2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省鸡西市虎林市高级中学高二上学期9月月考数学试题 一、单选题1．若直线x+ny+3=0与直线nx+9y+9=0平行，则实数n的值为（    ）A．3 B．-3 C．1或3 D．3或-3【答案】B【分析】根据两直线平行的公式求解即可.【详解】由题意知，且，故.故选：B2．与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，所以所求圆的方程为.故选：B3．已知，则直线通过（    ）象限A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四【答案】A【分析】将直线化为斜截式，进而通过斜率和纵截距的范围得到直线所过的象限.【详解】由题意，直线，因为，所以，所以直线过第一、二、三象限.故选：A.4．如图，在四面体中，，，，且，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算求解．【详解】连接，因为，所以，因为，所以，所以．故选：C．5．过点（2，－3）、斜率为的直线在y轴上的截距为（    ）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案.【详解】由题意得直线方程为，令x=0，解得y＝－2．故选：B．6．过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为(    )A． B．C． D．【答案】A【分析】联立两条直线的方程求出交点坐标，再根据直线方程的点斜式即可求解．【详解】由解得，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：，即．故选：A．7．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围【详解】直线恒过的定点，.当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.当时，直线的斜率为，则，解得或，综上，.故选：C8．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（    ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面【答案】A【分析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，利用直线和平面法向量的关系判断各选项即可.【详解】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，,，，，，,则，，，，，,当时，，设平面的法向量为，则取，则，，则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．当时，，设平面的一个法向量为，则，取则，，则为平面的一个法向量，因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；当时，，因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．故选：A． 二、多选题9．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（    ）A．当时，直线l与直线垂直B．若直线l与直线平行，则C．直线l过定点D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【分析】对于A，代入，利用斜率之积为得知直线l与直线垂直；对于B，由两平行线的一般式有求得，从而可判断正误；对于C，求定点只需令参数的系数为0即可，故直线l过定点；对于D，代入，分别求得直线l在两坐标轴上的截距即可判断正误.【详解】对于A，当时，直线l的方程为，故l的斜率为1，直线的斜率为，因为，所以两直线垂直，所以A正确；对于B，若直线l与直线平行，则，解得或，所以B错误；对于C，当时，则，所以直线过定点，所以C正确；对于D，当时，直线l的方程为，易得在x轴、y轴上的截距分别是，所以D错误.故选：AC.10．已知空间向量，，则下列选项正确的为（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BCD【分析】对于A、B分别根据向量平行和垂直的等价条件转换计算；对于C、D分别代向量的模的公式及夹角公式计算可得.【详解】向量，对于A. 若，则，所以，故此选项错误；对于B. 若，，则，故此选项正确；对于C. 若，则，则，故此选项正确；对于D. 若，则，所以，故此选项正确；故答案为：BCD11．圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的方程可能是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由圆的几何关系可知圆心在直线x＋y＝0上，设出圆心坐标为（a，－a），利用圆心到圆上点的距离等于半径列方程即可求解.【详解】由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则，解得a＝0或a＝1，∴所求圆的方程为或,故选：AD．12． 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）A． 异面直线与所成角的余弦值为B． C． 四面体的外接球体积为D． 平面截正方体所得的截面是四边形【答案】BC【分析】利用坐标法可判断AB，利用正方体的性质可判断CD.【详解】如图建立空间直角坐标系，则，∴，，∴，A错误；∴，，，∴，B正确；由题可知四面体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球半径满足，，∴，C正确；延长交延长线与，连接交于，延长交延长线于，连接交于，则五边形为平面截正方体所得的截面，D错误. 故选：BC. 三、填空题13．若直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，则直线l与平面的位置关系是______．【答案】垂直或【分析】由题意可得与共线，从而可得答案【详解】因为直线l的一个方向向量为，平面a的一个法向量为，且，所以与共线，，所以直线l与平面的位置关系为垂直，故答案为：垂直或14．若方程x+y+Dx+Ey+F=0，表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则F=_____【答案】4【详解】方程x+y+Dx+Ey+F=0配方得根据条件得：解得15．著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离，结合．上述观点，可得的最小值为______．【答案】【分析】设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于轴的对称点为，转化为求的最小值即可.【详解】设，则，∴的几何意义为点与两定点，之间的距离之和．如图所示：设点关于x轴的对称点为，则的坐标为（2，－4）．则，要求的最小值，即求的最小值， 又，即的最小值为．故答案为：.16．若圆上到直线的距离等于的点恰有3个，则实数a的值为___________.【答案】或【分析】设圆心到直线的距离为，由题意有，利用点到直线距离公式列出等式即可求解.【详解】圆，即，所以圆C的圆心坐标为，半径，因为圆上到直线距离等于的点恰有3个，设圆心到直线的距离为，则，即，解得或，故答案为：或. 四、解答题17．已知空间中三点的坐标分别为，，，且，．(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若与互相垂直，求实数的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案；（2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案.【详解】（1），，所以．（2）因为，，且与互相垂直，所以，解得．18．直线过点.(1)若直线与直线平行，求直线的方程；(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设出直线的方程，利用待定系数法求得正确答案.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合到直线的距离来求得直线的方程.【详解】（1）设直线方程为将代入得，所求直线方程是（2）若直线的斜率不存在，则过的直线为，到的距离为1，满足题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为.由到直线的距离为1，可得.解得，所以直线方程为，即.综上得所求的直线方程为或.19．如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点．(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30° 【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量证明即可，（2）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可.【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．所以，因为平面,所以平面的一个法向量为，因为，所以，因为平面，所以平面（2），，．设平面的一个法向量为则，令，则，，所以设与平面所成角为，则．因为，所以与平面所成角为30°．20．圆C过点，，且圆心在直线上.（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.【详解】（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为，.因此，直线m的方程为.即.又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组，解得所以圆心坐标为，又半径，则所求圆的方程是.（2）设线段的中点，M为线段的中点，则，解得代入圆C中得，即线段中点M的轨迹方程为.【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.21．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，，则，平面，平面，，，、平面，平面，平面，因此，平面平面.（2）解：因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设，，其中，易知平面的一个法向量为，由已知可得，解得，所以，为的中点，即，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，，由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为.22．已知圆.(1)若直线，证明:无论为何值，直线都与圆相交；(2)若过点的直线与圆相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】(1)见详解；(2)的面积的最大值为，此时直线方程为或. 【分析】（1）只要证明直线过圆内一点即可；（2）根据题意，故设直线方程，可得圆心到直线的距离，又，代入，利用函数求最值即可得解.【详解】（1）转化的方程可得：，由，解得，所以直线恒过点，由，故点在圆内，即直线恒过圆内一点，所以无论为何值，直线都与圆相交；（2）由的圆心为，半径，易知此时直线斜率存在且不为，故设直线方程，一般方程为，圆心到直线的距离，所以 所以，令，可得，当时，所以的面积的最大值为，此时由，解得，解得或，符合题意，此时直线方程为或.