→∞。( )
4．E＝是电场强度的定义式，可知电场强度与静电力成正比。( )
5．电场中某点的电场强度方向即为试探电荷在该点所受的静电力的方向。( )
6．在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。( )
7．电场线的方向即为带电粒子的运动方向。( )
答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.× 7.×
二 对点激活
1. (人教版必修第三册·P3·实验改编)(多选)如图所示，A、B为相互接触并用绝缘支柱支持的金属导体，起初都不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，下列说法正确的是( )
A．把C移近导体A时，A、B上的金属箔片都张开
B．把C移近导体A，再把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C．把C移近导体A，先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D．把C移近导体A，先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
答案 AB
解析 虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端积累了正电荷，其下部的金属箔片因为接触带电，也分别带上了与A、B相同的电荷，所以金属箔片都张开，A正确；带正电的小球C只要一直在A、B附近，A、B上的电荷就因受C的作用力而使A、B带等量的异种感应电荷，把A、B分开，因A、B已经绝缘，此时即使再移走C，A、B所带电荷量也不变，金属箔片仍张开，B正确；但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，不再带电，所以金属箔片都不会张开，C错误；先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷完全中和，金属箔片都不会张开，D错误。
2．(人教版必修第三册·P10·T3改编)真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B(均可看作点电荷)，分别固定在两处，两球间静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离增大为原来的2倍，则A、B间的静电力大小为( )
A．. B．
C． D．
答案 B
解析 设A、B原来所带电荷量分别为＋Q、－Q，A、B间静电力大小F＝，将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为＋，B所带电荷量变为－，再将A、B间距离增大为原来的2倍，A、B间静电力大小F′＝＝，故F′＝F，故B正确。
3. (人教版必修第三册·P17·T5改编)如图所示为某区域的电场线分布，下列说法正确的是( )
A．这个电场可能是正点电荷形成的
B．D处的电场强度为零，因为那里没有电场线
C．点电荷q在A点所受的静电力比在B点所受静电力小
D．负电荷在C点受到的静电力方向沿C点切线方向
答案 C
解析 正点电荷的电场线是从正点电荷出发的直线，故A错误；电场线是为了更形象地描述电场而人为画出的，没有电场线的地方，电场强度不一定为零，故B错误；由图知B点处电场线比A点处电场线密集，故EB>EA，所以点电荷q在A处所受的静电力小于在B处所受的静电力，C正确；负电荷在C点所受静电力方向与C点切线方向相反，故D错误。
4. (人教版必修第三册·P17·T6)用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为1.0×10－2 kg，所带电荷量为＋2.0×10－8 C。现加水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直方向夹角为30°(如图所示)。求匀强电场的电场强度(g＝10 m/s2)。
答案 2.9×106 N/C
解析 小球受到重力mg、静电力F、轻绳拉力FT的作用处于平衡状态，它的受力情况如图所示，则
＝＝tan30°
E＝tan30°＝× N/C
≈2.9×106 N/C。
考点1 库仑定律的理解与应用
1.对库仑定律的理解
(1)F＝k，r指两点电荷间的距离。对可视为点电荷的两个均匀带电球，r为两球的球心间距。
(2)当两个电荷间的距离r→0时，电荷不能再视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无穷大。
2．库仑力具有力的共性
(1)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵从牛顿第三定律。
(2)库仑力可使带电体产生加速度。
(3)库仑力可以和其他力平衡。
(4)某个点电荷同时受几个点电荷的作用时，要用平行四边形定则求合力。
