2022-2023学年贵州省六盘水市第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年贵州省六盘水市第一中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省六盘水市第一中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．若，，，则事件与的关系是（    ）A．事件与互斥 B．事件与对立C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立【答案】C【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.【详解】∵，∴，∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.故选：C2．为了进一步推动全市学习型党组织､学习型社会建设，某市组织开展“学习强国”知识测试，从全体测试人员中随机抽取了一部分人的测试成绩，得到频率分布直方图如图所示.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，则估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是（    ）A．85，87.5 B．86.75，86.67 C．86.75，85 D．85，85【答案】B【分析】根据平均数和中位数的定义求解即可【详解】由题意可知，平均数约为；因为前2组的频率和为，前3组的频率和为，所以中位数在[85，90）内，设中位数为，则，解得.所以估计这部分人的测试成绩的平均数和中位数分别是86.75，86.67.故选：B.3．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．【详解】解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，故选：D.4．与向量平行的一个向量的坐标是(　　)A． B．(-1,-3,2)C． D．(,-3,-2)【答案】C【分析】根据向量共线定理判定即可．【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．故选C．【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．5．下列命题正确的是（    ）A．若与共线，与共线，则与共线B．向量，，共面，即它们所在的直线共面C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λD．零向量是模为0，方向任意的向量【答案】D【分析】假设为零向量，可判断选项A；根据向量的特征，可判断选项B；根据向量共线定理，可判断选项C；根据零向量的定义，可判断选项D.【详解】由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.故选：D.6．如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】,故选：B.7．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】故选：B8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知平面，直线，故当、最短时，平面，，再根据向量的关系计算即可得答案.【详解】，，∴ ，，即:，；平面，直线，所以当、最短时，平面，，为的中心，为线段的中点，如图：又正四面体的棱长为1，，平面，，．故选：A．【点睛】本题考查空间向量的数量积运算，共面向量定理，共线向量定理，解题的关键在于结合共面向量定理与共线向量定理得平面，直线，进而当当、最短时，平面，，再求解. 二、多选题9．(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（    ）A．A⊆C B．A∩B＝∅C．A∪B＝C D．B∩C＝∅【答案】ABC【分析】写出事件，判断即可.【详解】{出现点数为1,3,5}，{出现2点}，{出现点数为1,2,3,5}.所以，，，.所以选项A、B、C正确，选项D不正确．故选：ABC.10．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是5”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“第一次掷出的点数是5”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（    ）A．与互斥 B．C．与对立 D．与相互独立【答案】ABD【分析】根据互斥的意义判定A;利用对立事件和独立事件概率公式可求得,从而判定B;根据对立事件的概念和结合题意判定C;利用独立事件的概率公式判断D.【详解】若两次掷出的点数之和是5，由于每次掷出的点数都在1到6之间，所以第一次掷出的点数一定小于5，故A与C互斥，故A正确；“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，所以，故B正确；由于“至少出现一个奇数点”的对立事件时“两次掷出的点数都是偶数点”，故B与D不是对立的，故C错误；先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有6×6=36中等可能的不同情况，“两次郑出的点数之和是5”有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共四种不同的情况,第二次掷出的点数为偶数的情况有（=1，2，3，4，5，6）共18种不同情况，两次掷出的点数之和为5且第二次掷出的点数为偶数的情况有两种情况，所以所以,所以A,B独立，故D正确.故选：ABD11．已知空间向量，，则下列正确的是（       ）A． B． C． D．，【答案】AB【分析】利用空间向量坐标的加法公式、向量模的坐标公式、向量的数量积公式依次计算各选项即可得出结果.【详解】向量，，，则A正确，，则B正确，，则C错误，，则D错误.故选：AB12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）A．PC与平面BCD所成的最大角为45°B．存在某个位置，使得PB⊥CDC．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PCD．存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为【答案】BC【分析】A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时∠PCO＝60°＞45°，即可判断；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB⊂平面PBQPB⊥CD，即可判断；C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．【详解】解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，∴PCOP，即选项C正确；选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．故选：BC． 三、填空题13．我国在贵州省平塘县修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.截至2021年5月，该射电望远镜发现脉冲星逾370颗.脉冲星就是旋转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的，最小的自转周期小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某天文研究机构观测并统计了其中93颗脉冲星的自转周期，绘制了如图所示的频率分布直方图.