2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强学校高二上学期11月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强学校高二上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．若数列－1，a，b，c，－9是等比数列，则实数b的值为（    ）

A．－5 B．－3 C．3 D．3或－3

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质求解．

【详解】由题意，又数列的奇数项同号，即，所以．

故选：B．

2．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目改编：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的份为（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】由题意，结合等差数列的性质，列方程组求出数列首项.

【详解】设每个人所得按从小到大排列构成等差数列，首项为，公差为，

由题意知，

解得，最小的份为个.

故选：A.

3．已知数列满足：且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到.

【详解】因为，，，

所以，，，

故数列为周期是3的数列，

所以，

故选：B

4．已知曲线在处的切线方程是，则及分别为（    ）

A．3，3 B．3，

C．，3 D．，

【答案】B

【分析】直接由切线方程求出斜率及对应的值，即可求解.

【详解】易得的斜率为，当时，，故，.

故选：B.

5．设为等比数列的前n项和，若，，则（    ）

A． B．2 C．9 D．

【答案】C

【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.

【详解】设等比数列的公比为，

则，解得，

则，，

所以.

故选：C.

6．等差数列中，已知公差，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查等差数列的性质及求和，利用与的关系即可求解.

【详解】解：由题意，

在等差数列中，

，

，

.

故选：A.

7．数列中，，对所有的，，都有，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.

【详解】当时，；当时，；

当时，；当时，；

则，；

所以.

故选：C.

二、多选题

8．（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同

B．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同

C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同

D．在，两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同

【答案】ACD

【分析】根据已知血管中的药物浓度随时间变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.

【详解】A：在时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；

B：两条曲线在时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错误；

C：根据平均变化率公式，可知在这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是，正确；

D：在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，在时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是，显然不相等，正确．

故选：ACD．

9．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为

【答案】AB

【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，可得，求出椭圆的方程，然后逐一判断各选项即可.

【详解】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，

所以，且，，

解得，故A正确；

所以椭圆，

所以，，

所以的长轴长为，故B正确；

所以的短轴长为，故C错误；

所以，故D错误.

故选：AB.

10．等差数列前项和为，已知，下列结论正确的是（    ）

A．最大 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意得出，且，由等差数列的性质和求和公式可得答案.

【详解】设等差数列的公差为

对于A，，

，故

可得等差数列单调递减，且，则最大，故A正确；

对于B和D，，故B正确，D错误；

对于C，因为，所以，故C正确

故选:ABC.

11．若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（    ）

A． B．（其中且）

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.

【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，

对于A，是常数，数列是等比数列，A是；

对于B，且，是常数，数列是等比数列，B是；

对于C，是常数，是等比数列，C是；

对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.

故选：ABC

12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图，在长度为的线段上取两个点、，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图，图，图，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则（    ）

A．数列是等比数列 B．

C．存在正数，使得恒成立 D．恒成立

【答案】BD

【分析】根据题意得到递推公式，利用累加法求出数列的通项公式，可判断AD选项正误；利用分组求和法可判断B选项的正误，利用数列的单调性可判断C选项的正误.

【详解】由题意知，，

以此类推可得，

故

，

故数列不是等比数列，故A错误；

，故B正确；

因为恒成立，且单调递增，

则数列单调递增，所以，数列无最大值，

因此，不存在正数，使得，故C错误；

恒成立，故D正确.

故选:BD.

三、填空题

13．已知数列为等差数列，为其前项和，且，则______

【答案】

【分析】利用等差数列的性质可得：，然后利用等差数列前项和公式即可求解.

【详解】因为数列为等差数列，所以，

所以，

故答案为：.

14．已知等比数列的前项和为，且，，则______．

【答案】35

【解析】由等比数列前n项和的性质得成等比数列，运算即可得解.

【详解】因为等比数列的前项和为，

所以成等比数列，

因为，，所以，，

故.

故答案为：.

15．在正项等比数列中，已知，则________．

【答案】##

【分析】利用等比数列中项的性质结合对数的运算性质可求得结果.

【详解】由等比中项的性质可得，则，

因此，.

故答案为：.

16．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为_______ .

【答案】2

【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出a与c的关系即可.

【详解】对于双曲线 ，其渐近线方程为 ，

对于圆 ，有 ，圆心为 ，半径 ，

渐近线被圆截得的弦长为2，所以圆心到渐近线的距离为 ，

由点到直线距离公式得： ；

故答案为：2.

四、解答题

17．已知曲线：

(1)求的值；

(2)求曲线在点处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用导数公式求解；(2)根据切点处函数的导数等于切线的斜率以及切点在曲线上也在切线上的原理求解..

【详解】（1）由题得，所以.

（2）因为，

所以，切线方程为，

即.

18．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，求数列前项和．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据是等差数列，设公差为d，由通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；

（Ⅱ）求得，由裂项相消求和，化简运算可得所求和．

【详解】（Ⅰ）公差d不为零的等差数列，若，且成等比数列，

 可得，即，

解得．

则；

（Ⅱ），

可得前n项和.

．

【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．

19．已知数列满足数列的前n项和为，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出；

且，当时，．当时，，

利用等比数列的通项公式即可得出；

（2）由（1）得，利用分组求和即可．

【详解】（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，

所以．

又当时，，所以，

当时， ①

          ②

由①－②得，即，

所以是首项为1，公比为的等比数列，故．

（2）由（1）得，

所以．

【点睛】方法点睛：求数列通项公式的方法：

1.定义法：利用等差数列或等比数列的定义；

2.利用 与 的关系： ；

3.累加法： ；

4.累乘法：；

5.构造法：；；

6.取倒数或者取对数．

20．已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)已知：求数列前和为.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由条件可知，即，从而得出数列为等比数列；

（2），利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）证明：由条件可知，即，

，且，

是以为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，

，则，

，

，

两式相减可得，，

即，

化简得.

21．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)记数列前n项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时n以及最大值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)当或时，有最大值.

【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；

（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.

【详解】（1）由已知得，数列的首项， ，

设数列的公比为，即 ∴

即，

（2）

，

即当或5时，有最大值.

22．已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C2的方程；

(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；

（2）由题可知，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.

【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为，

所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，，

∵与互补，

∴，所以，

化简整理得①，

设直线PQ为，联立直线与椭圆方程

化简整理可得，

，

可得②，

由韦达定理，可得，③，

将，代入①，

可得④，

再将③代入④，可得，解得，

∴PQ的方程为，

且由②可得，，即，

由点到直线PQ的距离，

令，，则

，当且仅当时，等号成立，

所以面积S最大值为.