例1 两个半径均为r的相同金属球，球心相距3r，分别带有电荷量－2Q和＋4Q，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，两小球间距离保持不变，则两小球间库仑力的大小( )
A．等于F B．小于F
C．大于F D．无法确定
(1)这两个球能不能看成点电荷？
提示：不能。
(2)接触以后电荷如何分布？
提示：接触以后两球均带正电，电荷因排斥力分布在两球的远端。
尝试解答 选B。
两金属球相距较近且开始时带异种电荷，电荷因吸引靠近，则原来两球间库仑力F>k；两球接触后，两球均带正电，电荷量均为Q，电荷因排斥远离，所以接触后两球间的库仑力F′
库仑定律的四点提醒
(1)库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用。
(2)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。
(3)对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示。
①同种电荷：F
(4)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。
[变式1] (2020·湖南省永州市高三下高考培优信息卷)如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b的电荷量为＋q，c和d的电荷量为－q，则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是( )
A．0 B．
C． D．
答案 D
解析 根据库仑定律，c电荷对a的库仑引力大小为：Fc＝，b、d电荷对a的库仑力大小均为：Fb＝Fd＝k，且b对a的库仑力是斥力，d对a的库仑力是引力；根据平行四边形定则，a电荷所受的静电力的合力大小为：F＝＝，故A、B、C错误，D正确。
考点2 库仑力作用下的平衡问题
1.四步解决库仑力作用的平衡问题
2．三个自由点电荷的平衡条件及规律
(1)平衡条件：每个点电荷受另外两个点电荷的合力为零，或每个点电荷处于另外两个点电荷产生的电场中合场强为零的位置。
(2)平衡规律。
例2 (2020·天津市南开中学高三下5月模拟)如图所示，用两根长度均为l的绝缘轻绳将带正电的小球悬挂在水平的天花板下，小球的质量为m，轻绳与天花板的夹角均为θ，小球正下方距离也为l的A处一绝缘支架上同样有一个带电小球，此时轻绳的张力均为0，现在将支架水平向右移动到B处，B处位置与两轻绳结点的连线与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，若已知θ＝30°，则( )
A．A处的带电小球带负电
B．支架在A处与在B处时两小球之间的库仑力大小之比为2∶3
C．支架在B处时，左边绳子的张力为mg－mg
D．支架在B处时，右边绳子的张力为mg＋mg
(1)当支架上小球处于A位置时轻绳上张力为零，说明了什么？
提示：两小球间的库仑力为斥力。
(2)当支架上小球处于B位置时，悬挂的小球受几个力？如何处理？
提示：四个力，正交分解。
尝试解答 选C。
当绝缘支架上的带电小球在A位置时，轻绳的张力均为0，对其受力分析可知其只受重力和库仑力，因此两小球之间的库仑力为斥力，则A处的带电小球带正电，故A错误；根据库仑定律可得F＝k，因此绝缘支架在A处与在B处时，两小球之间的库仑力大小之比＝＝＝，故B错误；根据平衡条件知，FA＝mg，则支架在B处时，两球间的库仑力为FB＝FA＝mg，设左、右绳的张力分别为F1和F2，则由正交分解可得F1cos30°＋mgsin30°＝F2cos30°，F1sin30°＋mgcos30°＋F2sin30°＝mg，解得F1＝mg－mg，F2＝mg－mg，故C正确，D错误。
求解带电体平衡问题的方法
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体受力平衡问题的方法相同。
(1)当两个力在同一直线上使带电体处于平衡状态时，根据二力平衡的条件求解；
(2)在三个力作用下带电体处于平衡状态时，一般运用勾股定理、三角函数关系以及矢量三角形等知识求解；
(3)在三个以上的力作用下带电体处于平衡状态时，一般用正交分解法求解。
[变式2－1] 如图所示，两条不等长的细线一端拴在同一点，另一端分别拴两个带同种电荷的小球，电荷量分别是q1、q2，质量分别为m1、m2，当两小球处于同一水平面时恰好静止，且α>β，则造成α、β不相等的原因是( )
A．m1
C．q1
答案 A
解析 对两带电小球分别进行受力分析如图，根据平衡条件有tanα＝，tanβ＝，两者之间库仑力F大小相等，因α>β，所以m1
[变式2－2] 如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为( )
A．正，B的右边0.4 m处 B．正，B的左边0.2 m处
C．负，A的左边0.2 m处 D．负，A的右边0.2 m处
答案 C
