2022-2023学年甘肃省酒泉市玉门市玉门油田第一中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省酒泉市玉门市玉门油田第一中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）．

A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项

【答案】D

【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.

【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，

由解得：，

所以是这个数列的第15项.

故选：D

2．若，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，则的值为（    ）

A．16 B．15 C．14 D．12

【答案】D

【分析】根据等差数列和等比数列的性质列方程组求解．

【详解】因为，，成等差数列，而，，和，，都分别成等比数列，

所以，解得､､，

故选：D.

3．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

4．数列满足，，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】由递推公式可得数列是的周期数列，从而得解.

【详解】，且，

，，

，，

所以数列是的周期数列，

所以.

故选：A

5．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式进行求解.

【详解】如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，

直线，整理为，

原点O到直线距离为，

故选：B

6．圆 与直线 的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【答案】C

【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系

【详解】圆心为，半径

圆心到直线的距离为

所以直线与圆相离

故选：C

【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．

7．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.

【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.

设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.

故选：C.

8．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

二、多选题

9．下列是递增数列的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】根据递增数列的定义判断．

【详解】A．令，则，是递增数列，正确；

B．令，则，，不合题意，错；

C．令，则，符合题意．正确；

D．令，则，，不合题意．错．

故选：AC．

10．（多选）在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”则下列说法正确的是（    ）

A．此人第二天走了96里路

B．此人第三天走的路程占全程的

C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

D．此人第五天和第六天共走了30里路

【答案】AC

【分析】由给定信息确定此人每天走的路程依次排成一列构成等比数列，求出此数列首项及通项，再逐一分析各选项即可作答.

【详解】设此人第天走了里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，其前n项和为Sn，

因，即，解得，，

由于，即此人第二天走了96里路，A正确；

由于，，B错误；

后五天走的路程为(里)，(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；

由于，D错误.

故选：AC

11．若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】将点坐标代入各方程判断是否在直线上，再求直线在x、y轴上的截距，即可得答案.

【详解】A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；

B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；

C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；

D：不在上，不符合.

故选：ABC

12．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ）

A．若两圆外切，则 B．若两圆公共弦所在的直线方程为，则

C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则 D．若两圆有三条公切线，则

【答案】ABC

【解析】根据两圆外切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.

【详解】由圆的方程可知，两圆圆心分别为，，半径分别为，

所以圆心距为5，

若两圆外切，则，，故A正确；此时两圆有三条公切线，故D错误；

当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，

所以公共弦所在的直线方程为，

所以，解得，故B正确；

因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，

所以两圆圆心距，两圆半径必构成一个直角三角形，故，解得，故C正确.

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：两圆的位置关系可通过圆心距与半径之间的关系确定，两圆的公共弦所在直线的方程可利用两圆方程作差求解，当两圆的交点处的切线垂直时，一个圆的切线必过另一个圆的圆心.

三、填空题

13．已知为等差数列的前n项和，若，则数列的通项公式为___________．

【答案】##

【分析】根据条件列出方程组，求出首项和公差，求出通项公式.

【详解】由题意得：，解得：，

所以，

故答案为：

14．过定点且倾斜角是直线x－y＋1＝0的倾斜角的两倍的直线一般方程为______．

【答案】

【分析】先求出直线x－y＋1＝0的倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角，得到直线方程.

【详解】直线x－y＋1＝0的倾斜角为45°，故过定点的所求直线的倾斜角为90°，故所求直线方程为：.

故答案为：

15．已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________．

【答案】

【分析】令，由题可得，即得.

【详解】令，则，代入，

可得，

∴，

解得，

即的取值范围为.

故答案为；.

16．如果数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为______．

【答案】190

【分析】观察图形得出规律，设第n个六边形数为，则，即可用累加法求通项公式，即可求第10个六边形数

【详解】由题，观察图形，第个图比第n个图多了4条边，每条边有个端点，由于边与边有1端点重合，即第个图比第n个图多了个点，设第n个六边形数为，则，.

则

，

∴第10个六边形数为

故答案为：190

四、解答题

17．已知，，三点.

（1）求直线和的斜率；

（2）若点在线段(包括端点)上移动，求直线的斜率的变化范围.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用公式可求两条直线的斜率.

（2）在坐标平面中画出线段，根据图形可求直线的斜率的变化范围.

【详解】（1）由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率.

（2）如图所示，当点由点运动到点时，直线的斜率由增大到，所以直线的斜率的变化范围是.

【点睛】本题考查斜率的计算，注意考虑斜率的取值范围时关注动直线是否垂直于轴，这会影响斜率的范围的表达形式，本题属于基础题.

18．已知数列的前项和

(1)求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系（n≥2）求解，不要忘记讨论n=1时的情况；

（2）可知数列的前4项≥0，从第5项开始全为负值，分类求解可得.

【详解】（1）∵，，

∴，，当n=1时，，

∴.

（2），，已知是等差数列.

∵时，时，，，，

∴，.

19．已知等差数列满足首项为的值，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对数运算法则求解首项，在根据已知式子求公差，从而可得数列的通项公式；

（2）利用裂项相消法求解前前n项和即可.

【详解】（1）解：数列满足首项为

设公差为，则，可得，解得

所以；

（2）解：

所以

.

20．设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.

【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和

，

，

．

设，    ⑧

则．     ⑨

由⑧-⑨得．

所以．

因此．

故．

[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法

证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得 ，

所以，

所以，

所以.

[方法三]：构造裂项法

 由（Ⅰ）知，令，且，即，

通过等式左右两边系数比对易得，所以．

则，下同方法二．

[方法四]：导函数法

设，

由于，

则．

又，

所以

，下同方法二．

【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.

（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；

方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；

方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，

方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.

21．如图，等腰直角的直角顶点，斜边所在的直线方程为．

（1）求的面积；

（2）求斜边AB中点D的坐标．

【答案】（1）20（2）

【分析】（1）求出直角顶点到斜边的距离，根据等腰直角三角形的边角关系得出斜边长，即可求出结论；

（2）由，可求出直线方程，与直线方程联立，即可求出点坐标.

【详解】（1）顶点到斜边的距离为.

所以斜边，

故的面积为．

（2）由题意知，，设直线方程为

点代入方程点，

所以直线的方程为，

由，解得，

所以点的坐标为．

【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质，属于基础题.

22．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，、分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，以点O为坐标原点，、为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点）和平安检查点（即点）是李叔叔负责区域中最远的两个检查点.

（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；

（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由.

【答案】（1），，；（2）

【解析】（1）求圆的标准方程，可设出圆心，利用圆上两点距离到圆心相等，可算得圆心和半径.

（2）可先求圆心O关于的对称点P,找到直线PC与l 的交点，即为所求.

【详解】（1）易知，王阿姨负责区域边界的曲线方程为：

李叔叔家在王阿姨家的东偏北方向，设李叔叔家所在的位置为，离和距离相等

故

故

即

故

故李叔叔负责区域边界的曲线方程为

（2）圆心关于的对称点为

则有，

解得

联立与，可得交点为

王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点碰面，距离之和最近.

【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：

(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．

(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．