初中北师大版5 一元二次方程的根与系数的关系课后复习题

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*5 一元二次方程的根与系数的关系
核心回顾
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则x1＋x2＝__－ eq \f(b,a) __，x1x2＝__ eq \f(c,a) __．
微点拨
1．根与系数关系使用的前提
(1)是一元二次方程，即a≠0.
(2)方程为一般形式，即形如ax2＋bx＋c＝0.
(3)判别式大于等于零，即b2－4ac≥0.
2．x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1 )) ＋ x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2 )) ＝ (x1＋x2)2－2x1·x2.
eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1·x2) .
(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2.
|x1－x2|＝ eq \r(（x1－x2）2)
＝ eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2) .
基础必会
1．一元二次方程x2－3x＝4的两根分别为x1和x2，则x1x2为(D)
A．3 B．－3 C．4 D．－4
2．关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为(C)
A．－8 B．8 C．16 D．－16
3．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则 eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) 的值为(D)
A．2 B．－1 C．－ eq \f(1,2) D．－2
4．关于x的一元二次方程x2＋nx＋m＝0的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是(D)
A．m＝0，n＝0 B．m≠0，n≠0
C．m≠0，n＝0 D．m＝0，n≠0
5．已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是x＝2，则另一个根为__x＝－1__．
6．设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝__2__．
7．若x1，x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根，则x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) x2＋x1x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 的值为__6__．
8．已知a＝4，b，c是方程x2－8x＋15＝0的两个根，则以a，b，c为三边长的三角形面积是__6__．
9．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x1－x2)2. (2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x1))) .
解析:根据根与系数的关系可得：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－ eq \f(3,2) .
(1)(x1－x2)2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －2x1x2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋2x1x2－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＝10.
(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,x2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x1))) ＝x1x2＋1＋1＋ eq \f(1,x1x2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2))) ＋2＋ eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))) ＝－ eq \f(1,6) .
10．已知：关于x的方程x2＋kx－2＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及k的值．
解析:(1)Δ＝k2－4×1×(－2)＝k2＋8，
∵k2≥0，
∴k2＋8＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)将x＝－2代入原方程得：4－2k－2＝0，
∴k＝1.
设方程的另一个根为x1，
依题意得：－2·x1＝－2，∴x1＝1.
∴方程的另一个根为1，k的值为1.
能力提升
1．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则a2＋b2的值为(C)
A．36 B．50 C．28 D．25
2．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.且x1，x2满足x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －x1x2＝16，则a的值为(B)
A．－6 B．－1
C．1或－6 D．6或－1
3．若x1＋x2＝3，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
4．若a，b是方程x2＋x－2 022＝0的两根，则a2＋2a＋b＝__2__021__．
5．已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围．
(2)若x1，x2满足x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝16＋x1x2，求实数k的值．
解析:(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，
解得：k≤ eq \f(5,4) ，
∴实数k的取值范围为k≤ eq \f(5,4) .
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2－1.
∵x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1·x2，
∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去).
∴实数k的值为－2.