解析 根据库仑定律，当C在A的左侧时，C受到A、B库仑力的合力才可能为0，则C在A的左边；为使A受到B、C的库仑力的合力为0，C应带负电；设C在A左侧距A为x处，由于C处于平衡状态，所以k＝，解得x＝0.2 m，C正确。
考点3 电场强度的理解及计算
1.电场强度的性质
矢量性
规定电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同
唯一性
电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的试探电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性
如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2．电场强度三个表达式的比较
表达式比较
E＝
E＝k
E＝
公式意义
电场强度定义式
真空中静止点电荷电场强度的决定式
匀强电场中E与U的关系式
适用条件
一切电场
①真空
②静止点电荷
匀强电场
决定因素
由电场本身决定，与q无关
由场源电荷Q和场源电荷到该点的距离r共同决定
由电场本身决定，d为沿电场方向的距离
3．等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目
等量异种点电荷
等量同种点电荷
电场线
的分布图
连线中点O处的场强
连线上O点场强最小，指向负电荷一方
为零
连线上的场强大小(从左到右)
沿连线先变小，再变大
沿连线先变小，再变大
沿连线中垂线由O点向外场强大小
O点最大，向外逐渐变小
O点最小，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强
等大同向
等大反向
例3 (2020·贵州省安顺市高三下学期3月网上调研)如图所示，在正方形的四个顶点各放一电荷量均为Q的点电荷，a、b、c、d是正方形各边长的中点，则以下说法中正确的是( )
A．a、b、c、d四点的场强相同
B．a、c两点的场强相同
C．b、d两点的场强一定等大且反向
D．e点的场强不为零
(1)应该用什么规律分析计算a、b、c、d、e点的场强？
提示：点电荷的场强公式及场强的叠加原理(即平行四边形定则)。
(2)如何分析可以使问题比较简单？
提示：利用两等量同种点电荷和两等量异种点电荷的电场场强特点对已知点电荷进行分组，进而叠加各组产生的电场。以a点为例，左侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向下，右侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向上。
尝试解答 选C。
设正方形边长为L，对a点研究，左侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向下，大小为E1＝＝，右侧的一正一负两个电荷在a点的合场强方向竖直向上，大小为E2＝·＝，则a点的合场强方向竖直向下，大小为Ea＝E1－E2，同理，可以求出b、c、d各点的场强的大小都是E1－E2，方向分别是水平向右、竖直向上、水平向左，所以a、c两点的场强等大且反向，b、d两点的场强等大且反向，故A、B错误，C正确；由图可知，两个正电荷在e点产生的场强大小相等、方向相反，两个负电荷在e点产生的场强也大小相等、方向相反，所以e点的合场强为零，故D错误。
分析电场叠加问题的一般步骤
电场强度是矢量，叠加时遵从平行四边形定则。分析电场的叠加问题的一般步骤是：
(1)确定要分析计算哪一点的场强；
(2)分析该点的合场强由哪几个分电场合成，确定各个分电场在该点的电场强度的大小和方向；
(3)利用平行四边形定则求出各分电场强度的矢量和。
[变式3－1] (2020·河北高三4月联考)如图所示，MN是点电荷电场中的一条直线，a、b是直线上的两点，已知直线上a点的场强最大，大小为E，b点场强大小为E，a、b间的距离为L，静电力常量为k，则场源电荷的电荷量为( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因直线MN上a点的场强最大，可知场源电荷位于过a点且垂直于直线MN的直线上，设场源电荷在距离a点x的位置，则E＝k，场源电荷距b点的距离为，则b点的场强为E＝k，联立可解得：x＝L，Q＝，故B正确。
[变式3－2] (人教版必修第三册·P17·T7改编)如图所示，在x轴上关于原点O对称的两点A、B分别固定放置点电荷＋Q1和－Q2，x轴上的P点位于B点的右侧，且P点电场强度为零，则下列判断正确的是( )
A．x轴上P点右侧电场强度方向沿x轴正方向
B．Q1
D．与P点关于O点对称的M点电场强度可能为零
答案 A
解析 根据题述可知P点的电场强度为零，根据点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，＋Q1的电荷量一定大于－Q2的电荷量，A、B连线上各点电场强度都不为零，故B、C错误；由于＋Q1的电荷量大于－Q2的电荷量，可知P点右侧电场方向沿x轴正方向，故A正确；由于Q1>Q2，M点和P点关于O点对称，P点电场强度为零，由点电荷电场强度公式和场强叠加原理可知，M点电场强度一定不为零，D错误。
