2022-2023学年黑龙江省联考高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省联考高二上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省联考高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知向量若则（    ）A． B．1 C． D．1【答案】D【分析】由空间向量垂直的坐标公式求解即可【详解】因为，所以，即，解得．故选：D．2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据双曲线定义得到，，得到双曲线方程.【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，故，.所以双曲线的标准方程为.故选：D.3．已知直线l：若直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由斜截式方程得斜率，再由斜率的定义求解即可【详解】直线l：化为斜截式得则直线l的斜率为，则l的倾斜角为，则的倾斜角为，所以的斜率为．故选：C．4．若与相外切，则（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得：.故选：C.5．已知是空间的一个基底，下面向量中与向量，一起能构成空间的另外一个基底的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量基底概念依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，因为，所以与和共面，故A错误；对选项B，若与和共面，则，此时无解，所以与和不共面，故B正确.对选项C，因为，所以与和共面，故C错误；对选项D，因为，所以与和共面，故D错误；故选：B6．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．  C． D． 【答案】A【分析】根据离心率求出即可求渐近线方程.【详解】由双曲线的离心率为，得，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即．故选:A．7．如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角即可【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DP，DC，DA两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，，，，，所以，，设异面直线AC与BQ所成的角为，则，又，所以异面直线AC与BQ所成的角为．故选：A．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点， ，若的面积为，则的短袖长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用椭圆的定义，余弦定理以及面积公式即可求解.【详解】由椭圆的定义知，所以，又，即，两式相减，得，因为的面积为，即，所以，解得，所以短轴长为6．故选:D． 二、多选题9．已知直线l过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程可以为（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】分两种情况，当截距为时，设直线的方程为：，将点代入求得的值，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入求得的值即可求解.【详解】当截距为时，设直线的方程为：，将点代入可得，可得，所以，即，当截距不等于时，设直线的方程为：，将点代入可得：，解得：，所以直线的方程为：，即，所以直线的方程为：或，故选：AD.10．已知P为圆上一点, ，，则（    ）A．点P到直线AB的距离不小于1 B．到直线AB距离为3的点P有两个C．当∠BAP最小时， D．当∠BAP最大时，【答案】ACD【分析】求直线AB的方程，由圆心到直线的距离和圆的半径，可知圆上的点到直线距离的范围；最大或最小时，AP与圆相切，求切线长即可.【详解】由，，直线AB的方程为，即，所以圆心到直线AB的距离，圆的半径为1，故点P到直线AB的距离的最小值为，最大值为，所以点P到直线AB的距离不小于1，到直线AB距离为3的点P仅有1个，故A正确，B错误；最大或最小时，AP与圆相切，如图所示此时，，故CD正确．故选：ACD．11．如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线E，点，则（    ）A．若P为E上任意一点，则点P到四点的距离之和为定值B．曲线E关于直线均对称C．曲线E所围区域的面积小于36D．曲线E所围区域的面积大于9π【答案】BCD【分析】由椭圆的定义与性质，逐一判断求解即可【详解】显然A，B为的焦点，C，D为的焦点，若点P为E与y正半轴的交点，此时点P到四点的距离和为18，若点P为，的交点，则P到四点的距离和为20，故A错误；因为椭圆上任一点关于直线，的对称点分别为，，它们均在上，故关于直线，的对称曲线均为，关于直线，的对称曲线均为，故曲线E关于，均对称，故B正确；分别过和的短轴的端点作垂直于其短轴的垂线，可得一个正方形，且该正方形的边长为6，其面积为36，又区域E在该正方形内部，所以E所围成的区域面积小于36，故C正确；以椭圆的短轴长为直径作圆，该圆在区域E内部，且圆的面积为，故区域E的面积大于圆的面积，故D正确．故选：BCD．12．已知e是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（    ）A． B．若则C． D．【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到，利用不等式的性质即可一一判断.【详解】的定义域为，，所以是奇函数．因为，在上都单调递减，所以在上是减函数．又，则，即，所以，即．因为在R上是增函数，所以，故A正确；因为，所以，所以，故B正确；因为在上是增函数，所以，即，故C正确；取，，满足，但不成立，故D错误．故选:ABC． 三、填空题13．以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是____________.【答案】【分析】结合已知条件求出圆的半径，进而得到答案.【详解】因为为圆心，且圆与轴相切，所以圆的半径，故所求圆的方程为.故答案为：.14．