2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省厦门市湖滨中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．过点且倾斜角为90°的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.

【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.

2．已知空间向量，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．

【答案】D

【分析】利用空间向量模长公式进行求解.

【详解】.

故选：D

3．若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（    ）．

A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距

C．有相等的短轴长 D．有相等的离心率

【答案】B

【分析】先确定两椭圆的长轴和短轴，计算其，比较即可.

【详解】因为，所以，所以椭圆中，，故A,C错误；椭圆的，椭圆的，故两椭圆相等，所以有相等的焦距，故B正确；离心率，两椭圆不相等，相等，显然离心率不一样，故D错误.

故选：B

4．关于x，y的方程组，没有实数解，则实数a的值是（　　）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据两直线平行的条件可得．

【详解】依题意，得直线与直线平行，且.

所以得.

故选：C．

5．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用两点关于直线对称可求得圆心的坐标，进而可得出圆的方程.

【详解】记点，设圆心的坐标为，则，可得，

线段的中点在直线上，则，即，

所以，，解得，即圆心，

因此，圆的方程为.

故选：A.

6．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量线性运算法则计算即可.

【详解】

．

故选：C．

7．已知直线和圆相交，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.

【详解】圆可化为，圆心为，半径为

圆心到直线的距离

由直线与圆相交可知，解得

所以实数的取值范围为

故选：B

8．已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】据，得到，根据点A到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.

【详解】设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：

由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则

又 ，四边形为平行四边形

，

又，解得：

A到l的距离为：，

解得：，即

    .

故选：B.

二、多选题

9．直线的斜率是关于k的方程的两个根，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若则 D．若，则

【答案】AD

【分析】根据韦达定理得到，由两直线垂直斜率之积为可得结果；再根据两直线平行斜率相等，结合可得结果.

【详解】直线，的斜率，是关于的方程的两根，∴，

若，则，得；

若，则，∴，得，

故选：AD

10．已知圆C：，则下列四个命题表述正确的是（    ）

A．圆C上有且仅有3个点到直线1：的距离都等于1

B．过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为

C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有，则∠PCQ的最大值为

D．若圆C与E：相外切，则

【答案】BC

【分析】对于A：根据题意利用点到直线距离可得，故圆C上有4个点到直线l的距离为1；对于B：利用两圆公共弦的求法理解处理；对于C：根据向量和垂径定理可得，理解分析；对于D：根据两圆外切得，运算判断．

【详解】圆C的圆心，半径，

圆心到直线l：的距离，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A不正确；

过点作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A、C、M、N四点共圆，且为AC为直径，方程为，MN是其圆C的公共弦，直线MN为，故B正确；

设PQ的中点为D，则．因为，

即，可得，

则，故的最大值为，故C正确；

圆E：的圆心，半径

根据题意可得，即得，故D错误．

故选：BC．

11．已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由题可得或，即可求出.

【详解】解：，，

直线l过点且与线段MN相交，则或，

则直线l的斜率k的取值范围是：或．

故选：AB．

12．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（    ）

A．该几何体是四棱台

B．该几何体是棱柱，平面是底面

C．

D．平面与平面的夹角为

【答案】ABC

【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】因为四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形，

所以这个六面体是四棱柱，平面和平面是底面，故A，B错误；

由题意可知，，两两垂直，如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

则，所以，不垂直，故C错误；

根据题意可知平面，所以为平面的一个法向量，

，

设为平面的法向量，

则有则可取，

则，

所以平面与平面的夹角为，故D正确．

故选：ABC

三、填空题

13．已知向量则在上的投影向量的模为___________.

【答案】

【分析】直接利用向量的夹角运算的应用求出结果．

【详解】因为，，

所以；

所以向量在向量上的投影向量的模．

故答案为：．

14．已知直线，则直线恒过定点_____．

【答案】

【分析】将直线的方程变形为，解方程组，可得出直线所过定点的坐标.

【详解】直线的方程可化为，

由，解得，

故直线恒过定点.

故答案为：.

15．已知圆与圆相切，则______.

【答案】1或3##3或1

【分析】由已知可得两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分两圆内切和外切两种情况讨论，求出的值即可．

【详解】圆的圆心为，半径，

圆的圆心为，半径，

其圆心距．

若两圆内切，则有，即，可得或（舍）；

若两圆外切，则有，即，解可得．

故答案为：1或3．

16．已知圆是以点和点为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点，点，则的最大值为___________

【答案】

【分析】求出圆的方程，构造，得到，，然后根据几何知识求最值即可.

【详解】

根据题意得，，所以圆的半径为4，圆的方程为，如图，，则，

所以，即，故，

所以，在中，，当、、共线时最大，最大为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知向量，，，，.

(1)求，，；

(2)求与所成角的余弦值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）根据向量平行得到，根据向量垂直得到，计算得到答案.

（2）计算，，再根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1），故，即，

故，，，即，，

，故，，故

（2），，与所成角的余弦值为：

18．已知直线与直线相交于点，且点在直线上．

(1)求点的坐标和实数的值；

(2)求与直线平行且与点的距离为的直线方程．

【答案】(1)P(-2，-1)；a=2

(2)或

【分析】（1）由题意，联立直线方程，求交点，再将点代入含参直线方程，求得答案；

（2）由（1）明确直线方程，根据平行，设出所求直线方程，利用点到直线距离公式，可得答案.

【详解】（1）所以联立，解得：P(-2，-1)．

将P的坐标(-2，-1)代入直线中，解得a=2．

（2）由（1）知直线，设所求直线为．

因此点P到直线l的距离，解方程可得c=5或-5，

所以直线的方程为或．

19．已知圆过点，，.

(1)求圆的标准方程；

(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的一般式方程.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）设圆的一般方程，应用待定系数法，根据点在圆上列方程组求参数，即可得方程；

（2）由（1）所得圆的方程及弦长易知圆心到所求直线的距离为，讨论直线的斜率的存在性，再结合点线距离公式求直线方程.

【详解】（1）设圆的方程为，

由题意知，解方程组得，

故所求圆的方程为，即;

（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为，故圆心到直线的距离为，则

（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意；

（ii）当直线的斜率存在时，可设直线方程为，即，

则圆心到直线的距离，解得，此时直线方程为.

综上，所求直线方程为或

20．如图所示，在四棱锥中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为梯形，，，，点E在线段PD上，．

(1)求证：平面PAB；

(2)求点B到平面PCD的距离．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）作交于点，证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：作交于点，

因为，所以，

又且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面PAB，平面PAB，

所以平面PAB；

（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

设直线与平面所成的角为，

则，

所以点B到平面PCD的距离为.

21．在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解后可求椭圆的方程.

（2）联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，而，则，

故，故，故椭圆方程为：.

（2）椭圆的右焦点坐标为，则直线，

由，故，

设，故.

22．已知圆，点，为上一动点，始终为的中点.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若存在定点和常数，对轨迹上的任意一点，恒有，求与的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）设，由中点公式可得，代入到圆的方程中，整理即可求解；

（2）设，由两点间距离公式可得，结合，可得，由式子恒成立，可知，即可求解.

【详解】（1）设，

因为为的中点，，所以，即，

因为圆的方程为，则，整理得，，

故动点Q的轨迹方程为.

（2）设，则且，

整理得，

因为在Q的轨迹上，所以，

故，

当且仅当时上式恒成立，此时，，则，

解得或9，

当时，，不合题意，舍去；

当时，，符合题意，

故，.