2022-2023学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二上学期期中数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高二上学期期中数学试题 一、单选题1．数列，，，，，的一个通项公式为（     ）A． B．C． D．【答案】C【分析】用观察法总结其规律，写出一个通项公式即可.【详解】先不考虑符号，数列1，3，5，7，9，的通项公式为，然后再考虑符号（正负交替出现），则它的一个通项公式为．故选：C．2．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C.3．等比数列中，，则数列的前8项和等于A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴lga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2…×a8）==4lg10=4．故选C．【解析】等比数列的前n项和． 4．已知是等差数列的前项和，若，，则（    ）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】A【分析】根据等差数列和的性质，分析即得解.【详解】由等差数列的性质得：，，成等差数列，所以，解得.故选：A5．已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线的斜率，即可求出倾斜角；【详解】解：设直线l的倾斜角为，则，所以.故选：A.6．若与相外切，则（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得：.故选：C.7．在平面直角坐标系中，，，若动点P满足，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意列式求的轨迹方程后结合圆的性质求解即可.【详解】设点P坐标为，由，得，整理得，所以点P的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以.故选：D8．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则立夏日影长为（    ）A．1.5尺 B．4.5尺 C．3.5尺 D．2.5尺【答案】B【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解.【详解】设等差数列为，公差为，，解得，∴立夏日影长为．故选：B． 二、多选题9．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】BC【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得，所以.故选：BC.10．已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求出，得到直线l的斜率，可求出直线l的方程【详解】因为，，所以，所以直线l的斜率.当时，直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即.故选：AC.11．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ）A．数列是等比数列 B．数列是等差数列C． D．【答案】ACD【分析】利用求解出当时，，故数列是等比数列，求出通项公式和前项和公式，判断出答案.【详解】当时，，所以，当时，，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，.故选：ACD.12．已知动点在圆上，直线过点，则（    ）A．当直线与圆相切时，l的方程为B．当直线过点时，点到直线的距离的最大值为C．当直线的斜率为时，直线被圆所截得的弦长为D．若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则直线斜率【答案】BCD【分析】分当直线斜率不存在和存在时两种情况讨论判断A；求得圆心到直线的距离，再与半径求和判断B；根据几何法求弦长判断C；根据圆心到直线的距离解不等式判断D.【详解】由题知，圆的圆心为，半径为.对于A，当直线斜率不存在时，方程为，此时圆心到的距离为，等于半径，故满足；当直线斜率存在时，设方程为，则有，解得，故方程为，故当直线与圆相切时，l的方程为或，故A错误；对于B，直线过点时，其方程为即，此时圆心到直线的距离为，故点到直线的距离的最大值为，故B正确；对于C，当直线的斜率为时，其方程为即，此时圆心到直线的距离为，故直线被圆所截得的弦长为，故C正确；对于D，若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离，设直线方程为，则，即，解得，故D正确.故选：BCD 三、填空题13．若直线：与直线：平行，则______.【答案】【分析】两直线平行，则斜率相等，排除重合的情况.【详解】已知直线：与直线：平行，则且，解得.故答案为：14．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.【答案】；【详解】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．考点:等比数列的通项公式．15．若“数列是递增数列”为假命题，则的取值范围是______.【答案】【分析】先根据“数列是递增数列得的取值范围是，再根据命题的真假求范围即可.【详解】解：若数列是递增数列，则有对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，所以，，所以，“数列是递增数列”为假命题时，的取值范围是因为“数列是递增数列”为假命题，所以，的取值范围是故答案为：16．函数的最小值是_____________.【答案】5【分析】依题意可得，设，，，则问题转化为求点到点，两点的距离之和的最小值，求出关于轴的对称点的坐标，则，再根据距离公式求解即可.【详解】解：因为，设，，，则表示点到点，两点的距离之和，即，点是轴上的点，则点关于轴的对称点为，则，所以，所以的最小值是.