2022-2023学年河南省安阳市第三十九中学高二上学期第一次加密考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省安阳市第三十九中学高二上学期第一次加密考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省安阳市第三十九中学高二上学期第一次加密考试数学试题 一、单选题1．已知直线与直线平行，则实数的值是（    ）A． B． C．或 D．不存在【答案】C【分析】先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到的方程，从而解得的值.【详解】因为直线，互相平行则两直线的斜率都应存在，所以由两直线平行得到，解得或，故选：C2．若等差数列与等差数列的前n项和分别为和，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等差数列的性质和求和公式，得到，即可求解.【详解】由等差数列的性质和求和公式，可得．故选：C.3．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可.【详解】因为点，所以的中点，所以关于平面对称的点的坐标为，故选：A.4．已知等差数列的公差，若，，则该数列的前项和的最大值为（    ）A．30 B．35 C．40 D．45【答案】D【分析】利用等差数列的性质求出公差以及首项，再由等差数列的前项和公式即可求解.【详解】等差数列，由，有，又，公差，所以，，得，，，∴当或10时，最大，，故选：D5．如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（    ）．A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线【答案】B【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，故选：B6．过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（     ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果.【详解】因为焦点坐标为，设方程为，将代入方程可得，解得，故方程为，故选：A.7．点在圆的内部，则的取值范围是（    ）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】点在圆内，则把点的坐标代入圆中，满足，解出结果.【详解】∵点在圆的内部∴解得：故选：A8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设可得y2＝8x，进而写出其焦点坐标，应用直线斜率的两点式求AF的斜率即可.【详解】∵抛物线C：y2＝2px的准线为，且A(－2,3)在准线上，∴故，解得p＝4，即y2＝8x，∴焦点F的坐标为(2,0)，此时，直线AF的斜率kAF＝.故选：A9．若双曲线的离心率为，则（    ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】首先将双曲线化为标准式，即可表示出，，再根据及离心率为得到方程，解得即可；【详解】解：因为，所以，即，，所以，因为离心率为，即，解得故选：D10．已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】先由椭圆方程求出，再利用椭圆的定义进行求解.【详解】由椭圆，得：，由题意可得的周长为:.故选：D.11．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若恰好为线段的中点，则（   ）A．2 B． C．4 D．6【答案】B【分析】根据焦点求出抛物线方程，将直线方程代入抛物线方程，求出斜率，同时得到韦达定理的形式，然后利用弦长公式求解出结果.【详解】因为抛物线的焦点为所以    设，，显然直线的斜率存在且不为设由消去可得：由为线段的中点可知，，所以所以直线的方程为，所以：本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中弦长的求解，关键在于能够求出韦达定理的结果，再利用弦长公式求解出结果.12．已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】如图，椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，化为，即可得出椭圆的离心率的范围.【详解】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥，又e<1，所以e∈．故选：B 二、填空题13．圆与圆关于直线对称，则圆的方程为____．【答案】【分析】求得圆的圆心，由此求得圆的方程.【详解】设关于直线对称点为，则，解得，所以圆的方程为.故答案为：14．已知P是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，若，则的面积为______．【答案】【分析】由椭圆方程求出，然后利用余弦定理结合椭圆的定义求出，再利用三角形面积公式可求得结果【详解】由椭圆方程知，，，所以，所以，．在中，，即①．由椭圆的定义得，即②．②-①得，所以，所以．故答案为：.15．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线的一般方程为_________.【答案】【分析】由点差法可求出直线的斜率，进而可求得直线的方程【详解】设过点的直线与椭圆的两个交点分别为，，则，，两式相减得，化简得，即，直线AB的方程为，所以直线AB的一般方程为，故答案为：16．圆：和圆：的交点为A，B，则有______（填序号）．①公共弦AB所在直线方程为；②线段AB的中垂线方程为；③公共弦AB的长为；④P为圆上一动点，则Р到直线AB的距离的最大值为．【答案】①②④【分析】①两圆方程作差即可求出公共弦方程；②线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；③求出一个圆的圆心道公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；④求出一个圆的圆心道公共弦的距离，加上半径即可求出最值.【详解】因为圆：和圆：的交点为A，B，作差得，所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故①正确；因为圆心，，所在直线斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，即，故②正确；圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故③错误，④正确．故答案为：①②④. 三、解答题17．设等差数列的前项和为，若，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项的和.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列的通项公式；（2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可求得的表达式.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由已知可得，解得，因此，.（2）解：.当时，，且；当时，.综上所述，.18．已知圆C经过，，三点.(1)求图C的方程：(2)设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设圆的方程为，将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；（2）设，根据，即可得到，再根据在圆上，代入圆的方程，即可求出动点的轨迹方程；【详解】（1）解：设圆的方程为，将三点，，分别代入得：，即，解得，所以圆的方程为：；（2）解：设，，由则有，得又点A在圆C上运动，则，即，整理得：所以点的轨迹方程为，是圆心为，半径为的圆.19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA＝AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【分析】解法一：（1）根据线面垂直的判定定理由已知的垂直的关系，可得到线面垂直，这样可以得到线线垂直，最后根据直角和线面垂直的判定定理证明出BC⊥平面PAC；（2）结合（1）的结论、已知的平行线，根据线面角的定义，通过计算求出AD与平面PAC所成的角的正弦值．解法二：建立空间直角坐标系.（1）利用空间向量的数量积运用，证明线线垂直，再结合已知的垂直关系证明出线面垂直；（2）利用空间向量夹角公式，求出AD与平面PAC所成的角的正弦值.【详解】（解法一）：（1）∵PA⊥AC，PA⊥AB，AC∩AB＝A，∴PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DEBC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴ADAB，∴在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BCAB．∴在Rt△ADE中，sin∠DAE，∴AD与平面PAC所成的角的正弦值是．（解法二）：如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，设PA＝a，由已知可得P（0，0，a），A（0，0，0），，．（1）∵，，∴，∴BC⊥AP．又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC．（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴，，∴又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E．∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵（），（0，a，a），∴cos∠DAE，sin∠DAE．∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为．【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了线面角的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，长轴长为，求出几何量，即可得椭圆的方程；(2) 设点，利用点到直线的距离公式即可求出.【详解】（1）由已知得，得   椭圆（2）设，则当时，.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性求的最大值，属于基础题.21．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于不同的两点.（1）如果直线的方程为，求弦的长；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值.【答案】（1）8（2）-3【分析】（1）直线与抛物线联立，由两点间距离公式结合韦达定理求解即可；（2）设直线方程为：，与抛物线联立，由，结合韦达定理代入求解即可.【详解】设，.（1）联立得：.由韦达定理得：，.∴ .（2）由直线过抛物线焦点且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：，联立得：，由韦达定理：，，∴.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，属于基础题.22．已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）直线过定点【分析】（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，，列方程组，解得，，，即可得出答案．（2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，解得，即可得出答案．【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，所以，又，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）证明：设直线的方程为，，，，，联立，得，所以，，所以，，所以，解得，所以直线过定点．