考点4 电场线的应用
1.判断电场强度的方向——电场线上任意一点的切线方向即为该点电场强度的方向。
2．判断静电力的方向——正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
3．判断电场强度的大小(定性)——同一电场，电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小。
4．判断电势的高低与电势降低的快慢——沿电场线方向电势逐渐降低，电场强度的方向是电势降低最快的方向。
例4 某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是( )
A．c点的电场强度大于b点的电场强度
B．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点
C．b点的电场强度大于d点的电场强度
D．a点和b点的电场强度方向相同
(1)在电场线分布图中，用什么表示电场强度的大小？
提示：电场线的疏密程度。
(2)沿曲线运动的粒子合力沿什么方向？
提示：曲线的凹侧。
尝试解答 选C。
电场线的疏密表示电场强度的大小，由题图可知Eb>Ec，Eb>Ed，C正确，A错误；由于电场线是曲线，由a点释放的正电荷如果沿电场线运动，则合力沿轨迹切线，这是不可能的，B错误；电场线的切线方向为该点电场强度的方向，a点和b点的切线不同向，D错误。
电场线的应用
熟悉几种典型的电场线分布有利于我们对电场强度和电势做出迅速判断，且可以进一步了解电荷在电场中的受力和运动情况、静电力做功及伴随的能量转化情况。
[变式4] (2020·天津市红桥区高三上期末)(多选)如图甲所示，A、B是一条电场线上的两点，若在某点释放一初速度为零的电子，电子仅受静电力作用，并沿电场线从A运动到B，其速度随时间变化的规律如图乙所示，则( )
A．静电力FA
答案 AC
解析 在vt图像中图线的斜率表示加速度，由图乙可知，电子由A运动到B的过程中，加速度增大，则电子所受的静电力增大，即静电力FA＜FB，故A正确；根据F＝qE，电子所受静电力增大，场强也增大，所以电场强度EA＜EB，故B错误；电子由静止开始沿电场线从A运动到B，静电力做正功，则静电力的方向从A到B，电子带负电，所以场强方向从B到A，根据沿电场线方向电势逐渐降低可知，电势φA<φB，故C正确；由图乙可知，电子从A运动到B的过程中，速度增大，静电力做正功，电子的电势能减小，则电势能EpA>EpB，故D错误。
1．方法概述
求电场强度有三个公式：E＝、E＝k、E＝，在一般情况下可由上述公式计算电场强度，但在求解带电圆环、带电平面等一些特殊带电体产生的电场强度时，上述公式无法直接应用。这时，如果转换思维角度，灵活运用补偿法、微元法、对称法、等效法、极限法等巧妙方法，可以化难为易。
2．常见类型与解题思路
方法一：补偿法
将有缺口的带电圆环(或半球面、有空腔的球等)补全为圆环(或球面、球体等)分析，再减去补偿的部分产生的影响。
【典题例证1】
(2020·山东省六地市高三3月在线联考)已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A、B两个点，O和B、B和A间的距离均为R，现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V＝πr3，则A点处场强的大小为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意知，半径为R的均匀带电球体在A点产生的场强为：E整＝＝，同理，挖去前空腔处的小球体在A点产生的场强为：E割＝＝＝，所以剩余空腔部分电荷在A点产生的场强为：Ex＝E整－E割＝－＝，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
名师点睛 当所给带电体不是一个完整的规则物体时，将该带电体割去或增加一部分，组成一个规则的整体，从而求出规则物体的电场强度，再通过电场强度的叠加求出待求不规则物体的电场强度。应用此法的关键是“割”“补”后的带电体应当是我们熟悉的某一物理模型。
方法二：对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
【典题例证2】
(2020·浙江省杭州第二中学高三下学期3月月考)如图，在点电荷－q的电场中，放着一块带有一定电荷量、电荷均匀分布的绝缘矩形薄板，MN为其对称轴，O点为几何中心，点电荷－q与a、O、b之间的距离分别为d、2d、3d。已知图中a点的电场强度为零，则带电薄板在图中b点处产生的电场强度的大小和方向分别为( )
A．，水平向右 B．，水平向左
C．＋，水平向右 D．，水平向右
[解析] 由电场的矢量叠加原理，可知矩形薄板在a点处产生的场强与点电荷－q在a点处产生的场强等大反向，即大小为E＝，方向水平向左；由对称性可知，矩形薄板在b点处产生的场强大小也为E＝，方向水平向右，故A正确。
