2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．椭圆的焦点坐标为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】B

【解析】由椭圆方程可得焦点在轴上,利用求得焦点坐标即可

【详解】由题,焦点在轴上,则,所以,

则焦点坐标为和,

故选:B

【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标,属于基础题

2．抛物线的准线方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程.

【详解】，

抛物线的准线方程为，

即，故选A .

【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.

3．已知直线，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两直线平行与斜率的关系即可求解.

【详解】因为，所以，

即，解得或，

经检验时，，重合，不满足题意；

时，，两直线平行，满足题意；

所以“”是“”的充要条件.

故选:C.

4．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.

【详解】如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，    

因为，

所以，，,

所以点P到AB的距离．

故选：D.

5．已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于,两点，若，则（    ）

A．6 B．7 C．5 D．8

【答案】B

【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长与长轴的关系即可求解.

【详解】由椭圆的方程可知：，则.

由椭圆的定义可知：，，

所以，

则，

故选：.

6．过点作直线，使与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线共有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【分析】利用直线与双曲线联立组成的方程组仅有一组解，即可求得满足条件的直线共有4条.

【详解】当过点的直线斜率不存在时，其方程为，

直线与双曲线有且仅有一个公共点，满足要求；

当过点的直线斜率存在时，其方程可设为，

由，整理得

当时，方程可化为，方程仅有一根，

直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；

当时，方程可化为，方程仅有一根，

直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意；

当时，若方程仅有一组解，

则，解之得

此时方程为，整理得，则

此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，符合题意

综上，满足条件的直线共有4条

故选：D

7．设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意画出图像,将转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当共线时,取最小值为,算出结果即可.

【详解】解:由题知圆:,

为抛物线焦点,为抛物线准线,

则过点向作垂线垂足为,如图所示:

则,

根据抛物线定义可知,

,

=,

若求的最小值,只需求的最小值即可,

连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,

此时最小,为,

,

,

.

故选:B

8．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.

【详解】

不妨设点为第一象限的交点，则

由椭圆的定义可得，

由双曲线的定义可得，

所以，

因此，即，

所以，即，令

因此，其中，

所以当时，有最大值，最大值为，

故选：B.

【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

二、多选题

9．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（    ）

A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y

【答案】AD

【详解】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.

故选：AD

10．已知曲线的方程为，则（    ）

A．当时，曲线是半径为2的圆

B．存在实数，使得曲线的离心率为的双曲线

C．当时，曲线为双曲线，离心率为

D．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件

【答案】AD

【分析】根据圆，双曲线和椭圆的定义，依次判断每个选项，AD正确，B选项方程无解排除，求出双曲线离心率排除C选项得到答案.

【详解】当时，方程为，表示半径为的圆，A正确；

若曲线表示双曲线，则，故或，当时，，无解，当时，，无解，B错误；

当时，，曲线为双曲线，，C错误；

曲线为焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，故D正确.

故选：AD.

11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）

A．

B．点E到直线的距离为

C．直线与平面所成的角的正弦值为

D．点到平面的距离为

【答案】AC

【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.

【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，

则，

，

则，所以，故A正确；

，则，

所以，

所以点E到直线的距离为，故B错误；

因为平面，所以即为平面的一条法向量，

则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；

设平面的法向量为，

则有，可取，

则点到平面的距离为，故D错误.

故选：AC.

12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．线段AB长度的取值范围是

C．面积的最小值是4

D．的周长为

【答案】ABD

【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.

【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；

，由椭圆性质可知，所以，B正确；

记，则

取，则，C错误；

由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______________________．

【答案】

【分析】根据双曲线的简单几何性质可知，以原点为中心，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，即有，再根据以及即可求出.

【详解】因为以原点为中心，焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，所以,

所以．

故答案为：．

14．圆：与圆：的公切线条数为____________.

【答案】3

【分析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.

【详解】圆：，圆心，半径；

圆：，圆心，半径.

因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.

故答案为：3

15．在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，弦长为6，则直线的方程为______.

【答案】或

【分析】过抛物线的焦点的直线的方程分为两种情况，分别去求弦的长，综合两种情况即可求得直线的方程

【详解】抛物线的焦点坐标为

当过抛物线的焦点的直线斜率不存在时，其方程为，此时，不符合题意；

当过抛物线的焦点的直线斜率存在时，

设其方程为，设

由，整理得，则，

则，

则，整理得

解之得，则

则直线的方程为或

故答案为：或

16．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是______.