在这93颗脉冲星中，自转周期在2秒至10秒的颗数大约为___________ 颗.【答案】79【分析】根据频率分布直方图计算出自转周期在2秒至10秒的频率后可求相应的颗数.【详解】由频率分布直方图可知，自转周期在0秒至2秒的频率为，自转周期在10秒至12秒的频率为0.025×2=0.05，所以自转周期在2秒至10秒的频率为1-（0.1+0.05）=0.85，所以自转周期在2秒至10秒的颗数大约为0.85×93=79.05≈79.故答案为：79.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．【答案】【分析】根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.【详解】由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为，第二种摸出“白红白红”的概率为，第三种摸出“红白白红”的概率为，所以连续摸4次停止的概率等于．故答案为：16．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.【答案】2【分析】题中 几何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，,再将转化为，以及将转化为,,总之等式右边为，，,从而得出，.【详解】解：因为，又，所以，，则.故答案为：2.【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将作为转化的目标，从而得解. 四、解答题17．某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球（每个球除颜色外都相同）的袋中红球接近多少个，在不将袋中的球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组．其中一位学生摸球，另一位学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，得到摸到红球次数为6000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率；(2)请你估计袋中红球的个数．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求得总次数，根据红球出现的频数，利用频率计算公式求出红球的频率，利用频率估计概率，即可求解；（2）设袋中红球的个数为，根据（1）中红球出现的频率，利用频率的计算公式列出方程，即可求解.【详解】（1）解：由题意得，所以摸到红球的概率为，因为试验次数很大，大量试验时，频率接近概率，所以估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率为.（2）解：设袋中红球的个数为，根据题意得，解得，经检验是原方程的解，所以估计袋中红球接近个.18．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为，，，四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级，，的概率分别是，，.（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.由题意，事件，，，两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可；（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.则“两单共获得的奖励为0元”即事件，且事件，，互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可【详解】解：（1）设事件，，，分别表示“被评为等级，，，”.由题意，事件，，，两两互斥，所以.又“延迟送达且被罚款”，所以.因此“延迟送达且被罚款”的概率为.（2）设事件，，，表示“第单被评为等级，，，”，.则“两单共获得的奖励为0元”即事件，且事件，，互斥，又又所以19．已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.【答案】(1)建系见解析，，，，；(2)；(3). 【分析】（1）根据给定三棱锥的特征建立空间直角坐标系，写出顶点坐标作答.（2）利用（1）的结论结合中点坐标公式计算作答.（3）设出点M的纵坐标，直接写出其坐标作答.【详解】（1）在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直，以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以，，，.（2）由（1）知，点Q是PC中点，则.（3）由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t，其竖坐标z，当M与A不重合时，，当M与A重合时，z=3满足上式，因此，所以点.20．如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值.（1）；（2）【答案】（1）x＝1，y＝－1，z＝1；（2）.【分析】（1）根据空间向量的线性运算算出答案即可；（2）根据空间向量的线性运算算出答案即可.【详解】(1)因为又所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因为又所以x＝，y＝，z＝1.21．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.（1）求平面ABCD的一个法向量；（2）求平面SAB的一个法向量；（3）求平面SCD的一个法向量.【答案】（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).【分析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.【详解】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).（1）∵SA⊥平面ABCD，∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴得方程组令，则，，∴=(2，-1，1).所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.【点睛】本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.22．已知关于的二次函数，令集合，，若分别从集合、中随机抽取一个数和，构成数对.（1）列举数对的样本空间；（2）记事件为“二次函数的单调递增区间为”，求事件的概率；（3）记事件为“关于的一元二次方程有4个零点”，求事件的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）直接列举即可；（2）由二次函数的性质可得，，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；（3）由函数与方程的关系，求出，求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】（1）由题意可得，，，数对的样本空间为；（2）若二次函数的单调递增区间为，则二次函数的对称轴，即，由（1）可得，总的基本事件个数为20个，符合的基本事件为：，，，共4个，所以；（3）因为，二次函数的图象开口向上，方程有4个零点，即方程和各有2个零点，等价于二次函数的最小值小于，所以，即，样本空间中符合的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11个，所以.