[答案] A
名师点睛 形状规则的带电体形成的电场具有对称性，位置对称的两点处的电场强度大小相等。如果能够求出其中一点处的电场强度，根据对称性特点，另一点处的电场强度即可求出。
方法三：微元法
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元可看成点电荷，先根据库仑定律求出每个电荷元的场强；再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
求解均匀带电圆环、带电平面、带电直杆等在某点产生的场强问题，可应用微元法。
【典题例证3】
(2020·河北省张家口市第一学期阶段测试)如图所示，水平面上有一均匀带电圆环，所带电荷量为＋Q，其圆心为O点。有一电荷量为＋q、质量为m的小球恰能静止在O点上方的P点，O、P间距为L。P与圆环上任一点的连线与PO间的夹角都为θ，重力加速度为g，以下说法错误的是( )
A．P点场强方向竖直向上
B．P点场强大小为
C．P点场强大小为k
D．P点场强大小为k
[解析] 将圆环分为n等份(n很大，每一份可以认为是一个点电荷)，则每份的电荷量为：q0＝，每份在P点产生的电场的电场强度大小为：E0＝＝＝，根据对称性可知，P点处水平方向的合场强为零，则P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0cosθ＝，故A、D正确，C错误；因小球在P点静止，由二力平衡可得：mg＝qE，解得P点场强大小为：E＝，故B正确。本题选说法错误的，故选C。
[答案] C
名师点睛 微元法是从部分到整体的思维方法，把带电体看成由无数个点构成。然后根据对称性，利用平行四边形定则进行电场强度叠加。利用微元法可以将一些复杂的物理模型、过程转化为我们熟悉的物理模型、过程，以解决常规方法不能解决的问题。
方法四：等效法
在保证效果相同的条件下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景。
【典题例证4】
(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d处的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB＝d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是( )
A．O点场强大小为k
B．A点场强大小为k
C．B点场强大小为k
D．A、B两点场强大小相等，方向相反
[解析] 系统达到静电平衡后，因为金属板接地，电势为零，所以电场线分布如图所示，所以金属板右侧的电场的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，所以O点场强大小为EO＝k＋k＝k，A正确；A点场强大小为EA＝k＋k＝k，B错误；B点场强大小为EB＝k－k＝k，C正确；由上述分析可知D错误。
[答案] AC
名师点睛 等效法的实质是在效果相同的情况下，利用与问题中相似或效果相同的知识进行知识迁移的解题方法，往往是用较简单的因素代替较复杂的因素。
方法五：极限法
对于某些特殊情况下求解有关场强问题，有时无法用有关公式、规律得出结论，可考虑应用极限法。
极限法是把某个物理量的变化推向极端再进行推理分析，从而做出科学的判断或导出一般结论。极限法一般适用于所涉及的物理量随条件单调变化的情况。
【典题例证5】
物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q(q>0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(r
A．E＝|－|
B．E＝|－|
C．E＝|－|
D．E＝|－|
[解析] 与点电荷的场强公式E＝k比较可知，A、C两项表达式的单位不是场强的单位，故可以排除；由电场强度的分布规律可知，当r＝a时，右侧圆环在A点产生的场强为零，则A处场强只由左侧圆环上的电荷产生，即场强表达式只有一项，故B错误；综上所述，可知D正确。
[答案] D
名师点睛 本题由于带电体为圆环状，超过了我们高中学生的教材学习范围，但通过一定的分析就可判断。首先根据场强的单位(量纲)进行判断，再分析特殊点即可得出结论。在物理学中，通过对量纲的分析，有时可以帮助我们快速找到一些错误。
【针对训练】
1. (2020·黑龙江省齐齐哈尔模拟)如图所示，两个电荷量为q的点电荷分别位于带电的半径相同的球壳和球壳的球心，这两个球壳上电荷均匀分布且电荷面密度相同，若甲图中带电球壳对点电荷q的库仑力的大小为F，则乙图中带电的球壳对点电荷q的库仑力的大小为( )
A．F B．F
C．F D．F
答案 D
解析 将图乙中的均匀带电球壳分成三个带电球壳，关于球心对称的两个带电球壳对点电荷的库仑力的合力为零，因此乙图中带电的球壳对点电荷的库仑力的大小和甲图中均匀带电球壳对点电荷的库仑力的大小相等，D正确。