故答案为： 四、解答题17．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值．【答案】(1) an＝4n－32，n∈N＋.(2)当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.【分析】（1）根据数列的前n项和与通项的关系可求通项公式；（2）对于前n项和的最值可以用以下两种方法求解，方法一，利用二次函数的最值求法（对称轴法）求解；方法二，根据数列的单调性求解，先判断从第9项开始，有an>0，之前各项为负，故其前7项或前8项之和最小．【详解】(1)∵Sn＝2n2－30n，∴当n＝1时，a1＝S1＝－28.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－30n)－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.∴an＝4n－32，n∈N＋.(2)方法一 Sn＝2n2－30n＝2(n－ )2－ ，∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112.方法二 ∵an＝4n－32，∴a1<a2<…<a7<0，a8＝0，当n≥9时，an>0.∴当n＝7或8时，Sn最小，且最小值为S7＝S8＝－112【点睛】数列的前n项和的最值问题求解方法：（1）把前n项和看作是关于n的函数，利用具体函数的最值求法解决；（2）首先判断数列的单调性，确定它的正数项或负数项的开始位置，再求和．18．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.(1)若直线，求直线l的方程；(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，（2）由题意得过原点或斜率为后求解【详解】（1）联立得即.因为，不妨设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为.（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程是或.19．已知以点为圆心的圆与直线相切，，与相交于，两点.(1)求的方程；(2)若，求直线与之间的距离，【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系可得圆的半径，进而可得圆的方程；（2）由，设直线方程为，根据弦长可得圆心到直线距离，进而可得的值.【详解】（1）由与直线相切可知，的半径，所以的方程是；（2）因为，设直线的方程为，所以圆心到直线的距离，由，解得或，所以直线的方程为或，当直线的方程为时，直线与直线的距离为；当直线的方程为时，直线与直线的距离为，所以直线与直线的距离为或.20．已知数列满足，.(1)求证：数列是等差数列；(2)若且，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可；（2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可.【详解】（1）证明：因为，所以.因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知，，所以.因为，当时，，所以，当时，也符合，所以，所以，所以，①，②①-②，得，所以.21．已知的方程是，直线l经过点.(1)若直线l与相切，求直线l的方程；(2)若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）根据直线斜率不存在和存在两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径列式求解即可；（2）设直线l的方程为，设线段的中点为N，则，再根据，联立直线与圆的方程，再结合韦达定理化简求解即可.【详解】（1）的方程化为标准形式是，圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，所以直线l的方程是，即.综上所述，直线l的方程是或.（2）证明：因为直线l与相交于A，B两点，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立得即点.设线段的中点为N，则，设直线的方程是，联立得即点，所以，所以为定值-12.22．已知圆C1：x2+y2﹣2mx﹣4my+5m2﹣4＝0，圆C2：x2+y2＝1．(1)若圆C1、C2相交，求m的取值范围；(2)若圆C1与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M、N两点，且|MN|，求m的值；(3)已知点P（2，0），圆C1上一点A，圆C2上一点B，求||的最小值的取值范围．【答案】(1)或(2)m＝0或m(3)[3，+∞） 【分析】（1）根据|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，即可求解m的取值范围；（2）由C1到直线l的距离为，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解m的值．（3）通过作圆C2的对称圆C3，找到B的对称点B1，然后将||转化为||＝||，即圆C1与圆C3上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可．【详解】（1）解：圆C1的圆心为C1（m，2m），半径r1＝2，圆C2的圆心C2（0，0），半径r2＝1，因为圆C1，C2相交，所以圆心距|r1﹣r2|＜|C1C2|＜|r1+r2|，即13，解得或.（2）圆心C1到直线l：x+2y﹣4＝0的距离d，因为d2+（）2＝r12，所以4，解得m＝0或m；（3）如图所示：由向量加减运算得||＝|（）|，由联想到作出圆C2：x2+y2＝1关于定点P（2，0）的对称圆C3：（x﹣4）2+y2＝1，延长与圆C3交于点B1，则．所以||＝|（）|＝||＝||，即||就是圆C1上任意一点A与圆C3上任一点B1的距离．所以||min＝|C1C3|﹣333，3，3，所以||的最小值的取值范围是[3，+∞）．