2022-2023学年广东省高州市第七中学等三校高二上学期11月月考数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省高州市第七中学等三校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A．30° B．60° C．90° D．不存在【答案】C【分析】根据斜率和倾斜角的定义，直接可得答案.【详解】化简得，，明显可见，该直线斜率不存在，倾斜角为90°故选：C2．若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ）A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合【答案】B【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可.【详解】因为直线经过点，，所以直线的斜率为：，又因为，所以两直线垂直，故选：B3．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（    ）A． B． C． D． 【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【详解】由解得，则直线的交点，又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.4．过点和点的直线与平行，则的值为（    ）A．6 B．2 C． D．不能确定【答案】C【分析】根据两直线平行求得的关系式，利用两点间的距离公式求得.【详解】由题意知，即，则．故.故选：C5．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则（    ）A． B．0 C．5 D．4【答案】A【分析】根据线面垂直，则线与法向量平行，利用坐标运算即可求解.【详解】因为，所以，所以，解得，故选:A.6．若，则直线可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.【详解】由题意知，直线方程可化为,，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．故选:C．【点睛】本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.7．空间三点，，，则（    ）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值 D．平面的一个法向量是【答案】D【分析】由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：根据题意得，，A： 显然，所以与不共线，故错误；B：的单位向量为，即为或，故错误；C：，故错误；D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确故选：D8．在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.①，，所以，故①正确.②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.③，，，故平面不成立，故③错误.④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、多选题9．圆，则（    ）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】ABC【分析】由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.【详解】对于A，由圆的方程知其圆心为，则圆关于点对称，A正确；对于B，由A知其圆心在轴上，则圆关于轴对称，即关于对称，B正确；对于C，过圆心，圆关于直线对称，C正确；对于D，不过圆心，圆不关于直线对称，D错误.故选：ABC.10．下列选项正确的是（    ）A．过点且和直线垂直的直线方程是B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是C．若直线与平行，则与的距离为D．已知点，则点关于原点对称点的坐标为【答案】ACD【分析】对于A，结合直线垂直的性质，即可求解，对于B，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于C，结合直线平行的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解．【详解】对于A，设与直线垂直的直线方程为：，把点代入，解得，过点，且与直线垂直的直线方程是，故正确；对于B，，且，，当，时，，当时，，直线倾斜角的取值范围是，故错误；对于C，若直线与平行，则，解得，故与的距离是：，故正确；对于D，点A关于原点对称点的坐标为，故正确．故选：ACD．11．已知向量，下列等式中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】根据数量积的结果是实数判断A；根据向量的线性运算、数量积运算、模长公式判断BCD.【详解】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边右边，左边=右边，因此正确.C.左边，右边左边=右边，因此正确.D.由C可得左边=，左边=右边，因此正确.故选：BCD12．如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（    ）．A．曲线与轴围成的面积等于B．曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）C．所在圆的方程为：D．与的公切线方程为：【答案】BCD【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误.【详解】由题意，连接，过点作轴于，轴于，如图所示：A选项：由图可得面积，故A错误，B选项：曲线上有，，，，5个整点，故B正确，C选项：所在圆圆心为，半径为1，故圆的方程为：，故C正确，D选项：设与的公切线方程为：，根据图像知，则，，解得，，即，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．若＝5，与的方向相反，且＝7，则＝______.【答案】【分析】根据与的方向相反，则可设，根据题意求得即可.【详解】解：∵与的方向相反，可设，∴，∴，∴,又∵，∴.故答案为：.14．已知圆的方程为，过点作该圆的一条切线，切点为，那么线段的长度为______．【答案】【分析】将一般方程化为标准方程后可得圆心坐标和半径，再利用切线长定理求得切线长的值．【详解】圆，即，故为圆心、半径，由切线长定理可得切线长，故答案为．【点睛】本题主要考查直线和圆相切的性质、切线长定理，属于基础题15．平面内动点P到两点A，B距离之比为常数（，且），则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知，，，则此阿波罗尼斯圆的方程为___________.【答案】【分析】设出，列出方程，整理后得到轨迹方程.【详解】由题意，设，则，化简可得.故答案为：.16．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，若直线的方程为，圆心C到直线的距离是，则m的值是___________.【答案】【分析】设出圆的一般方程，根据其所过的点和圆心所在直线列方程组，求出圆的方程，再根据圆心到直线的距离列方程求出m的值即可.【详解】设圆C的方程为，由条件，得，解得，因此圆的一般方程为，故圆心，因此圆心到直线l的距离，解得.故答案为：四、解答题17．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【详解】（1）由已知可得，，∴.（2），，∵，∴存在实数使得，∴，，，联立解得.18．直线与直线相交于点P，直线l经过点P.(1)若直线，求直线l的方程；(2)若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先求点坐标，由垂直关系得斜率后求解，（2）由题意得过原点或斜率为后求解【详解】（1）联立得即.因为，不妨设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为.（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点代入，得，所以直线l的方程为，即.综上所述，直线l的方程是或.19．在①；②两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.在中，角的对边分别为，___________.(1)若，求A；(2)已知，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，可根据结合正弦定理得到结合题意从而推出，求得答案；选②，由得，结合正弦定理可得，从而推出，结合条件可得答案;（2）选①，由（1）结合条件可知，从而，由余弦定理求得a,根据三角形面积公司，即可求得答案;选②，由（1）结合条件可知，从而，由余弦定理求得a,根据三角形面积公司，即可求得答案;【详解】（1）选①因为，所以，由正弦定理可得，即，由于在中 ，从而或，因为，故舍去，所以；选②因为，所以，即，由正弦定理可得，即，由于在中 ， ，从而，因为，所以.（2）若选①，由以上解答可知，或，因为，故不合题意，所以，则，由余弦定理 ，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.若选②，由（1）解答可知，，则，由余弦定理 ，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.20．已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|．(1)若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1: x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】(1) ;(2) ．【详解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2 化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，此时|QM|的最小值为＝4.21．如图所示，在平行四边形中，，，，将△沿折起到△的位置，使平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由勾股定理可知△和△均为直角三角形，易得，由面面垂直的性质可知面，根据线面垂直的性质可证.（Ⅱ）以为坐标原点，射线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，确定、、的坐标，求面的法向量，利用直线方向向量与平面法向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证明：在△中，，可得，∴，故△和△均为直角三角形，∴，又面面，面面，平面，∴面，又面，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以为坐标原点，射线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，，∴，，．设面的法向量为，则，即，令，则，，故．设直线与平面所成的角为，则有．∴直线与平面所成角的正弦值为．22．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.【答案】（1）；（2）2．【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由，解得：．故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．（2）设M；N，由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，可得，∴，∴，由，解得 k=1，故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2【解析】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算