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    2022-2023学年广东省阳江市四校高二上学期期中联考数学试题(解析版)
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    2022-2023学年广东省阳江市四校高二上学期期中联考数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年广东省阳江市四校高二上学期期中联考数学试题(解析版),共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广东省阳江市四校高二上学期期中联考数学试题

     

    一、单选题

    1.经过点(2),倾斜角是30°的直线的方程是(    

    Ay(x2) By2(x)

    Cy2(x) Dy2(x)

    【答案】C

    【分析】根据k=tan30°求出直线斜率,再利用点斜式即可求解.

    【详解】直线的斜率k=tan30°=

    由直线的点斜式方程可得y2 (x)

    故选:C

    2.圆的圆心坐标和半径分别是(    

    A(-10)3 B(10)3

    C D

    【答案】D

    【分析】根据圆的标准方程,直接进行判断即可.

    【详解】根据圆的标准方程可得,

    的圆心坐标为,半径为

    故选:D.

    3.如图,空间四边形中,,点的中点,点在线段上,且,则    

    A B

    C D

    【答案】D

    【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果.

    【详解】解:由已知

    故选:D.

    【点睛】本题考查向量的减法运算,及共线向量的知识.

    4.设,向量,且,则    

     

    A B C4 D3

    【答案】D

    【分析】先根据求出,再根据求出,故可求.

    【详解】因为,故,故

    因为,故,故,故

    ,故

    故选:D.

    5.已知两点到直线的距离相等,则    

    A2 B C2 D2

    【答案】D

    【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.

    【详解】因为两点到直线的距离相等,

    所以有,或

    故选:D

    6.已知从点发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】根据反射性质,结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.

    【详解】设点的坐标为,圆的圆心坐标为

    x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆的圆周,

    所以反射光线经过点

    由反射的性质可知:

    于是,所以反射光线所在的直线方程为:

    故选:A

    7.如图,在直三棱柱中,所成的角的余弦值为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】建立空间直角坐标系,写出的坐标,由夹角公式可得结果.

    【详解】如图,以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

    所以

    所以

    所以直线所成角的余弦值为

    故选:A.

    8.已知动点P在正方体的对角线(不含端点).,若为钝角,则实数的取值范围为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】建立空间直角坐标系,

    【详解】由题设,建立如图所示的空间直角坐标系,用坐标法计算,利用不是平角,可得为钝角等价于,即,即可求出实数的取值范围.

    设正方体的棱长为1

    则有

    由图知不是平角,为钝角等价于

    解得

    的取值范围是

    故选:C.

     

    二、多选题

    9.以下关于向量的说法正确的有(      

    A.若,则

    B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个圆

    C.若=-=-,则=

    D.若共线,共线,则共线

    【答案】AC

    【分析】根据向量的基本概念和性质即可逐项判断.

    【详解】,则的大小相等,方向相同,故A正确;

    将所有空间单位向量的起点放在同一点,则终点围成一个球,故B错误;

    =-=-,则=-=,故C正确;

    共线,共线,则当时,无法判断的关系,故D错误.

    故选:AC.

    10.已知直线和直线,则(    

    A.若,则 B.若轴和轴上的截距相等,则

    C.若,则2 D.若,则间的距离为

    【答案】CD

    【分析】由两直线平行,即可求出,则可判断出A选项,结合两直线的距离公式即可判断出D选项;由轴和轴上截距相等等价于过原点或其斜率为,即可列出等式,解出2,则可判断出B选项;由两直线垂直,即可求出2,则可判断出C选项.

    【详解】,由,解得

    经检验当时,重合,当时,

    所以,故A错误;

    轴和轴上截距相等,则过原点或其斜率为,则,则,故B错误;

    ,则,解得2,故C正确;

    时,,则

    ,则间的距离为,故D正确.

    故选:CD

    11.已知圆与圆有且仅有两条公共切线,则实数的取值可以是(    

    A B C D

    【答案】CD

    【分析】由两圆方程可确定圆心和半径,根据两圆公切线条数可知两圆相交,根据相交时圆心距和两圆半径之间关系构造不等式求得的取值范围,进而得到结果.

    【详解】方程可化为:,则圆心,半径

    由圆方程知:圆心,半径

    与圆有且仅有两条公切线,两圆相交,

    又两圆圆心距,即,解得:

    可知CD中的的取值满足题意.

    故选:CD.

    【点睛】结论点睛:两圆之间圆心距为,半径分别为,则两圆位置关系与关系如下:

    1)内含:;(2)内切:;(3)相交:

    4)外切:;(5)外离:.

    12.如图所示,棱长为1的正方体中,P为线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是(    

    A.平面平面 B不是定值

    C.三棱锥的体积为定值 D

    【答案】ACD

    【分析】A.易证明平面,得到面面垂直;B.转化,再求数量积;C. ,根据底面积和高,判断体积是否是定值;D.平面,判断线线是否垂直.

    【详解】A.因为是正方体,所以平面平面,所以平面平面,所以A正确;

    B.

    ,故,故B不正确;

    C.的面积是定值,平面,点在线段上的动点,所以点到平面的距离是定值,所以是定值,故C正确;

    D.,所以平面平面,所以,故D正确.

    故选:ACD

    【点睛】本题考查点,线,面的位置关系,体积,空间向量数量积的综合判断题型,重点考查垂直关系,属于中档题型.

     

    三、填空题

    13.已知三点共线,则=____ .

    【答案】

    【分析】列方程来求得.

    【详解】依题意:三点共线,

    所以,即.

    故答案为:

    14.过点且与圆相切的直线的方程是______

    【答案】

    【分析】当直线斜率不存在时,可得直线,分析可得直线与圆相切,满足题意,当直线斜率存在时,设斜率为k,可得直线l的方程,由题意可得圆心到直线的距离,即可求得k值,综合即可得答案.

