2022-2023学年广东省江门市棠下中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年广东省江门市棠下中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省江门市棠下中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知空间向量，，则（    ）A． B．6 C．36 D．40【答案】B【分析】根据空间向量的减法结合模长公式求解即可.【详解】由题意，.故选：B2．直线的倾斜角为（    ）A．45° B．135° C．60° D．120°【答案】B【分析】根据直线方程，可得斜率k，根据，即可求得答案.【详解】由直线，可得所以直线的斜率为k=-1，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tanα=-1，解得α=135°．故选：B.3．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且,为BC中点，则等于（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】连接,是的中点，,,.故选：B4．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是A．相交 B．相离 C．内切 D．外切【答案】C【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论．详解：圆，圆,，所以内切．故选C点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：，内含；，内切；，相交；，外切；，外离．5．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.故选：C.6．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（       ）A．或 B．或 C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示：因为，所以当直线过点且与线段相交时，的斜率的取值范围是或，故选：B7．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（    ）A． B． C．- D．【答案】D【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】直三棱柱中，，，为的中点．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知点P为圆：上任一点，点Q为圆：上任一点，则的最小值为（    ）A．1 B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据题意得两圆的位置关系为内含，进而得的最小值为.【详解】解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，，所以的最小值为．故选：A 二、多选题9．已知直线的方程为，则（    ）A．直线在轴上的截距为2B．直线在轴上的截距为3C．直线的倾斜角为锐角D．过原点且与垂直的直线方程为【答案】BCD【分析】根据直线方程，分别令即可判断AB，由直线斜率可判断C，求出原点且与垂直的直线方程即可判断D.【详解】在中，令，得，所以A不正确；令，得，所以B正确；因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.故选：BCD10．（多选）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】求出、、的值，对椭圆焦点的位置进行分类讨论，由此可得出椭圆的标准方程.【详解】由椭圆的定义可得，可得，椭圆的离心率为，则，所以，.若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为；若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.故选：AC.11．已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（    ）A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥βC．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α【答案】AB【解析】根据线面直线的位置关系逐一判断即可.【详解】解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l⊥α，⊥⇔l∥α或l⊂α.因此AB正确.故选：AB.12．已知圆心为的圆与点，则（    ）A．圆的半径为2B．点在圆外C．点与圆上任一点距离的最大值为D．点与圆上任一点距离的最小值为【答案】BCD【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；因点，则，点在圆外，B正确；因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.故选：BCD 三、填空题13．对任意实数，直线恒过定点，则该定点的坐标为_________【答案】【分析】将直线方程化为点斜式，即可求解.【详解】化为，方程表示过点斜率为的直线方程，所以直线过定点.故答案为:.【点睛】本题考查直线方程一般式与其它形式之间互化，属于基础题.14．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为__________.【答案】4【分析】利用向量共线定理即可得出．【详解】解：，，存在实属使得解得：．故答案为4.【点睛】本题考查了向量共线定理，属于基础题．15．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．【答案】【分析】由题设条件设出椭圆方程，再列出关于a2与b2的方程组即可作答.【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又点(，－)在所求椭圆上，即，联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，所以所求椭圆的标准方程为.故答案为：16．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________．【答案】【分析】先求出公共弦的方程，再利用弦长公式可求公共弦的长度.【详解】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆的圆心，半径为，所以圆心到直线的距离为1，所以．故答案为： 四、解答题17．已知三角形的三个顶点，，.（1）求线段的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程.【答案】（1）（2）.【分析】（1）先求出BC中点的坐标，再求BC的中线所在直线的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出边上的高所在的直线方程.【详解】（1）由题得BC的中点D的坐标为（2，-1）,所以,所以线段的中线AD所在直线方程为即.（2）由题得,所以AB边上的高所在直线方程为，即.【点睛】本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.18．（1）直线：，圆，若直线与圆交于A、两点，求弦的长．（2）过点作与圆相切的直线l，求直线l的方程【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）先求得圆心到直线的距离，再根据计算即可，其中为半径；（2）根据斜率存在与否分两种情况结合相切的条件列式求解即可．【详解】（1）解：由圆变形得，∴ 圆心，半径，圆心到直线：的距离，∴ ．（2）解：由题意，圆的圆心为，半径为1，∴ 到的距离为，∴ 点在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为，所以是其中一条切线；当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，∴ 切线方程为．综上：切线方程为或．19．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求AM与平面A1MD所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】要证线面平行，先证线线平行建系，利用法向量求解。【详解】（1）连接ME，BC∵M，E分别为B1B，BC的中点∴又∵∴A1DCB1是平行四边形∴∴∴NDEM是平行四边形∴NM∥DE又NM平面C1DE∴NM∥平面C1DE(2)由题意得DE与BC垂直，所以DE与AD垂直：以D为原点，DA，DE，DD1三边分别为x，y，z轴，建立空间坐标系O-xyz则A（2，0，0），A1（2，0，4），M（1，，2）设平面A1MD的法向量为则∴解得又∴∴AM与平面A1MD所成角的正弦值.【点睛】要证线面平行，可证线线平行或面面平行。求线面所成角得正弦值，可用几何法做出线面角，再求正弦值；或者建立空间直角坐标系，利用法向量求解。20．已知圆：与圆：相交.（1）求交点所在直线方程；（2）若点P是圆C：上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线距离的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值，最小值.【分析】（1）根据两圆相交，两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线方程；（2）根据圆的性质先求出圆心到直线距离，分别加减半径即可求解.【详解】（1）由已知：圆：，圆：，故交点所在直线的方程为：，即，故交点所在直线的方程为.（2）由圆C：知，圆心为，半径为1，所以圆心到直线的距离，所以圆上点到直线的，.21．已知圆C过点A（1，2），B（2，1），且圆心C在直线上.P是圆C外的点，过点P的直线l交圆C于M，N两点.(1)求圆C的方程；(2)若点P的坐标为，探究：无论l的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)4 【分析】（1）由设圆的标准方程，由待定系数法将代入方程，即可求解，（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及即可求解.【详解】（1）由于圆心在，故设圆的方程为，将A（1，2），B（2，1）代入可得，解得，所以圆的方程为：（2）当直线轴时，，当直线有斜率时，设其方程为：，联立直线与圆的方程，消元得，设,则，，由于点在圆外，所以，因此，综上，无论l的位置如何变化，，为定值.22．如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合).（1）求证：平面EMN⊥平面PBC；（2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N为BC的中点.【分析】（1）根据题意，先证明EM⊥平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；（2）以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论.【详解】解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，所以PE⊥平面EBCD，又BC⊂平面EBCD，故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，EM⊂平面PEB，故EM⊥BC，又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，故EM⊥平面PBC，EM⊂平面EMN，故平面EMN⊥平面PBC；（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，，，，设平面EMN的法向量为，由，令，得，平面BEN的一个法向量为，故，解得：m=1，故存在N为BC的中点.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．