2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二上学期联考数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省“深惠湛东”四校高二上学期联考数学试题一、单选题1．已知，，若，则实数等于（    ）A． B． C． D．6【答案】C【分析】由空间向量平行的坐标表示求解即可【详解】因为，，且，所以，解得，故选：C2．如图，在平行六面体中，是与的交点，若，，，且，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为一组基底可表示出，从而求得的值，进而得到结果.【详解】，，，，.故选：D.3．已知直线的斜率是方程的两个根，则（    ）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线的斜率为，则，，不垂直，A错误；若，则，与矛盾，，不平行，B错误；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.4．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根据方程形式，结合图象，得到双曲线渐近线的斜率，再代入离心率公式求解.【详解】因为双曲线的焦点在轴，且，所以双曲线的渐近线的夹角是包含轴的角，则渐近线的倾斜角为，即，即，离心率.故选：A5．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，根据抛物线焦半径公式和重心的坐标表示可直接求得结果.【详解】由抛物线方程知：；设，，，则；为的重心，，则，.故选：C.6．已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】延长交的延长线于点，结合图象，可知为等腰三角形，，且为的中点，再结合椭圆定义可知，结合中位线可得.【详解】解：延长交的延长线于点，如图所示：平分，且，为等腰三角形，，且为的中点，又，，为的中点，为的中点，.故选：D.7．已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离，列式求解.【详解】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，则圆心到直线的距离，则双曲线的离心率.故选：D8．法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（    ）A．椭圆C的离心率为B．M到C的右焦点的距离的最大值为C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则D．面积的最大值为【答案】D【分析】A.根据蒙日圆的定义，可求椭圆方程，即可判断；B.根据椭圆方程和圆的方程，结合几何意义，即可判断；C.根据为圆的直径，则点关于原点对称，利用点在椭圆上，证明；D.利用圆的几何性质，确定面积的最大值.【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，，故C正确；D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.故选：D二、多选题9．已知空间向量，，构成的平面记为，则下列说法正确的是（    ）A．向量与垂直B．向量与平行C．若与分别是与的方向向量，则直线，所成的角的余弦值为D．向量在向量上的投影向量为【答案】AB【分析】根据向量垂直的坐标表示可证得，，由此可知A正确；根据可知B正确；根据两条直线所成角的向量求法可知C错误；根据投影向量的求法可直接得到D错误.【详解】对于A，，，，，又与不平行，，A正确；对于B，，共面，则与平行，B正确；对于C，，所成角的余弦值为，C错误；对于D，，，在上的投影向量为，D错误.故选：AB.10．下列说法中，正确的有（    ）．A．直线在y轴上的截距为B．过点且在x，y轴截距相等的直线方程为C．若点在圆外，则D．已知点是直线上一动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则四边形PACB面积的最小值为【答案】ACD【分析】由直线方程的斜截式可判断A；由截距相等且等于0时，可判断B；由点与圆的位置关系判断C；由点到直线的距离结合勾股定理可判断D【详解】对于A：直线在y轴上的截距为，故A正确；对于B：当在x，y轴截距相等且等于0时，直线方程为，故B错误；对于C：点在圆外，则，即，解得，故C正确；对于D：圆即，圆心为，半径为1，因为圆心到直线的距离为，所以，又，所以，所以四边形PACB面积的最小值为，故D正确；故选：ACD11．已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为P，Q，则（    ）A．双曲线C的离心率为2B．直线MP与直线MQ的斜率之积为定值C．四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点）D．【答案】BD【分析】对于A，由等轴双曲线定义可得答案.对于B，因C为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，由题可得答案.对于C，由B选项可知四边形OPMQ为矩形，再设，表示出可得答案.对于D，分别计算与即可.【详解】因为等轴双曲线，则，渐近线为.对于A，，故A错误.对于B，因双曲线C两条渐近线互相垂直，则直线MP与直线MQ互相垂直，故其斜率乘积为，为定值.故B正确.对于C，由B选项分析可知，可知四边形OPMQ为矩形.又设，则.因在双曲线上，故，则，故C错误.对于D选项，由C选项分析可知.又.故D正确.故选：BD12．已知直四棱柱的底面为正方形，，P为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，存在点P，使得C．当时，的最小值为D．