2. 如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q(q>0)的固定点电荷。已知b点处的场强为零，则d点处场强的大小为(k为静电力常量)( )
A．k B．k
C．k D．k
答案 B
解析 由b点处场强为零知，圆盘在b点处产生的场强E1与点电荷q在b点处产生的场强E2大小相等，即E1＝E2＝k，由对称性可知，圆盘在d点产生的场强E3＝k，点电荷q在d点产生的场强E4＝k，方向与E3相同，故d点的合场强Ed＝E3＋E4＝k，B正确，A、C、D错误。
1．(2020·全国卷Ⅱ)(多选) 如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
答案 ABC
解析 如图甲所示，为等量异种点电荷周围空间的电场线分布图。本题的带电圆环，可分割成如图乙所示无数对沿竖直方向的等量异种点电荷。图乙等量异种点电荷有共同的对称轴PP′，由图甲电场线分布图可知，图乙中任一对等量异种点电荷在PP′上产生的电场都竖直向下，故PP′上的合电场也竖直向下，故PP′所在的水平直线为等势线，即φa＝φb，而沿电场线的方向电势降低，则φc>φd，故B正确，D错误。
由圆环上电荷左右分布的对称性及图乙模型可知，a、b两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等；由圆环上电荷左右、上下分布的对称性及图乙模型可知，c、d两点的场强方向均竖直向下，场强大小相等，故A、C正确。
2．(2019·全国卷Ⅱ)(多选)静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M点由静止开始运动，N为粒子运动轨迹上的另外一点，则( )
A．运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B．在M、N两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C．粒子在M点的电势能不低于其在N点的电势能
D．粒子在N点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
答案 AC
解析 如图所示，在两正电荷形成的电场中，一带正电的粒子在两电荷的连线上运动时，粒子有可能经过先加速再减速的过程，A正确；已知带电粒子只受电场力，粒子运动轨迹与电场线重合须具备初速度与电场线平行或为0、电场线为直线两个条件，B错误；带电粒子仅受电场力在电场中运动时，其动能与电势能的总量不变，EkM＝0，而EkN≥0，故EpM≥EpN，C正确；粒子运动轨迹的切线方向为速度方向，由于粒子运动轨迹不一定是直线，故粒子在N点所受电场力的方向与粒子轨迹在该点的切线方向不一定平行，D错误。
3. (2019·全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P和Q用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )
A．P和Q都带正电荷
B．P和Q都带负电荷
C．P带正电荷，Q带负电荷
D．P带负电荷，Q带正电荷
答案 D
解析 细绳竖直，把P、Q看作整体，在水平方向所受合力为零，对外不显电性，带异种电荷，A、B错误；P、Q带不同性质的电荷，有两种情况：P带正电，Q带负电，或P带负电，Q带正电，两种情况的受力分别如图所示，由图知，P带负电，Q带正电时符合题意，C错误，D正确。
4. (2018·全国卷Ⅰ)如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
答案 D
解析 对固定的小球c受到的库仑力进行分析，要使c球受到的库仑力合力与a、b的连线平行，则竖直方向小球c受到的库仑力合力为零，则a、b的电荷必须异号，如图所示，则有：k·sinα＝k·sinβ，故＝＝＝，D正确。
5．(2018·浙江11月选考)电荷量为4×10－6 C的小球绝缘固定在A点，质量为0.2 kg，电荷量为－5×10－6 C的小球用绝缘细线悬挂，静止于B点。A、B间距离为30 cm，A、B连线与竖直方向夹角为60°。静电力常量为9.0×109 N·m2/C2，小球可视为点电荷。下列图示正确的是( )
答案 B
解析 两球之间的库仑力大小为F＝k＝9.0×109× N＝2 N，根据题意，F与竖直方向的夹角为60°，小球B的重力大小为GB＝mBg＝2 N，知F＝GB，又因小球B静止，故小球B受到的库仑力、重力以及细线的拉力组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B正确。
6. (2017·北京高考)如图所示，长l＝1 m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10－6 C，匀强电场的场强E＝3.0×103 N/C，取重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
(1)小球所受电场力F的大小。
(2)小球的质量m。
