北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第2课时精练
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第一章 2矩形的性质与判定 第2课时核心回顾 矩形的判定方法矩形的判定文字叙述几何语言定义法有一个角是直角的平行四边形是矩形∵四边形ABCD是平行四边形且∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形对角线法对角线相等的平行四边形是矩形∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形三个直角法有三个角是直角的四边形是矩形∵在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形微点拨 1.在判断四边形的形状时,若已知条件中有对角线,可首先考虑能否用对角线的条件证明是矩形.2.在判断四边形的形状时,若可证出一个直角,可考虑能否用定义和三个角是直角证明是矩形.3.矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的,注意它们的区别和联系.基础必会 1.下列命题中,真命题的是(A)A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2.如图,要使▱ABCD为矩形,则可以添加的条件是(B)A.AC⊥BD B.AC=BDC.∠AOB=60° D.AB=BC3.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.添加下列条件后,不能得到四边形ADEF是矩形的是(D)A.∠BAC=90° B.BC=2AEC.DE平分∠AEB D.AE⊥BC4.木匠做一个矩形木框,长为80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm,则这个木框__合格__.(填“合格”或“不合格”)5.如图,在平行四边形ABCD中,∠A=90°,点M是CD的中点,点P是AB上任一点.若AD=1,AB=2,则PA+PB+PM的最小值为__3__.6.已知:如图,在▱ABCD中,点E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF.(1)求证:△ABE≌△FCE;(2)若AF=AD,求证:四边形ABFC是矩形.【证明】(1)如图.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,即AB∥DF,∴∠1=∠2,∵点E是BC的中点,∴BE=CE.在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(AAS).(2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC,∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∵AF=AD,∴AF=BC,∴四边形ABFC是矩形.能力提升 1.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是(B)A.AB=BE B.BE⊥DCC.∠ADB=90° D.CE⊥DE2.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=5,D为边AC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则EF的最小值为(B)A.4.8 B. C. D.133.如图,在矩形ABCD中,AB=4 cm,AD=12 cm,点P从点A向点D以每秒1 cm的速度运动,Q以每秒4 cm的速度从点C出发,在B,C两点之间做往返运动,两点同时出发,点P到达点D为止(同时点Q也停止),这段时间内,当运动时间为__2.4__s或4__s或7.2__s__时,P,Q,C,D四点组成矩形.4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)连接OE,若AD=10,EC=4,求OE的长度.解析:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD=BC,∵BE=CF,∴BC=EF,∴AD=EF,∵AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,∴平行四边形AEFD是矩形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AD=10,∴AD=AB=BC=10,∵EC=4,∴BE=10-4=6,在Rt△ABE中,AE==8,在Rt△AEC中,AC==4,∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,∴OE=AC=2.
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