2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市华罗庚中学高二上学期12月月考数学试题 一、单选题1．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，，因为，，，，所以.故选：A.2．若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数A．2 B． C． D．10【答案】A【解析】根据，可知的方向向量与平面的法向量共线，从而得到的值.【详解】的方向向量与平面的法向量共线.，即，解得，故选A项.【点睛】本题考查空间向量的位置关系，通过向量共线求参数的值，属于简单题.3．直线的斜率是，直线经过点，，，则a的值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】求出的斜率，根据直线平行可得斜率相等即可求出.【详解】直线经过点，，，，，解得.故选：C.4．已知直线l1：2x﹣y﹣2=0与直线l2：3x+y﹣8=0的交点为P，则点P到直线l：y=﹣2x的距离为（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】将两直线方程联立求出交点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】联立，得P（2，2），∴点P（2，2）到直线l：y=﹣2x的距离．故选：C【点睛】本题考查了解二元一次方程组、点到直线的距离公式，属于基础题.5．方程表示圆，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】将一般式转化为标准式，然后利用列不等式，解不等式即可.【详解】方程，即为，若它表示圆，需满足，故.故选：A．6．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.【详解】由，令，解得；令，，由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.故选：B.7．已知点为坐标原点，点为抛物线：的焦点，动直线与抛物线交于，两点，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线的焦点可得，抛物线的方程，联立直线方程和抛物线的方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理可得结论．【详解】解：为抛物线的焦点，可得，即，抛物线的方程为，联立可得，设，，，，则，，，由可得，即为，可得，故选：．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．8．已知双曲线的左、右顶点为、，焦点在轴上的椭圆以、为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出椭圆的方程，设点，可得出，由点在椭圆上，点在双曲线上，可得出关于、的方程组，求出、的值，利用斜率公式可求得的值.【详解】设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，双曲线的左顶点为，右顶点为，由于椭圆以、为顶点，则，该椭圆的离心率为，所以，，解得，所以，椭圆的方程为，设点，由于，则为的中点，则点，由于点在椭圆上，点在双曲线上，所以，，解得，所以，.故选：A.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析出点为的中点，结合点在椭圆上，点在双曲线上列方程组求出点的坐标，进而利用斜率公式求解. 二、多选题9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ABD【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出在上的投影和与同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.【详解】因为所以，所以，A正确；因为，，所以B正确；，因为，所以与不平行，故C错误；在上的投影，与同向的单位向量为，所以在上的投影向量为，D正确.故选：ABD10．下列说法正确的是（    ）A．直线必过定点B．过，两点的直线方程为C．直线的倾斜角为D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是【答案】AD【分析】对于A，根据直线过定点的求法即可判断；对于B，利用两点式方程判断；对于C，求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可判断；对于D，求出三角形的面积即可判断．【详解】对于A，因为直线可以化为：，令x－3＝0，则y－2＝0，解得x＝3，y＝2，所以直线过定点(3，2)，故A正确；对于B，当时，过，两点的直线方程为，故B不正确；对于C，直线的斜率，所以倾斜角为，故C不正确；对于D，直线x－y－4＝0与两坐标轴的交点分别为(0，－4)，(4，0)，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：，故D正确．故选：AD．11．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（    ）A．若，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则C．曲线C可能是圆D．若C为双曲线，则【答案】AD【解析】根据题意依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；综上，错误的是AD.故选：AD.【点睛】本题考查椭圆，双曲线的方程，考查运算能力，是基础题.12．已知双曲线，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为D．若P为双曲线上任意一点，点P到点和到直线的距离之比恒为2【答案】BCD【分析】根据点到直线距离公式求顶点到其渐近线的距离，判断A，根据曲线轨迹方程的求法求出点M的轨迹方程，判断B，由点差法判断C，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P到点和到直线的距离由此判断D.【详解】双曲线的顶点为，，渐近线方程为，顶点到渐近线的距离，顶点到渐近线的距离，A错，双曲线的左焦点的坐标为，设，，∵，∴  ，∴ ，，又在双曲线上，∴  ，∴  ，B对，设，，∵  线段AB的中点为，∴  ，由已知可得，所以，∴，∴  直线AB的斜率为3，∴  线段AB的方程为，即，联立与双曲线的方程可得，化简得，方程有两解，所以直线与双曲线相交，满足要求，C对，设，点到点的距离，∴，又点P到到直线的距离，∴  点P到点和到直线的距离之比恒为2，D对，故选：BCD. 三、填空题13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出．