当时，存在唯一的点P，使得平面平面PBC【答案】ACD【分析】对于A选项，Q，R分别为AB，的中点，连结QR，判断出点P在线段QR上运动，由平面，得到点P到面的距离为定值，而的面积为定值，即可判断；对于B选项，连结，设M，N分别为，的中点，连结MN，则.判断出点P在线段MN上运动，由，判断出不可能存在点P，使得；对于C选项，连结，判断出点P在线段上运动.连结，将翻折到平面内，得到四边形，解四边形，即可判断.对于D选项，设M为的中点，连结BM，判断出P在线段BM上运动.设S为的中点，连结SM，连结BS，过P作交BS于点T，判断出为二面角的平面角，当时，平面平面PBC，即可判断.【详解】对于A选项，设Q，R分别为AB，的中点，连结QR，则.面，面，所以平面.因为，其中，，当时，所以点P在线段QR上运动，平面，所以点P到面的距离为定值，而的面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B选项，连结，设M，N分别为，的中点，连结MN，则.因为，其中，，当时，所以点P在线段MN上运动，且，，从而，故不可能存在点P，使得，故B错误；对于C选项，连结，则由可知B，P，三点共线，故点P在线段上运动.连结，将翻折到平面内，得到四边形，其中，，，，连结，如图1，所以，，所以，故C正确；对于D选项，设M为的中点，连结BM，则，由知P在线段BM上运动.设S为的中点，连结SM，则，连结BS，过P作交BS于点T，则易知PT为平面PAD与平面PBC的交线，，，故为二面角的平面角，当时，平面平面PBC，且T点唯一确定，所以P点也唯一确定.故D正确.故选:ACD.【点睛】空间背景下的动点轨迹的处理方法的两种：（1）要求熟悉一些常见情况，利用面面相交得到动点的轨迹方面；（2）利用数形结合，用解析的方法来研究空间轨迹.三、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________.【答案】1【分析】由四边形为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：，，因为四边形为平行四边形，所以，所以，，则.故答案为：1.14．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则________．【答案】【分析】将抛物线化为标准方程，根据抛物线定义即可求出.【详解】抛物线的标准方程为，准线方程为，根据抛物线定义可得.故答案为：.15．已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为________．【答案】【分析】根据题设易知过定点，过定点且，则在以为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆的圆心距，根据动点分别在两圆上知的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案.【详解】由题设，恒过定点，恒过定点， 因为，所以，即垂足为，所以在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故轨迹方程为，而的圆心为，半径为2，所以两圆圆心的距离为，而、分别在两圆上，故的最大值为，最小值为，所以.故答案为：.16．椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为________．【答案】【分析】首先设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，利用不等关系，转化求离心率的取值范围.【详解】设过点F的直线l的直线方程为与椭圆交于A，B两点，设点，，联立方程得，整理为：，，，若恒有，则，所以是钝角，即，，，，整理为恒成立，所以，即，整理为，解得：或（舍）所以，离心率，故答案为：四、解答题17．已知圆心坐标为的圆与轴相切．(1)求圆的方程；(2)设直线与圆交于，两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的值．条件①：；条件②：．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圆心坐标为，且圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离即半径，写出圆的标准方程.（2）若选①，由弦长，半径，弦心距之间的关系，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m；若选②，由圆心角为解等腰三角形，得弦心距为1，用点到直线的距离公式解出m.【详解】（1）圆心坐标为，因为圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，即，圆的方程为：（2）若选条件①，设圆心到直线l的距离为d，因为，则，由点到直线的距离公式，，解得.若选条件②，设圆心到直线l的距离为d，由，，由点到直线的距离公式，，解得.18．如图，在直三棱柱中，，，．为侧棱的中点，连接．(1)求与平面所成角；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果；（2）根据二面角的向量求法可直接求得结果.【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，设与平面所成角为，则，.（2）由（1）知：，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；，由图形知：二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为.19．已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为．