(3)将电场撤去，小球回到最低点时速度v的大小。
答案 (1)3.0×10－3 N (2)4.0×10－4 kg
(3)2.0 m/s
解析 (1)F＝qE＝3.0×10－3 N。
(2)由＝tan37°，得m＝4.0×10－4 kg。
(3)由mgl(1－cos37°)＝mv2，
得v＝＝2.0 m/s。
时间：50分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～8题为单选，9～10题为多选)
1．两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是( )
A．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
B．A、B两点的电场强度大小相等，方向不同
C．右边点电荷带正电，左边点电荷带负电
D．两点电荷所带电荷量相等
答案 C
解析 电场线的疏密代表场强的强弱，电场线越密，代表电场越强，电场强度方向为电场线的切线方向，故从图可以看出A、B两点电场强度的大小和方向均不同，A、B错误；电场线从正电荷指向负电荷，C正确；右边点电荷周围的电场线比较密集，故此点电荷的电荷量较大，D错误。
2. (2020·海南省高三压轴卷)如图所示，a、b两点处分别固定有等量异种点电荷＋Q和－Q，c是线段ab的中点，d是ac的中点，e是ab的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在d、c、e点，它所受的静电力分别为Fd、Fc、Fe，则下列说法中正确的是( )
A．Fd、Fc的方向水平向右，Fe的方向竖直向上
B．Fd、Fc、Fe的方向都是水平向右
C．Fd、Fe的方向水平向右，Fc＝0
D．Fd、Fc、Fe的大小都相等
答案 B
解析 等量异种点电荷的电场分布如图，从图中可知，c、d、e三点的场强的方向都水平向右，所以该正点电荷在这三点受到的静电力的方向都水平向右，故A、C错误，B正确；从图中可知d点的电场线最密，e点的电场线最疏，所以该正点电荷在d点所受的静电力最大，故D错误。
3. (2020·四川省攀枝花市高三下第三次统考)如图所示，在竖直平面内有一固定绝缘光滑细杆，细杆与竖直方向的夹角为θ。一重为G、电荷量为q的带正电小球穿在细杆上，现在小球所在空间施加一匀强电场，可使小球处于静止状态，则该匀强电场场强的最小值为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 小球受重力、静电力及可能存在的杆的弹力，根据力的矢量三角形可知，当静电力方向沿杆向上时，静电力最小，则qEmin＝Gcosθ，即Emin＝，故C正确。
4. (2020·山西省阳泉市高三上学期期末)直角三角形ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，在A点和C点分别固定两个点电荷，已知B点的电场强度方向垂直于BC边向下，则( )
A．两点电荷都带正电
B．A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电
C．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为
D．A点处电荷的电荷量与C点处电荷的电荷量的绝对值之比为
答案 C
解析 若两点电荷都带正电，则两点电荷在B点产生的场强方向分别沿着AB和CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故A错误；若A点的点电荷带负电，C点的点电荷带正电，则A点的点电荷在B点的场强方向沿着BA方向，C点的点电荷在B点的场强方向沿着CB方向，由平行四边形定则可知，B点的场强不可能垂直于BC边向下，故B错误；同理分析可知，A点的点电荷带正电，C点的点电荷带负电，它们在B点的场强如图所示，则cos30°＝，设AC＝L，则AB＝L，BC＝2L，EA＝k，EC＝k，解得＝，故C正确，D错误。
5. 一负电荷从电场中A点由静止释放，只受静电力作用，沿电场线运动到B点，它运动的vt图像如图所示，则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
答案 C
解析 由vt图可知负电荷在电场中做加速度越来越大的加速运动，故电场线应由B指向A，且从A到B场强变大，电场线变密，C正确。
6．一带负电荷的质点，在静电力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的。关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
答案 D
解析 由a至c曲线的弯曲情况可知质点受力方向指向图中虚线的右下方，质点在b点的速度vb方向如图所示，由a至c速率递减可知受力方向与速度的方向的夹角为钝角，大致如图中F，α角大于90°，因为质点带负电荷，故场强方向应与F方向相反，D正确。