【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，弦心距，所以．故答案为：.［方法二］：距离公式的应用由解得：或，不妨设，所以．故答案为：.［方法三］：参数方程的应用直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以．故答案为：.【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦；方法三：直线参数方程中弦长公式的应用．14．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.【答案】【详解】设，由余弦定理知，所以，故填.15．已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为__________．【答案】【分析】利用点E在直线AB上，可得，然后利用，即可求解E的坐标.【详解】由题意可得：，∵点E在直线AB上，∴，又∵，则，∴，故点E的坐标为.故答案为： 四、双空题16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率.若P是椭圆上任意一点，A是椭圆的右顶点，则的周长为______，的最大值为______.【答案】          【分析】由椭圆的离心率公式可求得椭圆a，b，c，再根据椭圆的定义可求得的周长，由向量的数量积的坐标运算表示，由二次函数的性质和椭圆的几何性质可求得的最大值.【详解】解：因为椭圆的离心率，所以，又，即，所以，.所以，，，，设椭圆上的一点，则，所以当时，取得最大值，故答案为：8；. 五、解答题17．已知空间中三点，设，．(1)求向量与向量的夹角；(2)若与互相垂直，求实数k的值．【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）先求出向量与向量的坐标，然后利用夹角公式求解即可，（2）求出与的坐标，由与互相垂直，可得，从而可求出实数的值.【详解】（1）∵空间中三点，∴，设向量与向量的夹角为，∴，又，∴，即向量与向量的夹角为.（2）∵，且，∴，即∴或.18．平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.（1）求边上的高所在的直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；（2）利用点到直线的距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC，即可得解.【详解】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，则边上的高所在的直线方程为，即.（2）的方程为，.点到直线的距离，，则的面积【点睛】本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.19．（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；            （2）已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和的值．【答案】（1）；（2），．【详解】（1）由题意得可得椭圆的焦点坐标为和，设出双曲线的方程：，得，又双曲线过点，可得，从而求解的值，得到双曲线的方程；（2）设抛物线的方程为，根据抛物线的定义点到焦点的距离等于等于点到准线的距离为，即，求解的值，得到抛物线的方程，从而求解实数的值．（1）椭圆的焦点为，，设双曲线的标准方程为（，），则．又双曲线过点，．综上，得，，所求双曲线的标准方程为．（2）设抛物线方程为（），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于，也就是到准线的距离为，则，，因此，抛物线方程为，又点在抛物线上，于是，．20．在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)求与截面所成角的正弦值；(2)求点到截面的距离．【答案】(1)；(2). 【分析】(1)以为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解；(2)根据(1)中空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【详解】（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，0，，，，，，，，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，，，则，即，取，则，2，，设与截面所成角为，则，∴与截面所成角正弦值为．（2）由(1)知，，，平面的一个法向量为，2，，∴点到截面的距离．21．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).（1）求|MQ|的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）最大值为6，最小值为 2；（2）最大值为2＋，最小值为2－.【分析】（1）求出圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，即得解；（2）可知表示直线MQ的斜率k.直线MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式≤2即得解.【详解】（1）由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.又|QC|＝，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.（2）可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，∴≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，最小值为2－.22．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．因为抛物线的焦点为，所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）（1）设，由可得，所以直线的斜率为，其直线方程为，即．设，联立方程组消去并整理可得，故由其判别式可得且，故,代入可得，因为，所以直线的方程为．联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．（2）由（1）知直线的方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，则，因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．【解析】椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．