2022-2023学年河南省部分名校高二上学期11月联考数学试题（A卷）（解析版）

2022-2023学年河南省部分名校高二上学期11月联考数学试题（A卷）

一、单选题

1．若直线的一个方向向量是，则实数k的值为（    ）

A．4 B．-4 C．1 D．-1

【答案】D

【分析】计算出直线的斜率，从而列出方程，求出实数k的值.

【详解】直线的斜率为，所以，解得.

故选：D.

2．若方程表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】方程配方后得，根据圆的半径大于0求解.

【详解】由方程可得，

所以当时表示圆，解得.

故选：D.

3．如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由空间向量线性运算即可求解.

【详解】因为为三棱柱，所以，

.

故选：.

4．已知椭圆的焦点分别为，，则C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆焦点及椭圆方程可知，求出直接计算离心率即可.

【详解】由题意知椭圆C的焦点在x轴上，所以，

所以，

所以，离心率为.

故选：C.

5．已知直线l的一个方向向量是，平面的一个法向量是，若，则m=（    ）

A． B． C．-8 D．8

【答案】B

【分析】根据直线与平面的平行的向量法表示求解.

【详解】由，得，即，解得.

故选：B

6．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设双曲线的方程是，

由已知可得 ，将点坐标代入解得 的值，从而得到双曲线的方程，最后利用双曲线的方程

解得 的坐标即可求得地标建筑的高.

【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.

由题意可得：，，

设，双曲线的方程是，

则，解得 ，

所以双曲线的方程是：，

将点代入得，

解得，

所以该地标建筑的高为： .

故选： .

7．已知直线与圆相交于M，N两点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径，由圆的几何性质知当时最小，利用半径、弦心距、半弦长之间的关系求解即可.

【详解】圆的标准方程是，圆心C的坐标为，半径为5.

直线过定点，由知点P在圆C内，

所以时最小，且.

故选：B

8．如图，在长方体中，，，P，M分别为线段BC，的中点，Q，N分别为线段，AD上的动点，若，则线段QN的长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，写出相关的点坐标，设出Q，N的坐标，利用，找出参数间的关系，再用空间两点间的距离公式表示出函数的形式，

利用函数求最值.

【详解】如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

因为P，M分别为BC，的中点，所以，，

因为Q，N分别为线段，AD上的动点﹐

所以可设，，

所以，.

由，得，即，即，

由，

得，

当时，.

故选：D.

9．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解.

【详解】离心率为的双曲线是等轴双曲线，

所以可设双曲线的方程是，

将点的坐标代入得，

所以的方程是，

将代入上式并消去整理得

，

则解得或.

故选:A.

10．已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C.当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出直线所过定点为得C点坐标，再求出A，B点坐标，写出四边形面积，利用均值不等式求最小值，确定时，再由点到直线距离求解即可.

【详解】如图，

直线，都过点，

即点C的坐标是.

在中，令，得，所以，

同理可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

所以当时，四边形OACB的面积取最小值.

此时，点B的坐标为，直线的方程是，

点B到直线的距离是.

故选：B.

11．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（    ）

A．6 B． C． D．

【答案】D

【分析】将代入椭圆C的方程并结合已知可得，由点差法结合已知可得，由此求出，则C上的点M到焦点F的距离的最大值为即可求解

【详解】将代入椭圆C的方程得，

所以①，

设，，则，，

两式相减得，

又，，，

所以②，

解①②得，，

所以，

所以C上的点M到焦点F的距离的最大值为.

故选：D.

12．在如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面⊥平面ABCD，，，点M在侧棱PB上，且，直线MC与平面BDP所成角的正弦值是，则实数的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，以及和，进而得出和，求出平面BDP的一个法向量，求出直线MC与平面BDP所成的角的表达式，进而得出实数的值.

【详解】取AD的中点O，由，得，又平面，平面⊥平面ABCD，可得⊥平面ABCD，设，由四边形ABCD是正方形，可知.

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，.

由，得，

，

设平面BDP的法向量，

则即，

令，则，，

∴平面BDP的一个法向量，

设直线MC与平面BDP所成的角为，

则，

化简，得，

解得，或.

故选：C.

二、填空题

13．已知向量，，若，则___________.

【答案】3

【分析】由空间向量的坐标运算求解，

【详解】因为，所以存在实数k，使得，即，

所以解得，，所以.

故答案为：3

14．已知直线与平行，则，间的距离为___________.

【答案】

【分析】根据直线平行的条件求出m，再由平行线间的距离公式求解即可.

【详解】因为，所以且，解得，

所以，即，

所以，间的距离为.

故答案为：

15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后得到的光线必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，到达抛物线上的点B，则___________.

【答案】25

【分析】由题意求出A点坐标，根据过焦点得直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，根据抛物线焦点弦的弦长公式求解即可.

【详解】将代入，得，即，

由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，

所以直线AB的斜率为，直线AB的方程为，

代入并消去y得，解得，，

故.

故答案为：25

三、双空题

16．已知圆C上的任意一点到两个定点，的距离之比为，则圆C的方程是___________；在直线上存在点P满足：过P作圆C的切线，切点分别为M，N，且四边形PMCN的面积为，则实数m的取值范围是___________.