7. (2020·江苏省南京市、盐城市高三二模)为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用绝缘细线将质量为m、带电量为＋q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝ 30°，重力加速度为g，则该匀强电场的电场强度E大小为( )
A．E＝mg B．E＝mg
C．E＝mg D．E＝
答案 D
解析 设该匀强电场方向与竖直方向的夹角为β，则开始时，根据平衡条件，水平方向有：T1sin60°＝qEsinβ，竖直方向有：T1cos60°＋qEcosβ＝mg；当用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后电荷量减半，此时水平方向有：T2sin30°＝qEsinβ，竖直方向有：T2cos30°＋qEcosβ＝mg，联立解得qE＝mg，β＝60°，即E＝，故D正确。
8. (2020·浙江省高考压轴卷)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置，如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，则两个小球的受力情况与原来相比( )
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力增大
C．地面对小球B的弹力一定不变
D．两个小球之间的距离减小
答案 C
解析 以A球为研究对象，受力如图1所示，设B对A的库仑力F库与竖直墙面的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为：N1＝mAgtanθ；将小球B向左推动少许时θ减小，则N1减小，故B错误；再以A、B整体为研究对象，受力如图2所示，由平衡条件得：F＝N1，地面对小球B的弹力为：N2＝(mA＋mB)g，则N2不变，F减小，A错误，C正确；由图1及平衡条件知F库＝，θ减小，cosθ增大，则F库减小，根据F库＝可知，两个小球之间的距离增大，D错误。
9. (2020·山东省潍坊市高考模拟)如图所示，带电量为＋q和－q的点电荷分别位于绝缘薄圆盘中心轴线上，两电荷到圆心O的距离相等。A点位于圆盘边缘，B点为某半径的中点，关于A、B、O三点电场强度E的大小和电势φ的高低关系判断正确的是( )
A．EA
答案 AD
解析 根据等量异种点电荷中垂面上电场线分布的特点可知，圆心O处的场强最大，离圆心越远，电场线越稀疏，场强越小，即EA
答案 BD
解析 由于A、B两点处有等量同种正点电荷，所以在AB中垂线上，A、B连线中点的场强为零，无穷远处场强也为零，其间有一点电场强度最大，所以该点电荷从C点向A、B连线中点运动的过程中，加速度可能一直减小，也可能先增大后减小，再根据对称性可知，A、C错误，B、D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)如图所示，真空中xOy平面直角坐标系上的A、B、C三点构成等边三角形，边长L＝2.0 m。若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6 C的两点电荷分别固定在A、B点，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)两点电荷间的库仑力大小；
(2)C点的电场强度的大小和方向。
答案 (1)9.0×10－3 N
(2)7.8×103 N/C 方向沿y轴正方向
解析 (1)根据库仑定律，A、B两点电荷间的库仑力大小为F＝k①
代入数据得F＝9.0×10－3 N②
(2)A、B两点电荷在C点产生的电场强度大小相等，均为E1＝k③
A、B两点电荷形成的电场在C点的合电场强度大小为E＝2E1cos30°④
由③④式并代入数据得
E＝7.8×103 N/C，电场强度E的方向沿y轴正方向。
12. (16分)如图所示，空间存在着场强E＝、方向竖直向上的匀强电场，在电场内一长为L的绝缘细线，一端固定在O点，另一端拴着质量为m、电荷量为q的小球。现将细线拉直到水平位置，使小球由静止释放，当小球运动到最高点时细线受到的拉力恰好达到它能承受的最大值而断裂。求：
(1)小球运动到最高点时速度的大小；
(2)细线能承受的最大拉力；
(3)从断线开始计时，在t＝时刻小球与O点的距离。
答案 (1)2 (2)6mg (3)2L
解析 (1)设小球运动到最高点时速度为v，只有重力和静电力做功，弹力不做功。对该过程由动能定理有
qEL－mgL＝mv2
解得v＝＝2。
(2)在最高点时，小球受重力、静电力和细线的拉力三个力作用，由牛顿第二定律得
FT＋mg－qE＝m
解得FT＝6mg。
由牛顿第三定律可得细线能承受的最大拉力FT′＝6mg。
(3)在细线断裂后，带电小球做类平抛运动，合力竖直向上，在竖直方向的加速度设为a，则a＝＝2g
小球在t时刻的水平位移为x＝vt＝2L
竖直位移为y＝at2＝L
此时小球与O点的距离为d＝＝2L。
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