(1)求双曲线C的离心率；(2)设与直线平行的直线与双曲线交于，两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程．【答案】(1)2(2)或【分析】（1）联立直线与双曲线，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可求出，进而求出，，即可得到双曲线的离心率；（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理即可表示出的面积，建立方程即可求出，进而求得直线的方程．【详解】（1）联立方程组，消去，得，由题意，，即，即双曲线，即，，，，即双曲线的离心率.（2）由直线与直线平行，设直线的方程为：，，，设直线与轴交点为，联立方程组，消去，得，，，，，，解得，直线的方程为或.20．如图，在平面四边形ABCD中，，，．以BD为折痕把和向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（E，F不重合）．(1)求证：；(2)若平面平面FBD，点G为的重心，平面ABD，且直线EF与平面FBD所成角为．①AB的长度；②求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析(2)①2;②【分析】（1）通过作辅助线，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）取BD中点H，连接EH，FH，因为AB=AD，BC=DC，所以EB=ED，FB=FD，故EH⊥BD，FH⊥BD，因为，平面EFH，所以BD⊥平面EFH。因为平面EFH，所以BD⊥EF；（2）①连接AH，由于AB=AD，则AH⊥BD，因为点G为的重心，所以点G必在直线AH上，过点G作GMBD交AD于点M，则AH⊥GM，因为平面ABD，平面ABD，所以EG⊥GM，EG⊥AG，以G为坐标原点，GM所在直线为x轴，GA所在直线为y轴，GE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，，且，所以，，因为平面平面FBD，由（1）知：∠EHF为平面与平面FBD的二面角，所以∠EHF=90°，由（1）知：EH⊥BD，因为，所以平面BDF，则∠EFH即为直线EF与平面FBD所成角，故∠EFH =60°，则，由勾股定理可得：，即△EBD为等边三角形，所以是等边三角形，那么;②由以上可知，，所以，所以，，, 设平面的法向量为，则，令得：，，所以，设平面的法向量为，则解得：，令，则，所以，则，设平面的夹角为，显然为锐角，则.所以二面角的余弦值是.21．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点为椭圆上的一点 ．(1)求椭圆的方程；(2)若过原点的直线与椭圆交于点，且直线的斜率与直线的斜率满足，求面积的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用椭圆的性质求即可得到椭圆方程；（2）设直线为，直线与椭圆方程联立解出的值，再根据点到直线的距离得到在边上的高，利用可得与的关系，利用均值不等式求面积的最大值即可.【详解】（1）由题意得，又因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）由题意直线斜率存在，设直线为，，由得，所以，，所以，因为，所以，，又点到直线的距离，由椭圆和直线的对称性不妨设，则，所以，又因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以，，故面积的最大值为2.22．已知，，P为平面上的一个动点．设直线AP，BP的斜率分别为，，且满足．记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点的动直线l与曲线C交于E，F两点．曲线C上是否存在定点N，使得恒成立（直线不经过点）？若存在，求出点N的坐标，并求的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（）；(2)存在，，最小值为.【分析】（1）设点，然后根据列方程，整理即可得到曲线的方程；（2）当直线的斜率不存在时，根据列方程得到或，然后分别验证或时是否成立，即可得到，然后在三角形中利用等面积和勾股定理得到，，即可得到，然后求最小值即可.【详解】（1）设点，则，因为，所以，整理得，所以曲线的方程为.（2）当直线的斜率不存在时方程为，代入曲线的方程中得，解得，所以此时，，设，则①，，，因为，所以②，联立①②解得或（舍去），，所以或，当时，且当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，因为直线经过时，所以，联立得，，，，，，所以，即，当时，同理可得，所以此时不恒成立，所以存在定点使，，设点到直线的距离为，因为三角形为直角三角形，所以，，，当直线斜率不存在时，，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，则，，当时，，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，综上所述，存在定点使，的最小值为.【点睛】方法点睛：（1）求动点轨迹方法：①直译法：建系，设动点坐标，根据条件列方程，整理，检验；②代入法：有两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，且两动点之间存在关系，可以根据两动点的关系代入到已知的轨迹方程中，即可得到轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标不存在直接关系，但是都跟某个参数存在关系，可以通过消参的方法得到轨迹方程；④定义法：动点的轨迹符合已知的曲线的定义，即可根据已知曲线的定义来求轨迹方程；（2）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．