已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________.【答案】【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解.【详解】由题意知，所以点到的距离．故答案为：.15．经过点作直线交椭圆于M，N两点，且P为MN的中点，则直线的方程为____________.【答案】【分析】设，，代入椭圆的方程，利用点差法求出所在直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】设，，则，，两式相减可得，即，由中点，可得，，所以，即，故直线的方程为.因为P在椭圆内，故直线必与椭圆相交，符合题意故答案为：.16．已知直线，直线，其中，若直线，与两坐标轴围成一个凸四边形，则此四边形面积的取值范围是_______.【答案】【分析】由直线，过定点，再分别求出直线、与轴、轴的交点，将四边形OAPD的面积为，结合二次函数的性质得出四边形面积的取值范围.【详解】直线，过定点，与x轴，y轴的交点分别为，，直线，过定点，与x轴，y轴的交点分别为，，当时，A在C的右侧，B在D的上方，直线，与两坐标轴围成的四边形是四边形OAPD，如图所示，，，则四边形OAPD的面积为，因为，所以，则．故答案为： 四、解答题17．已知的顶点(1)求BC边上的高所在直线的方程；(2)求△ABC的外接圆的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由 BC边上的高所在直线与BC垂直，且过A点，点斜式可求直线方程.（2）设外接圆的方程为，代入三点的坐标，解出未知系数得方程.【详解】（1）直线BC的斜率，设BC边上的高所在直线的斜率为k，则，所以所求直线为，即．（2）设外接圆的方程为，由在圆上，则，解得.故外接圆的方程为．18．已知为锐角，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用和的范围求，接着利用二倍角公式即可得到答案；（2）先利用的值算出和的值，再通过第（1）问算出，最后利用即可得到答案【详解】（1）因为，且所以，又为锐角，所以，因此；（2）因为为锐角，所以，又因为，所以，因此，因为，所以，因此19．每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）∶组数分组人数本组中“H族”的比例第一组[25，30)2000.6第二组[30，35)3000.65第三组[35，40)2000.5第四组[40，45)1500.4第五组[45，50)a0.3第六组[50，55)500.3 (1)试补全频分布直方图，并求与n的值；(2)从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率.【答案】(1)直方图见解析，，(2) 【分析】(1)利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数.(2)按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率。【详解】（1））第二组的频率为，所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：第一组的频率为，所以．第五组的频率为，所以．（2）因为分钟的“H族”人数为，分钟的“H族”人数为，二者比例为，所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为．20．已知直三菱柱中，，，点M式的中点.(1)求证：平面 平面；(2)求直线与所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由勾股定理证明，再用线面垂直的判定定理证明平面，从而得到，即可证明平面ABM，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量求解即可【详解】（1）不妨设，则，．因为点M是的中点，所以，所以．因为，所以．由直棱柱的性质可得平面ABC，因为平面ABC，所以．因为，即，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．因为，，，AB，平面ABM，所以平面ABM．因为平面，所以平面平面．（2）以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，所以，，．设为平面ABM的一个法向量，则令，得，，此时．所以，所以直线与平面ABM所成角的正弦值是．21．的内角，，的对边分别为，，，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题.①；②（其中为的面积）；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)若，，求的值；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1).(2). 【分析】对于①:由代入经三角恒等变换得；对于②:由面积公式与数量积公式得；对于③:使用余弦定理代入化简得.在(1)中，使用余弦定理及其变形求得的值；在(2)中，使用正弦定理将边化为角，用将转化为的三角函数，使用三角恒等变换化为一般式求范围.【详解】（1）选择①:，在中，，所以，所以，整理得，即，因为，，故，而，从而；选择②:，则，所以，又，则；选择③:，由余弦定理，得，所以，又，则；若，，由余弦定理，得，所以.（2）由为锐角三角形及，得且，所以，由正弦定理，得  ，因为，，，所以，即的取值范围是.22．已知分别是椭圆  的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.(1)求C的方程；(2)过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】(1)由 C的离心率是，△的面积的最大值是，列方程组求出，，，可得C的方程. (2)设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求值.【详解】（1）设椭圆C的焦距为，根据题意，有解得，，．所以C的方程是．（2）证明：当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，．联立得：． 因为在椭圆C的内部，所以恒成立，所以，，所以，同理，将k换成，得，所以．当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0，则，，此时．综上所示，为定值．