【答案】     ；     .

【分析】根据所给条件建立方程化简即可求出轨迹方程，再由圆的切线的性质及所给四边形面积求出，由圆心到直线距离小于等于4建立不等式求解即可.

【详解】设是圆C上的任意一点，则，

化简得圆C的方程为.

圆心C的坐标为，半径为，由题意知，，

所以，

，解得.

又点P在直线上，所以不小于C到直线l的距离，

即，解得，即实数m的取值范围是.

故答案为：；.

四、解答题

17．在中，，，，BC边上的中线AD所在直线的方程为.

(1)求a，b的值；

(2)求AB边上的高CH所在直线的方程.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据点A及BC的中点为在直线上求即可；

（2）根据垂直直线斜率的关系求出，点斜式求直线方程即可.

【详解】（1）由中线AD所在直线过点，得，解得.

由，，得边BC的中点为，

所以，解得.

（2）由（1）知，，所以，

因为，所以，即，

所以高CH所在直线的方程为，即.

18．周口市沙河湾湿地公园内有一直角梯形区域，，，.相关部门欲在 ，两处各建一个景点，将 边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）.

(1)若分别以 ，为圆心的两个圆都与直线 相切，且这两个圆外切，求 ，两点之间的距离；

(2)若，今欲在人行步道（线段）上设一观景台 ，已知观景台在过 ，两点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？

【答案】(1)，两点之间的距离为： .

(2)观景台设在处时，观赏和拍摄的效果最佳.

【分析】（1）由以，为圆心的两个圆都与直线相切，可知两圆的半径，由两圆外切即可解得，两点之间的距离.

（2）根据题意建立平面直角坐标系，由解得 ，两点的坐标，由已知可设圆的方程为：和切点的坐标，将 ，两点的坐标代入解出圆的方程，从而得出坐标即可.

【详解】（1）解：因为分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，

所以这两个圆的半径分别为和，又因为两个圆外切，

所以两个圆心，之间的距离为：

故，两点之间的距离为： .

（2）以 为原点，所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.

则，，

由，得，

解得.

所以，.

因为观景台在过 ，两点的圆与直线相切的切点处，

所以设过，两点的圆的方程为：，

已知此圆与线段切于点，则，

由，两点在圆上，代入得，

解得或（舍）.

所以圆的方程为：，

所以切点为，即观景台应设在梯形的顶点 处.

所以观景台设在处时，观赏和拍摄的效果最佳.

19．已知双曲线的左､右焦点分别为，.

(1)若点A的坐标是，且的面积为，求双曲线C的渐近线方程；

(2)若以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且（O为原点），求双曲线C的离心率.

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）利用已知条件得，结合双曲线中化简整体求出，即可得双曲线C的渐近线方程

（2）根据题意作图，根据图形，利用余弦定理求出，从而得，即渐近线的倾斜角，则可以得出的值，结合得到关于离心率的齐次方程，解出即可

【详解】（1）因为，的面积为，

所以，

即，

所以，

解得或（舍去），

所以，

所以双曲线C的渐近线方程是.

（2）因为以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图，

，所以，

在中，由余弦定理可得：

，

所以，则，

所以，，，

所以，，

所以双曲线C的离心率为2.

20．如图1，已知梯形ABCD中，，E是AB边的中点，，，.将沿DE折起，使点A到达点P的位置，且，如图2，M，N分别是PD，PB的中点.

(1)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值；

(2)求点P到平面MCN的距离.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解；

（2）根据点到平面距离的向量法求解即可.

【详解】（1）因为图1中，所以图2中，，又，

所以分别以ED，EB，EP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，.

因为，，，DE，平面BCDE，

所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一个法向量，

设平面MCN的法向量，由得取，则，，所以平面MCN的一个法向量，

设平面MCN与平面BCDE的夹角为，则，

所以平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值为.

（2）由（1）知是平面MCN的一个法向量，

又，

所以点P到平面MCN的距离.

21．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为5.

(1)求C的标准方程；

(2)若过点的直线l与抛物线C相交于A，B两点.求证：为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程求出即可得解；

（2）设直线l的方程为，联立方程消元后得出根与系数的关系，结合两点间距离公式化简计算即可得解.

【详解】（1）抛物线的准线l的方程为，

根据抛物线的定义知点P到它的焦点的距离即为点P到准线l的距离，所以，解得，所以C的标准方程为.

（2）显然直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，，，

联立消去y，得，

所以，，，

又，同理.

所以.

所以为定值.

22．在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，定点

【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程.

（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得的坐标，假设存在定点，则，代入数据计算得到答案.

【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，所以.

又，所以点N的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.

设曲线C的方程为，则，，所以，

所以曲线C的方程为.

（2）由，消去y并整理，得，

因为直线与椭圆C有且只有一个公共点P，

所以，即，所以，

此时，，

所以，由得，

假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则，

又，，

所以，

整理得对任意实数，k恒成立.

所以，解得，

故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点H.

【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目条件转化为向量的乘积为零是解题的关键.