①曲线关于坐标原点对称；

②的取值范围是；

③曲线是一个椭圆；

④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.

【答案】①

【分析】根据曲线方程确定曲线的的几何性质，结合方程可确定曲线关于原点对称，根据表达式可确定的取值范围，以及根据方程分情况确定曲线对应的图象，再作出图形观察面积的大小.

【详解】对于①，若点满足曲线的方程，

则点也一定满足曲线的方程，

所以曲线关于坐标原点对称，故①正确；

对于②，，所以，故②错误；

对于③，当时，，此时，

当时，，此时，

所以曲线由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故③错误；

对于④，因为椭圆的面积与椭圆的面积相等，

作出曲线与椭圆，

由图可知，曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，

所以曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，

故④错误.

故答案为：①.

四、解答题

17．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点.

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)求抛物线的标准方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知点代入双曲线方程，然后可得；

（2）由双曲线右焦点与抛物线的焦点相同可解.

【详解】（1）因为双曲线过点，

所以  所以，得

又因为，所以

所以双曲线的渐近线方程

（2）由（1）得 所以  

所以双曲线的右焦点是

所以抛物线的焦点是

所以，所以

所以抛物线的标准方程

18．已知圆的方程为：，点.

(1)求过点的的切线方程；

(2)过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）配方法求出圆心和半径，再根据点到直线的距离公式可求出斜率，可得直线方程；（2）根据弦长公式可求出圆心到直线的距离，进而求出直线方程.

【详解】（1），圆心

当切线斜率不存在时，检验知不是切线；

当切线斜率存在时，设

解之：或0，故直线方程为：或

（2）由弦长公式，

当直线斜率不存在时，满足；

当直线斜率存在时，设

解之代入

化简得：

故直线方程为：或

19．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.

(1)求双曲线的方程；

(2)若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可

（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可

【详解】（1）由的焦点坐标为  

由双曲线与有相同的焦点

所以双曲线的焦点坐标为

故，

在双曲线中：    ①

又双曲线经过点

所以    ②

解得：

所以双曲线的方程为：

（2）由题知直线斜率存在且不为0，

设直线的方程为：

由直线与双曲线交于两点，设

所以 消去整理得：

所以

所以

由的中点坐标为

所以

所以.

20．如图，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）先由证得∥平面，同理证得∥平面，进而证得平面∥平面，即可证得平面；

（2）先证得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，由向量夹角余弦公式即可求解.

【详解】（1）由正方形的性质知：，又平面，平面，∥平面，

，平面，平面，∥平面，，平面，

平面∥平面，平面，平面；

（2）

平面平面，平面平面，平面，则平面，

又，则平面，又，则两两垂直，以为原点，

的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，由得：

，则，

设平面的法向量为，则，取得，

又易得平面的一个法向量为，则，

又二面角为锐角，则二面角的余弦值为.

21．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值．

（1）试求出动点P的轨迹方程C；

（2）设直线与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【答案】（1）1（x≠±2），（2）见解析

【分析】（1）由斜率之积即可求出轨迹方程；

（2）把直线方程，与（1）中方程联立，利用根与系数关系，表示面积，求最值即可．

【详解】解：（1）设P（x，y），有kPA•kPB得•

整理可得1（x≠±2），

∴C的方程为1（x≠±2），

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx＝0，

故，

即，

此时，直线方程为：

【点睛】本题以斜率为载体，考查曲线方程的求解，关键是利用斜率公式，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆内三角形面积的最值问题．

22．已知，分别是椭圆的左右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为.为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)当直线的斜率为正时，设直线、分别交轴于点，记，，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆中之间的关系求解即可；

(2)利用直线方程表示出的坐标，进而表示出，利用韦达定理将表示为关于的表达式，结合直线与椭圆的位置关系确定的范围，进而可求解.

【详解】（1）由题可知解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设直线，，

由得

解得或（舍），

且

的直线方程为，的直线方程为，

令解得，所以，同理，

所以,

由，可得

所以

即

，

因为，所以，所以，

所以.

的取值范围为.