    【详解】当直线l的斜率不存在时,因为过点

    所以直线

    此时圆心到直线的距离为1=r

    此时直线与圆相切,满足题意;

    当直线l的斜率存在时,设斜率为k

    所以,即

    因为直线l与圆相切,

    所以圆心到直线的距离,解得

    所以直线l的方程为.

    综上:直线的方程为

    故答案为:

    15.长方体中,,则点B到平面的距离为________

    【答案】

    【分析】建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用点到平面的距离公式求解即可.

    【详解】解:在长方体中,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系,

    因为,所以

    设平面的法向量为:

    ,令得:

    B到平面的距离为:.

    故答案为:.

    16.已知,点在直线上运动,当取最小值时,点的坐标是______

    【答案】

    【分析】先利用向量共线定理设出Q点坐标,再利用向量的数量积运算得到关于的函数式,利用二次函数求最值即可得到答案.

    【详解】因为点在直线上运动,所以存在,使得

    因为,所以,所以点的坐标为.

    所以

    所以

    所以当时,取最小值,此时点的坐标为.

    故答案为:.

     

    四、解答题

    17.求经过两条直线l1xy40l2xy20的交点,且分别与直线2xy10

    (1)平行的直线方程;

    (2)垂直的直线方程.

    【答案】(1)2xy10.

    (2)x2y70.

    【分析】由题意,联立方程组,解得的交点为

    (1)设所求直线方程为,把点,代入直线方程,解得,即可求解;

    (2)设所求直线方程为,把点,代入直线方程,解得,即可求解;

    【详解】由题意,联立方程组,解得,即的交点为

    (1)设与直线平行的直线方程为

    把点,代入直线方程,得,解得

    所求直线方程为2xy10.

    (2)设与直线垂直的直线方程为

    把点,代入直线方程,得,解得

    即所求直线方程为x2y70.

    【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用,以及直线方程的求解,其中解答中牢记两条直线的位置关系,合理设出所求的直线方程是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.

    18.如图所示,在平行六面体中,ABADA1ADABBAD60°,求:

    1A的长;

    2B的长.

    【答案】1;(2.

    【分析】1)利用,然后平方转化为向量的数量积计算;

    2)利用,然后平方转化为向量的数量积计算;

    【详解】1

    1112×1×1×2×1×1×2×1×1×6.

    A.

    2)

    1112×1×1×()2×1×1×2×1×1×()2.

    .

    19.在中,已知.

    1)求边所在的直线方程;

    2)求的面积.

    【答案】1;(2.

    【分析】1)由直线方程的两点式可得;

    2)先求直线方程,再求的距离,最后用面积公式计算即可.

    【详解】1

    所在的直线方程为,即

    2)设的距离为

    方程为:即:

    .

    .

    20.在三棱锥ABCD中,已知CB=CD=,BD=2OBD的中点,AO平面BCDAO=2EAC的中点.

    1)求直线ABDE所成角的余弦值;

    2)若点FBC上,满足BF=BC,设二面角FDEC的大小为θ,求sinθ的值.

    【答案】12

    【分析】1)建立空间直角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;

    2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

    【详解】

    1)连

    轴建立空间直角坐标系,则

    从而直线所成角的余弦值为

    2)设平面一个法向量为

    设平面一个法向量为

    因此

    【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.

    21.图1是直角梯形ABCD.BE为折痕将折起,使点C到达C1的位置,且,如图2.

    (1)证明:平面平面ABED

    (2)求直线与平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)首先作辅助线,连接AEACACBE于点F,利用垂直关系证明C1F平面ABED,即可证明;

    2)以点为原点,建立空间直角坐标系,求平面的法向量,利用向量法求线面角的正弦值.

    【详解】1)证明:如图,连接AEACACBE于点F.

    因为,所以,所以

    ,所以四边形AECB是平行四边形,,

    所以四边形是菱形,

    中,AC=

    所以.

    在图中,

    所以

    所以

    由题意得,又平面ABED

    所以平面ABED,又平面

    所以平面平面ABED.

    2)如图,以D为坐标原点,的方向分别为xy轴的正方向,的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系

    F

    所以,

    设平面的法向量为=(xyz)

    ,得,所以

    记直线与平面所成的角为θ

    ==.

    22.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是一个边长为2的菱形,DAB60°.侧棱DD1平面ABCDDD13.

    (1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值;

    (2)ED1B的中点,在线段D1C上是否存在一点P,使得AE平面PDB?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)

    (2)存在,

     

    【分析】1)建立空间直角坐标系,根据向量的夹角即可求二面角,

    2)根据线面平行的向量方法,利用法向量与方向向量垂直即可求解.

    【详解】1)如图1,连接BD,由题意,ADB是正三角形,设MAB的中点,则DMAB,所以DMDC

    DD1平面ABCD,所以DM平面DD1C1C.

    D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

    D(0,0,0)D1(0,0,3)C(0,2,0)B(,1,0)

    (,1,0)(,1,3).

    显然,平面D1CD的一个法向量是

    设平面BD1C的法向量为(x,y,z)

    x,得(,3,2)

    设二面角B-D1C-D的平面角为θ,由几何体的特征可知为锐角,

    .

    故二面角B-D1C-D的平面角的余弦值为.

    2)设λ,即有,其中

    由(1)知D1C,则

    所以P,又DB

    于是

    设平面PBD的法向量为

    x,得

    因为AD1B的中点为E

    所以

    因为平面PDB,所以

    ,得λ

    即线段D1C上存在点P使得平面PDB,此时

     

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